Спектральный радиус - Википедия - Spectral radius

В математика, то спектральный радиус из квадратная матрица или ограниченный линейный оператор является наибольшим абсолютным значением его собственные значения (т.е. супремум среди абсолютные значения элементов в его спектр ). Иногда его обозначают через ρ (·).

Матрицы

Позволять λ₁, ..., λ_п быть (настоящий или же сложный ) собственные значения матрицы А ∈ C^п×п. Тогда его спектральный радиус ρ(А) определяется как:

${ displaystyle rho (A) = max left {| lambda _ {1} |, dotsc, | lambda _ {n} | right }.}$

В номер условия из ${ displaystyle A}$ можно выразить через спектральный радиус как ${ Displaystyle rho (A) rho (A ^ {- 1})}$.

Спектральный радиус - это своего рода точная нижняя грань всех норм матрицы. С одной стороны, ${ Displaystyle ро (А) leqslant | А |}$ для каждого норма натуральной матрицы ${ displaystyle | cdot |}$, а с другой стороны, формула Гельфанда утверждает, что ${ displaystyle rho (A) = lim _ {k to infty} | A ^ {k} | ^ {1 / k}}$; оба этих результата показаны ниже. Однако спектральный радиус не обязательно удовлетворяет ${ Displaystyle | A mathbf {v} | leqslant rho (A) | mathbf {v} |}$ для произвольных векторов ${ displaystyle mathbf {v} in mathbb {C} ^ {n}}$. Чтобы понять почему, позвольте ${ displaystyle r> 1}$ произвольна и рассмотрим матрицу ${ displaystyle C_ {r} = { begin {pmatrix} 0 & r ^ {- 1} r & 0 end {pmatrix}}}$. В характеристический многочлен из ${ displaystyle C_ {r}}$ является ${ displaystyle lambda ^ {2} -1}$, следовательно, его собственные значения равны ${ displaystyle pm 1}$, и поэтому ${ displaystyle rho (C_ {r}) = 1}$. тем не мение ${ displaystyle C_ {r} mathbf {e} _ {1} = r mathbf {e} _ {2}}$, так ${ Displaystyle | C_ {r} mathbf {e} _ {1} | = r> 1 = rho (C_ {r}) | mathbf {e} _ {1} |}$ за ${ displaystyle | cdot |}$ быть любым ${ displaystyle ell ^ {p}}$ норма на ${ displaystyle mathbb {C} ^ {n}}$. Что еще позволяет ${ Displaystyle | C_ {r} ^ {k} | ^ {1 / k} to 1}$ в качестве ${ Displaystyle к к infty}$ в том, что ${ displaystyle C_ {r} ^ {2} = I}$, изготовление ${ Displaystyle | C_ {r} ^ {k} | ^ {1 / k} leqslant | C_ {r} | ^ {1 / k} = r ^ {1 / k} to 1}$ в качестве ${ Displaystyle к к infty}$.

${ Displaystyle | A mathbf {v} | leqslant rho (A) | mathbf {v} |}$ для всех ${ displaystyle mathbf {v} in mathbb {C} ^ {n}}$

делает держись, когда ${ displaystyle A}$ это Эрмитова матрица и ${ displaystyle | cdot |}$ это Евклидова норма.

Графики

Спектральный радиус конечного график определяется как спектральный радиус его матрица смежности.

Это определение распространяется на случай бесконечных графов с ограниченными степенями вершин (т.е. существует некоторое действительное число C такая, что степень каждой вершины графа меньше, чем C). В этом случае для графика грамм определять:

${ Displaystyle ell ^ {2} (G) = left {f: V (G) to mathbf {R} : sum nolimits _ {v in V (G)} left | f (v) ^ {2} right | < infty right }.}$

Позволять γ быть оператором смежности грамм:

${ Displaystyle { begin {case} gamma: ell ^ {2} (G) to ell ^ {2} (G) ( gamma f) (v) = sum _ {(u, v) in E (G)} f (u) end {case}}}$

Спектральный радиус грамм определяется как спектральный радиус ограниченного линейного оператора γ.

Верхняя граница

Верхние оценки спектрального радиуса матрицы

Следующее предложение показывает простую, но полезную оценку сверху спектрального радиуса матрицы:

Предложение. Позволять А ∈ C^п×п со спектральным радиусом ρ(А) и согласованная матричная норма ||⋅||. Тогда для каждого целого числа ${ Displaystyle к geqslant 1}$:

${ Displaystyle rho (A) leq | A ^ {k} | ^ { frac {1} {k}}.}$

Доказательство

Позволять (v, λ) быть собственный вектор -собственное значение пара для матрицы А. По субмультипликативному свойству матричной нормы мы получаем:

${ displaystyle | lambda | ^ {k} | mathbf {v} | = | lambda ^ {k} mathbf {v} | = | A ^ {k} mathbf {v} | leq | A ^ {k} | cdot | mathbf {v} |}$

и с тех пор v ≠ 0 у нас есть

${ Displaystyle | лямбда | ^ {k} leq | A ^ {k} |}$

и поэтому

${ displaystyle rho (A) leq | A ^ {k} | ^ { frac {1} {k}}.}$

Верхние оценки спектрального радиуса графа

Существует множество оценок сверху спектрального радиуса графа с точки зрения его номера п вершин и их количество м краев. Например, если

${ Displaystyle { гидроразрыва {(к-2) (к-3)} {2}} leq м-п leq { гидроразрыва {к (к-3)} {2}}}$

куда ${ Displaystyle 3 Leq К Leq N}$ целое число, тогда^[1]

${ displaystyle rho (G) leq { sqrt {2m-n-k + { frac {5} {2}} + { sqrt {2m-2n + { frac {9} {4}}}}} }}$

Последовательность мощности

Теорема

Спектральный радиус тесно связан с поведением сходимости степенной последовательности матрицы; а именно, справедлива следующая теорема:

Теорема. Позволять А ∈ C^п×п со спектральным радиусом ρ(А). потом ρ(А) < 1 если и только если

${ displaystyle lim _ {k to infty} A ^ {k} = 0.}$

С другой стороны, если ρ(А) > 1, ${ Displaystyle lim _ {к к infty} | A ^ {k} | = infty}$. Утверждение верно при любом выборе матричной нормы на C^п×п.

Доказательство теоремы

Предположим, что рассматриваемый предел равен нулю, мы покажем, что ρ(А) < 1. Позволять (v, λ) быть собственный вектор -собственное значение пара для А. С А^kv = λ^kv у нас есть:

${ Displaystyle { begin {align} 0 & = left ( lim _ {k to infty} A ^ {k} right) mathbf {v} & = lim _ {k to infty } left (A ^ {k} mathbf {v} right) & = lim _ {k to infty} lambda ^ {k} mathbf {v} & = mathbf {v } lim _ {k to infty} lambda ^ {k} end {align}}}$

и, поскольку по гипотезе v ≠ 0, мы должны иметь

${ Displaystyle lim _ {к к infty} lambda ^ {k} = 0}$

откуда следует | λ | <1. Поскольку это должно быть верно для любого собственного значения λ, мы можем заключить, что ρ (А) < 1.

Теперь предположим радиус А меньше чем 1. От Нормальная форма Джордана теорема, мы знаем, что для всех А ∈ C^п×п, существуют V, J ∈ C^п×п с V неособое и J диагональ блока такая, что:

${ displaystyle A = VJV ^ {- 1}}$

с

${ displaystyle J = { begin {bmatrix} J_ {m_ {1}} ( lambda _ {1}) & 0 & 0 & cdots & 0 0 & J_ {m_ {2}} ( lambda _ {2}) & 0 & cdots & 0 vdots & cdots & ddots & cdots & vdots 0 & cdots & 0 & J_ {m_ {s-1}} ( lambda _ {s-1}) & 0 0 & cdots & cdots & 0 & J_ {m_ {s}} ( lambda _ {s}) end {bmatrix}}}$

куда

${ displaystyle J_ {m_ {i}} ( lambda _ {i}) = { begin {bmatrix} lambda _ {i} & 1 & 0 & cdots & 0 0 & lambda _ {i} & 1 & cdots & 0 vdots & vdots & ddots & ddots & vdots 0 & 0 & cdots & lambda _ {i} & 1 0 & 0 & cdots & 0 & lambda _ {i} end {bmatrix}} in mathbf { C} ^ {m_ {i} times m_ {i}}, 1 leq i leq s.}$

Легко заметить, что

${ Displaystyle A ^ {k} = VJ ^ {k} V ^ {- 1}}$

и с тех пор J блочно-диагональный,

${ displaystyle J ^ {k} = { begin {bmatrix} J_ {m_ {1}} ^ {k} ( lambda _ {1}) & 0 & 0 & cdots & 0 0 & J_ {m_ {2}} ^ {k } ( lambda _ {2}) & 0 & cdots & 0 vdots & cdots & ddots & cdots & vdots 0 & cdots & 0 & J_ {m_ {s-1}} ^ {k} ( lambda _ {s-1}) & 0 0 & cdots & cdots & 0 & J_ {m_ {s}} ^ {k} ( lambda _ {s}) end {bmatrix}}}$

Теперь стандартный результат на k-сила ${ displaystyle m_ {i} times m_ {i}}$ Блок Иордании заявляет, что для ${ Displaystyle к geq m_ {я} -1}$:

${ displaystyle J_ {m_ {i}} ^ {k} ( lambda _ {i}) = { begin {bmatrix} lambda _ {i} ^ {k} & {k choose 1} lambda _ { i} ^ {k-1} & {k choose 2} lambda _ {i} ^ {k-2} & cdots & {k choose m_ {i} -1} lambda _ {i} ^ { k-m_ {i} +1} 0 & lambda _ {i} ^ {k} & {k choose 1} lambda _ {i} ^ {k-1} & cdots & {k choose m_ {i} -2} lambda _ {i} ^ {k-m_ {i} +2} vdots & vdots & ddots & ddots & vdots 0 & 0 & cdots & lambda _ {i } ^ {k} & {k choose 1} lambda _ {i} ^ {k-1} 0 & 0 & cdots & 0 & lambda _ {i} ^ {k} end {bmatrix}}}$

Таким образом, если ${ Displaystyle rho (А) <1}$ тогда для всех я ${ Displaystyle | лямбда _ {я} | <1}$. Следовательно, для всех я у нас есть:

${ Displaystyle lim _ {к к infty} J_ {m_ {i}} ^ {k} = 0}$

что подразумевает

${ displaystyle lim _ {k to infty} J ^ {k} = 0.}$

Следовательно,

${ displaystyle lim _ {k to infty} A ^ {k} = lim _ {k to infty} VJ ^ {k} V ^ {- 1} = V left ( lim _ {k to infty} J ^ {k} right) V ^ {- 1} = 0}$

С другой стороны, если ${ displaystyle rho (A)> 1}$, есть хотя бы один элемент в J который не остается ограниченным при увеличении k, что доказывает вторую часть утверждения.

Формула Гельфанда

Теорема

Следующая теорема дает спектральный радиус как предел нормы матрицы.

Теорема (формула Гельфанда; 1941). Для любого матричная норма ||⋅||, у нас есть

${ displaystyle rho (A) = lim _ {k to infty} left | A ^ {k} right | ^ { frac {1} {k}}.}$^[2].

Доказательство

Для любого ε > 0, сначала построим следующие две матрицы:

${ displaystyle A _ { pm} = { frac {1} { rho (A) pm varepsilon}} A.}$

Потом:

${ displaystyle rho left (A _ { pm} right) = { frac { rho (A)} { rho (A) pm varepsilon}}, qquad rho (A _ {+}) <1 < rho (A _ {-}).}$

Сначала применим предыдущую теорему к А₊:

${ displaystyle lim _ {k to infty} A _ {+} ^ {k} = 0.}$

Это означает, что согласно определению предела последовательности существует N₊ ∈ N такой, что для всех k ≥ N₊,

${ Displaystyle { begin {align} left | A _ {+} ^ {k} right | <1 end {align}}}$

так

${ displaystyle { begin {align} left | A ^ {k} right | ^ { frac {1} {k}} < rho (A) + varepsilon. end {align}}}$

Применяя предыдущую теорему к А₋ подразумевает ${ displaystyle | A _ {-} ^ {k} |}$ не ограничен и существует N₋ ∈ N такое, что для всех k ≥ N₋,

${ displaystyle { begin {align} left | A _ {-} ^ {k} right |> 1 end {align}}}$

так

${ displaystyle { begin {align} left | A ^ {k} right | ^ { frac {1} {k}}> rho (A) - varepsilon. end {align}}}$

Позволять N = max {N₊, N₋}, тогда у нас есть:

${ Displaystyle forall varepsilon> 0 quad exists N in mathbf {N} quad forall k geq N quad rho (A) - varepsilon < left | A ^ {k} справа | ^ { frac {1} {k}} < rho (A) + varepsilon}$

который по определению

${ displaystyle lim _ {k to infty} left | A ^ {k} right | ^ { frac {1} {k}} = rho (A).}$

Следствия Гельфанда

Формула Гельфанда непосредственно приводит к оценке спектрального радиуса произведения конечного числа матриц, а именно, предполагая, что все они коммутируют, получаем

${ displaystyle rho (A_ {1} cdots A_ {n}) leq rho (A_ {1}) cdots rho (A_ {n}).}$

Собственно, если норма последовательный, доказательство показывает больше, чем тезис; фактически, используя предыдущую лемму, мы можем заменить в определении предела левую нижнюю границу самим спектральным радиусом и записать более точно:

${ Displaystyle forall varepsilon> 0, существует N in mathbf {N}, forall k geq N quad rho (A) leq | A ^ {k} | ^ { frac { 1} {k}} < rho (A) + varepsilon}$

который по определению

${ Displaystyle lim _ {к к infty} left | A ^ {k} right | ^ { frac {1} {k}} = rho (A) ^ {+},}$

где + означает приближение к пределу сверху.

Пример

Рассмотрим матрицу

${ displaystyle A = { begin {bmatrix} 9 & -1 & 2 - 2 & 8 & 4 1 & 1 & 8 end {bmatrix}}}$

чьи собственные значения 5, 10, 10; по определению, ρ(А) = 10. В следующей таблице значения ${ displaystyle | A ^ {k} | ^ { frac {1} {k}}}$ для четырех наиболее часто используемых норм указаны в сравнении с несколькими возрастающими значениями k (обратите внимание, что из-за особой формы этой матрицы,${ Displaystyle |. | _ {1} = |. | _ { infty}}$):

k	${ Displaystyle |. | _ {1} = |. | _ { infty}}$	${ Displaystyle |. | _ {F}}$	${ Displaystyle |. | _ {2}}$
1	14	15.362291496	10.681145748
2	12.649110641	12.328294348	10.595665162
3	11.934831919	11.532450664	10.500980846
4	11.501633169	11.151002986	10.418165779
5	11.216043151	10.921242235	10.351918183
${ displaystyle vdots}$	${ displaystyle vdots}$	${ displaystyle vdots}$	${ displaystyle vdots}$
10	10.604944422	10.455910430	10.183690042
11	10.548677680	10.413702213	10.166990229
12	10.501921835	10.378620930	10.153031596
${ displaystyle vdots}$	${ displaystyle vdots}$	${ displaystyle vdots}$	${ displaystyle vdots}$
20	10.298254399	10.225504447	10.091577411
30	10.197860892	10.149776921	10.060958900
40	10.148031640	10.112123681	10.045684426
50	10.118251035	10.089598820	10.036530875
${ displaystyle vdots}$	${ displaystyle vdots}$	${ displaystyle vdots}$	${ displaystyle vdots}$
100	10.058951752	10.044699508	10.018248786
200	10.029432562	10.022324834	10.009120234
300	10.019612095	10.014877690	10.006079232
400	10.014705469	10.011156194	10.004559078
${ displaystyle vdots}$	${ displaystyle vdots}$	${ displaystyle vdots}$	${ displaystyle vdots}$
1000	10.005879594	10.004460985	10.001823382
2000	10.002939365	10.002230244	10.000911649
3000	10.001959481	10.001486774	10.000607757
${ displaystyle vdots}$	${ displaystyle vdots}$	${ displaystyle vdots}$	${ displaystyle vdots}$
10000	10.000587804	10.000446009	10.000182323
20000	10.000293898	10.000223002	10.000091161
30000	10.000195931	10.000148667	10.000060774
${ displaystyle vdots}$	${ displaystyle vdots}$	${ displaystyle vdots}$	${ displaystyle vdots}$
100000	10.000058779	10.000044600	10.000018232

Ограниченные линейные операторы

Для ограниченный линейный оператор А и норма оператора || · ||, снова имеем

${ displaystyle rho (A) = lim _ {k to infty} | A ^ {k} | ^ { frac {1} {k}}.}$

Ограниченный оператор (в комплексном гильбертовом пространстве) называется спектралоидный оператор если его спектральный радиус совпадает с его числовой радиус. Примером такого оператора является нормальный оператор.

Примечания и ссылки

Библиография

• Данфорд, Нельсон; Шварц, Якоб (1963), Линейные операторы II. Спектральная теория: самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве, Interscience Publishers, Inc.
• Лакс, Питер Д. (2002), Функциональный анализ, Wiley-Interscience, ISBN  0-471-55604-1

Смотрите также

• Спектральный промежуток
• В Совместный спектральный радиус является обобщением спектрального радиуса на наборы матриц.
• Спектр матрицы
• Спектральная абсцисса