Теорема Бауэра – Фике - Википедия - Bauer–Fike theorem

В математика, то Теорема Бауэра – Фике. стандартный результат в теория возмущений из собственное значение комплексного диагонализуемая матрица. По сути, он устанавливает абсолютную верхнюю границу отклонения одного возмущенного собственного значения матрицы от правильно выбранного собственного значения точной матрицы. Неформально говоря, в нем говорится, что чувствительность собственных значений оценивается числом обусловленности матрицы собственных векторов.

Теорема была доказана Фридрих Л. Бауэр и К. Т. Фике в 1960 г.

Установка

Далее мы предполагаем, что:

Теорема Бауэра – Фике.

Теорема Бауэра – Фике. Позволять μ быть собственным значением А + δA. Тогда существует λΛ(А) такой, что:

Доказательство. Мы можем предположить μΛ(А), иначе возьмем λ = μ и результат тривиально верен, так как κп(V) ≥ 1. С μ является собственным значением А + δA, у нас есть det (А + δAмкИ) = 0 и так

Однако наше предположение, μΛ(А), означает, что: det (Λ - мкИ) ≠ 0 и поэтому мы можем написать:

Это показывает −1 быть собственным значением

Поскольку все п-нормы согласованные матричные нормы у нас есть |λ| ≤ ||А||п куда λ является собственным значением А. В данном случае это дает нам:

Но (Λ - мкИ)−1 диагональная матрица, п-норма которого легко вычисляется:

откуда:

Альтернативная формулировка

Теорема также может быть переформулирована, чтобы лучше подходить для численных методов. Фактически, имея дело с реальными проблемами собственной системы, часто бывает точная матрица А, но знает только приблизительную пару собственное значение-собственный вектор, (λа, vа ) и необходимо связать ошибку. Следующая версия поможет вам.

Теорема Бауэра – Фике (альтернативная формулировка). Позволять (λа, vа ) - приближенная пара собственное значение-собственный вектор, и р = Аvаλаvа. Тогда существует λΛ(А) такой, что:

Доказательство. Мы можем предположить λаΛ(А), иначе возьмем λ = λа и результат тривиально верен, так как κп(V) ≥ 1. Так (Аλая)−1 существует, поэтому мы можем написать:

поскольку А диагонализуема; принимая п-нормы обеих сторон, получаем:

тем не мение

- диагональная матрица и ее п-norm легко вычисляется:

откуда:

Относительная граница

Обе формулировки теоремы Бауэра – Фике дают абсолютную оценку. Следующее следствие полезно, когда требуется относительная оценка:

Следствие. Предполагать А обратима и что μ является собственным значением А + δA. Тогда существует λΛ(А) такой, что:

Примечание. ||А−1δA|| можно формально рассматривать как относительное изменение А, как только |λμ|/|λ| относительная вариация λ.

Доказательство. С μ является собственным значением А + δA и det (А) ≠ 0, умножив на А−1 слева имеем:

Если мы установим:

тогда у нас есть:

что обозначает 1 является собственным значением Аа + (δA)а, с v как собственный вектор. Теперь собственные значения Аа находятся μ/λя, в то время как у него такой же матрица собственных векторов в качестве А. Применяя теорему Бауэра – Фике к Аа + (δA)а с собственным значением 1, дает нам:

Случай нормальных матриц.

Если А является нормальный, V это унитарная матрица, следовательно:

так что κ2(V) = 1. Тогда теорема Бауэра – Фике принимает следующий вид:

Или в альтернативной формулировке:

что, очевидно, остается верным, если А это Эрмитова матрица. В этом случае, однако, имеет место гораздо более сильный результат, известный как Теорема Вейля о собственных значениях. В эрмитовом случае теорему Бауэра – Фике можно также переформулировать в том виде, в котором отображение АΛ(А) который отображает матрицу на ее спектр это нерасширяющая функция с уважением к Расстояние Хаусдорфа на множестве компактных подмножеств C.

Рекомендации

  • Bauer, F. L .; Фике, К. Т. (1960). «Нормы и теоремы исключения». Нумер. Математика. 2 (1): 137–141. Дои:10.1007 / BF01386217.
  • Eisenstat, S.C .; Ипсен, И. К. Ф. (1998). «Три абсолютных границы возмущения для собственных значений матрицы подразумевают относительные границы». Журнал SIAM по матричному анализу и приложениям. 20 (1): 149–158. CiteSeerX  10.1.1.45.3999. Дои:10.1137 / S0895479897323282.