Унитарная матрица - Unitary matrix

В линейная алгебра, а сложный квадратная матрица U является унитарный если это сопряженный транспонировать U^* также его обратный, то есть если

${ Displaystyle U ^ {*} U = UU ^ {*} = I,}$

куда я это единичная матрица.

В физике, особенно в квантовой механике, Эрмитово сопряженный матрицы обозначается кинжал (†) и приведенное выше уравнение принимает вид

${ Displaystyle U ^ { dagger} U = UU ^ { dagger} = I.}$

Действительным аналогом унитарной матрицы является ортогональная матрица. Унитарные матрицы имеют большое значение в квантовой механике, потому что они сохраняют нормы, и поэтому, амплитуды вероятности.

Характеристики

Для любой унитарной матрицы U конечного размера выполняется следующее:

• Учитывая два комплексных вектора Икс и у, умножение на U сохраняет их внутренний продукт; то есть, ⟨Ux, Уй⟩ = ⟨Икс, у⟩.
• U является нормальный (${ Displaystyle U ^ {*} U = UU ^ {*}}$).
• U является диагонализуемый; то есть, U является унитарно похожий к диагональной матрице, как следствие спектральная теорема. Таким образом, U имеет разложение вида

${ Displaystyle U = VDV ^ {*},}$

куда V унитарен, и D диагональна и унитарна.

• ${ displaystyle left | operatorname {det} (U) right | = 1}$.
• Его собственные подпространства ортогональны.
• U можно записать как U = е^яЧАС, куда е указывает на матрица экспонента, я - мнимая единица, а ЧАС это Эрмитова матрица.

Для любого неотрицательного целое число п, набор всех п × п унитарные матрицы с матричным умножением образует группа, называется унитарная группа U (п).

Любая квадратная матрица с единичной евклидовой нормой является средним значением двух унитарных матриц.^[1]

Эквивалентные условия

Если U является квадратной комплексной матрицей, то следующие условия эквивалентны:^[2]

1. U унитарен.
2. U^∗ унитарен.
3. U обратимо с U⁻¹ = U^∗.
4. Столбцы U для мужчин ортонормированный базис из ${ displaystyle mathbb {C} ^ {n}}$ по отношению к обычному внутреннему продукту. Другими словами, U^∗U =я.
5. Ряды U образуют ортонормированный базис ${ displaystyle mathbb {C} ^ {n}}$ по отношению к обычному внутреннему продукту. Другими словами, U U^∗ = я.
6. U является изометрия относительно обычной нормы. То есть, ${ Displaystyle | Ux | _ {2} = | x | _ {2}}$ для всех ${ Displaystyle х в mathbb {C} ^ {п}}$, куда ${ displaystyle | x | _ {2} = { sqrt { sum _ {i = 1} ^ {n} | x_ {i} | ^ {2}}}}$.
7. U это нормальная матрица (эквивалентно, существует ортонормированный базис, образованный собственными векторами U) с собственные значения лежа на единичный круг.

Элементарные конструкции

2 × 2 унитарная матрица

Общее выражение 2 × 2 унитарная матрица

${ displaystyle U = { begin {bmatrix} a & b - e ^ {i varphi} b ^ {*} & e ^ {i varphi} a ^ {*} end {bmatrix}}, qquad left | a right | ^ {2} + left | b right | ^ {2} = 1,}$

которая зависит от 4-х реальных параметров (фаза а, фаза б, относительная величина между а и б, а угол φ). В детерминант такой матрицы

${ Displaystyle Det (U) = е ^ {я varphi}.}$

Подгруппа этих элементов ${ displaystyle U}$ с ${ Displaystyle Det (U) = 1}$ называется особая унитарная группа СУ (2).

Матрица U также можно записать в этой альтернативной форме:

${ Displaystyle U = е ^ {я varphi / 2} { begin {bmatrix} e ^ {i varphi _ {1}} cos theta & e ^ {i varphi _ {2}} sin theta - e ^ {- i varphi _ {2}} sin theta & e ^ {- i varphi _ {1}} cos theta end {bmatrix}},}$

который, вводя φ₁ = ψ + Δ и φ₂ = ψ - Δ, принимает следующую факторизацию:

${ displaystyle U = e ^ {i varphi / 2} { begin {bmatrix} e ^ {i psi} & 0 0 & e ^ {- i psi} end {bmatrix}} { begin {bmatrix} cos theta & sin theta - sin theta & cos theta end {bmatrix}} { begin {bmatrix} e ^ {i Delta} & 0 0 & e ^ {- i Delta} end {bmatrix}}.}$

Это выражение подчеркивает связь между 2 × 2 унитарные матрицы и 2 × 2 ортогональные матрицы угла θ.

Другая факторизация^[3]

${ Displaystyle U = { begin {bmatrix} cos alpha & - sin alpha sin alpha & cos alpha end {bmatrix}} { begin {bmatrix} e ^ {i xi} & 0 0 & e ^ {i zeta} end {bmatrix}} { begin {bmatrix} cos beta & sin beta - sin beta & cos beta конец {bmatrix}}.}$

Возможны многие другие факторизации унитарной матрицы в базовые матрицы.

Смотрите также

• Эрмитова матрица
• Разложение матрицы
• Ортогональная группа O (п)
• Специальная ортогональная группа SO (п)
• Ортогональная матрица
• Квантовый логический вентиль
• Специальная унитарная группа SU (п)
• Симплектическая матрица
• Унитарная группа U (п)
• Унитарный оператор

Рекомендации

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Унитарная матрица». MathWorld. Тодд Роуленд.
• Иванова, О. А. (2001) [1994], «Унитарная матрица», Энциклопедия математики, EMS Press
• «Покажите, что собственные значения унитарной матрицы имеют модуль 1». Обмен стеком. 28 марта 2016 г.