Эрмитова матрица - Hermitian matrix

В математика, а Эрмитова матрица (или же самосопряженная матрица) это сложный квадратная матрица что равно его собственному сопряженный транспонировать - то есть элемент в $я$ -й ряд и $j$ -й столбец равен комплексно сопряженный элемента в $j$ -й ряд и $я$ -й столбец, для всех индексов $я$ и $j$ :

${ displaystyle A { text {Hermitian}} quad iff quad a_ {ij} = { overline {a}} _ {ji}}$

или в матричной форме:

{ displaystyle A { text {Hermitian}} quad iff quad A = { overline {A ^ { mathsf {T}}}}.}

Эрмитовы матрицы можно понимать как комплексное расширение вещественных симметричные матрицы.

Если сопряженный транспонировать матрицы ${ displaystyle A}$ обозначается ${ Displaystyle А ^ { mathsf {H}}}$ , то эрмитово свойство можно кратко записать как

${ displaystyle A { text {Hermitian}} quad iff quad A = A ^ { mathsf {H}}}$

Эрмитовы матрицы названы в честь Чарльз Эрмит, который продемонстрировал в 1855 г., что матрицы этой формы обладают общим свойством с вещественными симметричными матрицами - всегда иметь собственные значения. Другие, обычно используемые эквивалентные обозначения: ${ Displaystyle A ^ { mathsf {H}} = A ^ { dagger} = A ^ { ast}}$ , хотя заметим, что в квантовая механика, ${ displaystyle A ^ { ast}}$ обычно означает комплексно сопряженный только, а не сопряженный транспонировать.

Альтернативные характеристики

Эрмитовые матрицы можно охарактеризовать несколькими эквивалентными способами, некоторые из которых перечислены ниже:

Равенство с сопряженным

Квадратная матрица ${ displaystyle A}$ эрмитово тогда и только тогда, когда оно равно своему прилегающий, то есть удовлетворяет

{ displaystyle langle w, Av rangle = langle Aw, v rangle,}

для любой пары векторов

{ displaystyle v, w}

, где

{ Displaystyle langle cdot, cdot rangle}

обозначает внутренний продукт операция.

Таким же образом и более общая концепция самосопряженный оператор определено.

Реальность квадратичных форм

Квадратная матрица ${ displaystyle A}$ является эрмитовым тогда и только тогда, когда оно таково, что

{ Displaystyle langle v, Av rangle in mathbb {R}, quad v in V.}

Спектральные свойства

Квадратная матрица ${ displaystyle A}$ эрмитово тогда и только тогда, когда оно унитарно диагонализуемый с реальным собственные значения.

Приложения

Эрмитовы матрицы лежат в основе квантовой теории матричная механика сделано Вернер Гейзенберг, Макс Борн, и Паскуаль Джордан в 1925 г.

Примеры

В этом разделе сопряженная транспонированная матрица ${ displaystyle A}$ обозначается как ${ Displaystyle А ^ { mathsf {H}}}$ , транспонирование матрицы ${ displaystyle A}$ обозначается как ${ Displaystyle А ^ { mathsf {T}}}$ и сопряженная матрица ${ displaystyle A}$ обозначается как ${ displaystyle { overline {A}}}$ .

См. Следующий пример:

{ displaystyle { begin {bmatrix} 2 & 2 + i & 4 2-i & 3 & i 4 & -i & 1 end {bmatrix}}}

Диагональные элементы должны быть настоящий, поскольку они должны быть комплексно сопряженными.

Хорошо известные семейства эрмитовых матриц включают Матрицы Паули, то Матрицы Гелл-Манна и их обобщения. В теоретическая физика такие эрмитовы матрицы часто умножаются на воображаемый коэффициенты,^[1]^[2] что приводит к косоэрмитовы матрицы.

Здесь мы предлагаем еще одну полезную эрмитову матрицу на абстрактном примере. Если квадратная матрица ${ displaystyle A}$ равно умножение матрицы и его сопряженное транспонирование, то есть ${ displaystyle A = BB ^ { mathsf {H}}}$ , тогда ${ displaystyle A}$ эрмит положительная полуопределенная матрица. Кроме того, если ${ displaystyle B}$ полноранговая строка, то ${ displaystyle A}$ положительно определен.

Характеристики

Записи на главная диагональ (верхний левый нижний правый) любой эрмитовой матрицы настоящий.

Доказательство: По определению эрмитовой матрицы

{ displaystyle H_ {ij} = { overline {H}} _ {ji}}

Таким образом, для

я = j

выше следует.

Только главная диагональ записи обязательно настоящие; Эрмитовы матрицы могут иметь произвольные комплексные элементы в своих недиагональные элементы, если диагонально противоположные элементы являются комплексно сопряженными.

Матрица, содержащая только действительные элементы, является эрмитовой. если и только если это симметричный. Действительная и симметричная матрица - это просто частный случай эрмитовой матрицы.

Доказательство:

{ displaystyle H_ {ij} = { overline {H}} _ {ji}}

по определению. Таким образом

{ displaystyle H_ {ij} = H_ {ji}}

(матричная симметрия) тогда и только тогда, когда

{ displaystyle H_ {ij} = { overline {H}} _ {ij}}

(

{ displaystyle H_ {ij}}

реально).

Каждая эрмитова матрица является нормальная матрица. То есть, ${ Displaystyle AA ^ { mathsf {H}} = A ^ { mathsf {H}} A}$ .

Доказательство:

{ Displaystyle А = А ^ { mathsf {H}}}

, так

{ Displaystyle AA ^ { mathsf {H}} = AA = A ^ { mathsf {H}} A}

.

Конечномерный спектральная теорема говорит, что любая эрмитова матрица может быть диагонализованный по унитарная матрица, и что получившаяся диагональная матрица имеет только действительные элементы. Это означает, что все собственные значения эрмитовой матрицы $А$ с размером $п$ настоящие, и это $А$ имеет $п$ линейно независимый собственные векторы. Более того, эрмитова матрица имеет ортогональный собственные векторы для различных собственных значений. Даже если есть вырожденные собственные значения, всегда можно найти ортогональный базис из $ℂ п$ состоящий из $п$ собственные векторы $А$ .

Сумма любых двух эрмитовых матриц эрмитова.

Доказательство:

{ displaystyle (A + B) _ {ij} = A_ {ij} + B_ {ij} = { overline {A}} _ {ji} + { overline {B}} _ {ji} = { overline {(A + B)}} _ {ji},}

как заявлено.

В обратный обратимой эрмитовой матрицы также является эрмитовой.

Доказательство: Если

{ displaystyle A ^ {- 1} A = I}

, тогда

{ Displaystyle I = I ^ { mathsf {H}} = (A ^ {- 1} A) ^ { mathsf {H}} = A ^ { mathsf {H}} (A ^ {- 1}) ^ { mathsf {H}} = A (A ^ {- 1}) ^ { mathsf {H}}}

, так

{ Displaystyle A ^ {- 1} = (A ^ {- 1}) ^ { mathsf {H}}}

как заявлено.

В товар двух эрмитовых матриц $А$ и $B$ эрмитово тогда и только тогда, когда $AB = BA$ .

Доказательство: Обратите внимание, что

{ displaystyle (AB) ^ { mathsf {H}} = { overline {(AB) ^ { mathsf {T}}}} = { overline {B ^ { mathsf {T}} A ^ { mathsf {T}}}} = { overline {B ^ { mathsf {T}}}} { overline {A ^ { mathsf {T}}}} = B ^ { mathsf {H}} A ^ { mathsf {H}} = BA.}

Таким образом

{ Displaystyle (AB) ^ { mathsf {H}} = AB}

если и только если

{ displaystyle AB = BA}

.

Таким образом

А п

эрмитов, если

А

эрмитский и

п

целое число.

Для произвольного комплекснозначного вектора $v$ продукт ${ displaystyle v ^ { mathsf {H}} Av}$ реально из-за ${ displaystyle v ^ { mathsf {H}} Av = left (v ^ { mathsf {H}} Av right) ^ { mathsf {H}}}$ . Это особенно важно в квантовой физике, где эрмитовы матрицы - это операторы, которые измеряют свойства системы, например. Всего вращение которые должны быть настоящими.

Эрмитский комплекс $п$ -от- $п$ матрицы не образуют векторное пространство над сложные числа, $ℂ$ , поскольку единичная матрица $я п$ эрмитово, но $я я п$ не является. Однако комплексные эрмитовы матрицы делать образуют векторное пространство над действительные числа $ℝ$ . в $2 п 2$ -размерный векторное пространство сложных $п \times п$ матрицы над $ℝ$ комплексные эрмитовы матрицы образуют подпространство размерности $п 2$ . Если $E jk$ обозначает $п$ -от- $п$ матрица с $1$ в $j, k$ положения и нулей в другом месте, базис (ортонормированный по отношению к внутреннему произведению Фробениуса) можно описать следующим образом:

{ displaystyle E_ {jj} { text {for}} 1 leq j leq n quad (n { text {matrices}})}

вместе с набором матриц вида

{ displaystyle { frac {1} { sqrt {2}}} left (E_ {jk} + E_ {kj} right) { text {for}} 1 leq j

и матрицы

{ displaystyle { frac {i} { sqrt {2}}} left (E_ {jk} -E_ {kj} right) { text {for}} 1 leq j

где

{ displaystyle i}

обозначает комплексное число

{ displaystyle { sqrt {-1}}}

, называется мнимая единица.

Если $п$ ортонормированные собственные векторы ${ displaystyle u_ {1}, dots, u_ {n}}$ эрмитовой матрицы выбираются и записываются как столбцы матрицы $U$ , затем один собственное разложение из $А$ является ${ displaystyle A = U Lambda U ^ { mathsf {H}}}$ где ${ Displaystyle UU ^ { mathsf {H}} = I = U ^ { mathsf {H}} U}$ и поэтому

{ displaystyle A = sum _ {j} lambda _ {j} u_ {j} u_ {j} ^ { mathsf {H}},}

где

{ displaystyle lambda _ {j}}

- собственные значения на диагонали диагональной матрицы

{ displaystyle ; Lambda}

.

Определитель эрмитовой матрицы действительный:

Доказательство:

{ Displaystyle Det (A) = det left (A ^ { mathsf {T}} right) quad Rightarrow quad det left (A ^ { mathsf {H}} right) = { overline { det (A)}}}

Поэтому если

{ Displaystyle A = A ^ { mathsf {H}} quad Rightarrow quad det (A) = { overline { det (A)}}}

.

(В качестве альтернативы определитель является произведением собственных значений матрицы, и, как упоминалось ранее, собственные значения эрмитовой матрицы действительны.)

Разложение на эрмитово и косоэрмитово

Дополнительные факты, относящиеся к эрмитовым матрицам, включают:

Сумма квадратной матрицы и сопряженной к ней транспонированной ${ Displaystyle влево (А + А ^ { mathsf {H}} вправо)}$ эрмитово.

Разница квадратной матрицы и сопряженной к ней транспонированной ${ displaystyle left (A-A ^ { mathsf {H}} right)}$ является косоэрмитский (также называется антиэрмитовым). Это означает, что коммутатор двух эрмитовых матриц косоэрмитова.

Произвольная квадратная матрица $C$ можно записать в виде суммы эрмитовой матрицы $А$ и косоэрмитова матрица $B$ . Это известно как разложение Теплица $C$ .^[3]^{:п. 7}

{ displaystyle C = A + B quad { mbox {with}} quad A = { frac {1} {2}} left (C + C ^ { mathsf {H}} right) quad { mbox {и}} quad B = { frac {1} {2}} left (CC ^ { mathsf {H}} right)}

Фактор Рэлея

В математике для данной комплексной эрмитовой матрицы M и ненулевой вектор Икс, фактор Рэлея^[4] ${ Displaystyle R (М, х)}$ , определяется как:^[3]^{:п. 234}^[5]

{ Displaystyle R (M, x): = { frac {x ^ { mathsf {H}} Mx} {x ^ { mathsf {H}} x}}}

.

Для вещественных матриц и векторов условие эрмитовости сводится к тому, чтобы быть симметричным, и сопряженные транспонированные ${ Displaystyle х ^ { mathsf {H}}}$ к обычному транспонированию ${ Displaystyle х ^ { mathsf {T}}}$ . Обратите внимание, что ${ Displaystyle Р (М, сх) = Р (М, х)}$ для любого ненулевого действительного скаляра ${ displaystyle c}$ . Также напомним, что эрмитова (или вещественная симметричная) матрица имеет действительные собственные значения.

Это можно показать^{[нужна цитата ]} что для данной матрицы коэффициент Рэлея достигает минимального значения ${ displaystyle lambda _ { min}}$ (наименьшее собственное значение M), когда ${ displaystyle x}$ является ${ displaystyle v _ { min}}$ (соответствующий собственный вектор). Так же, ${ Displaystyle Р (М, х) leq лямбда _ { макс}}$ и ${ Displaystyle R (M, v _ { max}) = lambda _ { max}}$ .

Фактор Рэлея используется в теореме min-max для получения точных значений всех собственных значений. Он также используется в алгоритмах собственных значений для получения аппроксимации собственного значения из приближения собственного вектора. В частности, это основа для итерации фактора Рэлея.

Диапазон отношения Рэлея (для матрицы, которая не обязательно является эрмитовой) называется числовым диапазоном (или спектром в функциональном анализе). Когда матрица эрмитова, числовой диапазон равен спектральной норме. Еще в функциональном анализе, ${ displaystyle lambda _ { max}}$ известен как спектральный радиус. В контексте C * -алгебр или алгебраической квантовой механики функция, которая $M$ связывает фактор Рэлея $р (M, Икс)$ для фиксированного $Икс$ и $M$ изменение через алгебру будет называться «векторным состоянием» алгебры.

Смотрите также

внешняя ссылка

«Эрмитова матрица», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
Визуализация эрмитовой матрицы в виде эллипса с доктором Гео, автор Чао-Гуй Хунг из Университета Чаоян, дает более геометрическое объяснение.
«Эрмитовы матрицы». MathPages.com.

[1] Франкель, Теодор (2004). Геометрия физики: введение. Издательство Кембриджского университета. п. 652. ISBN 0-521-53927-7.

[2] Физика 125 Заметки по курсу в Калифорнийский технологический институт

[HornJohnson-3] а ^б Хорн, Роджер А .; Джонсон, Чарльз Р. (2013). Матричный анализ, второе издание. Издательство Кембриджского университета. ISBN 9780521839402.

[4] Также известен как Отношение Рэлея – Ритца; названный в честь Вальтер Ритц и Лорд Рэйли.

[5] Парлет Б. Н. Симметричная проблема собственных значений, SIAM, Классика прикладной математики, 1998 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

Эрмитова матрица - Hermitian matrix

Содержание

Альтернативные характеристики

Равенство с сопряженным

Реальность квадратичных форм

Спектральные свойства

Приложения

Примеры

Характеристики

Разложение на эрмитово и косоэрмитово

Фактор Рэлея

Смотрите также

Рекомендации

внешняя ссылка