Самосопряженный оператор - Self-adjoint operator

В математика, а самосопряженный оператор на конечномерном комплексное векторное пространство V с внутренний продукт ${ Displaystyle langle cdot, cdot rangle}$ (эквивалентно, a Эрмитов оператор в конечномерном случае) является линейная карта А (из V себе), это его собственный прилегающий: ${ Displaystyle langle Av, w rangle = langle v, Aw rangle}$ для всех векторов v и w. Если V конечномерно с заданной ортонормированный базис, это равносильно тому, что матрица из А это Эрмитова матрица, т.е. равный своему сопряженный транспонировать А^∗. По конечномерному спектральная теорема, V имеет ортонормированный базис такая, что матрица А относительно этого базиса диагональная матрица с записями в действительные числа. В этой статье мы рассматриваем обобщения этого концепция операторам на Гильбертовы пространства произвольной размерности.

Самосопряженные операторы используются в функциональный анализ и квантовая механика. В квантовой механике их важность заключается в Формулировка Дирака – фон Неймана квантовой механики, в которой физическая наблюдаемые например положение, импульс, угловой момент и вращение представлены самосопряженными операторами в гильбертовом пространстве. Особое значение имеет Гамильтониан оператор ${ displaystyle { hat {H}}}$ определяется

{ displaystyle { hat {H}} psi = - { frac { hbar ^ {2}} {2m}} nabla ^ {2} psi + V psi,}

что как наблюдаемое соответствует полной энергии частицы массы м в реальном потенциальном поле V. Дифференциальные операторы - важный класс неограниченные операторы.

Структура самосопряженных операторов в бесконечномерных гильбертовых пространствах по существу напоминает конечномерный случай. То есть операторы самосопряжены тогда и только тогда, когда они унитарно эквивалентны операторам действительного умножения. С соответствующими модификациями этот результат может быть распространен на, возможно, неограниченные операторы в бесконечномерных пространствах. Поскольку всюду определенный самосопряженный оператор обязательно ограничен, нужно более внимательно относиться к вопросу о предметной области в неограниченном случае. Это объясняется ниже более подробно.

Ограниченные самосопряженные операторы

Предполагать ${ displaystyle A}$ это ограниченный линейный оператор из гильбертова пространства ЧАС себе. Тогда существует единственный ограниченный оператор ${ displaystyle A ^ {*}}$ , называется прилегающий из ${ displaystyle A}$ так что (в обозначение бюстгальтера )

{ displaystyle langle Ax | y rangle = left langle x | A ^ {*} y right rangle}

для всех ${ displaystyle x, y}$ в ЧАС.^[1] Мы говорим что А является самосопряженный (физики используют термин «эрмитовский»), если ${ displaystyle A ^ {*} = A}$ . Эквивалентно ограниченный оператор А самосопряжен, если

{ displaystyle langle Ax | y rangle = langle x | Ay rangle}

для всех ${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle y}$ в H.

Каждый ограниченный линейный оператор Т : ЧАС → ЧАС в гильбертовом пространстве ЧАС можно записать в виде ${ displaystyle T = A + iB}$ где А : ЧАС → ЧАС и B : ЧАС → ЧАС - ограниченные самосопряженные операторы.^[2]

Свойства ограниченных самосопряженных операторов

Позволять ЧАС - гильбертово пространство и пусть А : ЧАС → ЧАС - ограниченный самосопряженный линейный оператор, определенный на ${ Displaystyle OperatorName {D} left (A right) = H}$ .

${ displaystyle left langle h, Ах right rangle}$ реально для всех ${ displaystyle h in H}$ .^[3]
${ Displaystyle left | A right | = sup left {| langle h, Ah rangle |: | h | = 1 right }}$ .^[3]
Если образ А, обозначаемый ${ displaystyle operatorname {Im} A}$ , плотно в ЧАС тогда ${ displaystyle A: H to operatorname {Im} A}$ обратимо.
Собственные значения А являются действительными, а собственные векторы, принадлежащие разным собственным значениям, ортогональны.^[3]
Если ${ displaystyle lambda}$ $lambda$ является собственным значением А тогда ${ Displaystyle | лямбда | leq | A |}$ ${ Displaystyle | лямбда | leq | A |}$ ; особенно, ${ displaystyle | lambda | leq sup left {| langle h, Ah rangle: | h | leq 1 right }}$ ${ displaystyle | lambda | leq sup left {| langle h, Ah rangle: | h | leq 1 right }}$ .^[3]
- В общем, может не существовать никакого собственного значения ${ displaystyle lambda}$ такой, что ${ displaystyle | lambda | = sup left {| langle h, Ah rangle: | h | leq 1 right }}$ , но если дополнительно А компактно, то обязательно существует собственное значение ${ displaystyle lambda}$ , равно либо ${ Displaystyle | А |}$ или ${ displaystyle - | A |}$ ,^[4] такой, что ${ displaystyle | lambda | = sup left {| langle h, Ah rangle: | h | leq 1 right }}$ ,^[3]
Если последовательность ограниченных самосопряженных линейных операторов сходится, то предел самосопряженный.^[2]
Есть номер ${ displaystyle lambda}$ , равно либо ${ Displaystyle | А |}$ или ${ displaystyle - | A |}$ , и последовательность ${ displaystyle left (x_ {i} right) _ {i = 1} ^ { infty} substeq H}$ такой, что ${ displaystyle lim _ {я to infty} Ax_ {i} - lambda x_ {i} = 0}$ и ${ Displaystyle | х_ {я} | = 1}$ для всех я.^[4]

Симметричные операторы

Тонкости неограниченного дела

Во многих приложениях мы вынуждены рассматривать неограниченные операторы; примеры включают позиционные, импульсные и гамильтоновы операторы в квантовой механике, а также многие дифференциальные операторы. В неограниченном случае есть ряд тонких технических проблем, которые необходимо решить. В частности, существует принципиальное различие между операторами, которые являются просто «симметричными» (определены в этом разделе), и операторами, которые являются «самосопряженными» (определены в следующем разделе). В случае дифференциальных операторов, определенных в ограниченных областях, эти технические вопросы связаны с правильным выбором граничных условий.

Определение симметричного оператора

Теперь рассмотрим неограниченный оператор А в гильбертовом пространстве ЧАС. Это означает А является линейным отображением из подпространства ЧАС- «домен» А, обозначенный ${ displaystyle operatorname {Dom} (A)}$ —К ЧАС сам. Обычно мы предполагаем, что ${ displaystyle operatorname {Dom} (A)}$ является плотным подпространством в ЧАС. Такой оператор называется симметричный если в скобка,

{ displaystyle langle Ax | y rangle = langle x | Ay rangle}

для всех элементов Икс и у в области А.

Если А симметричен и ${ displaystyle mathrm {Dom} (A) = H}$ , тогда А обязательно ограничено.^[5] То есть неограниченный симметричный оператор не может быть определен на всем гильбертовом пространстве. Поскольку операторы, рассматриваемые в квантовой механике, не ограничены, их невозможно определить как симметричные операторы во всем гильбертовом пространстве.

В физике литература, термин Эрмитский используется вместо термина «симметричный». В физической литературе обычно игнорируется различие между операторами, которые являются просто симметричными, и операторами, которые фактически являются самосопряженными (как определено в следующем разделе).

Хотя понятие симметричного оператора легко понять, это не «правильное» понятие в общем неограниченном случае. В частности, спектральная теорема применяется только к самосопряженным операторам (определенным в следующем разделе), а не к большинству просто симметричных операторов. В частности, хотя собственные значения симметричного оператора обязательно действительны, симметричный оператор не обязательно должен иметь какие-либо собственные векторы, не говоря уже об их ортонормированном базисе.

В более общем смысле, частично определенный линейный оператор А из топологическое векторное пространство E в его непрерывное двойное пространство E^∗ как говорят симметричный если

{ displaystyle langle Ax | y rangle = langle x | Ay rangle}

для всех элементов Икс и у в области А. Это использование довольно стандартно в литературе по функциональному анализу.

Простой пример

Как отмечалось выше, спектральная теорема применяется только к самосопряженным операторам, а не к симметрическим операторам вообще. Тем не менее, здесь мы можем привести простой пример симметричного оператора, который имеет ортонормированный базис из собственных векторов. (Этот оператор фактически "самосопряжен".) Оператор А ниже видно, что компактный обратное, означающее, что соответствующее дифференциальное уравнение Af = грамм решается некоторым интегральным, поэтому компактным, оператором г. Компактный симметричный оператор г то имеет счетное семейство собственных векторов, полных в $L 2$ . То же самое можно сказать и о А.

Рассмотрим комплексное гильбертово пространство L²[0,1] и дифференциальный оператор

{ displaystyle A = - { frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}}}

с ${ displaystyle mathrm {Dom} (A)}$ состоящий из всех комплекснозначных бесконечно дифференцируемый функции ж на [0, 1], удовлетворяющих граничным условиям

{ Displaystyle f (0) = f (1) = 0.}

потом интеграция по частям внутреннего продукта показывает, что А симметрично. Читателю предлагается дважды выполнить интегрирование по частям и убедиться, что заданные граничные условия для ${ displaystyle operatorname {Dom} (A)}$ убедитесь, что граничные члены интегрирования по частям равны нулю.

Собственные функции А синусоиды

{ displaystyle f_ {n} (x) = sin (n pi x) qquad n = 1,2, ldots}

с действительными собственными значениями п²π²; хорошо известная ортогональность синусоидальных функций следует как следствие свойства симметрии.

Ниже мы рассмотрим обобщения этого оператора.

Свойства симметричных операторов

Позволять ЧАС - гильбертово пространство и пусть А быть ЧАС-значный линейный оператор, определенный на ${ Displaystyle OperatorName {D} left (A right) substeq H}$ .

Если А симметрично, то ${ displaystyle left langle h, Ах right rangle}$ реально для всех ${ displaystyle h in operatorname {D} (A)}$ .

Самосопряженные операторы

Определение самосопряженного оператора

Вкратце, плотно определенный линейный оператор А в гильбертовом пространстве есть самосопряженный если он равен своему сопряженному. То есть, А является самосопряженным, если (1) область определения А совпадает с областью определения сопряженного, и (2) оператор А соглашается со своим соседом в этом общем домене.

Теперь уточним приведенное выше определение. Для плотно определенного линейного оператора А на ЧАС, прилегающий А^∗ определяется следующим образом:

Область А^∗ состоит из векторов Икс в ЧАС такой, что
${ displaystyle y mapsto langle x | Ay rangle}$

(который является плотно определенным линейный map) - непрерывный линейный функционал. По непрерывности и плотности области А, он продолжается до единственного непрерывного линейного функционала на всех ЧАС.

Посредством Теорема Рисса о представлении для линейных функционалов, если Икс находится в сфере А^∗, существует уникальный вектор z в ЧАС такой, что
${ displaystyle langle x | Ay rangle = langle z | y rangle qquad forall y in operatorname {Dom} A}$

Этот вектор z определяется как А^∗Икс. Можно показать, что зависимость z на Икс линейно.

Обратите внимание, что именно плотность области определения оператора, наряду с частью уникальности представления Рисса, обеспечивает правильное определение сопряженного оператора.

Результат типа Хеллингера-Теплица гласит, что оператор, имеющий всюду определенное ограниченное сопряжение, ограничен.

Условие того, что линейный оператор в гильбертовом пространстве является самосопряженный сильнее, чем быть симметричный. Хотя это различие носит технический характер, оно очень важно; спектральная теорема применима только к самосопряженным операторам, а не к просто симметричным операторам. Подробное обсуждение различий см. В главе 9 Hall (2013).

Для любого плотно определенного оператора А в гильбертовом пространстве можно определить сопряженный оператор А^∗. Для симметричного оператора А, домен оператора А^∗ содержит домен оператора А, а ограничение оператора А^∗ в области А совпадает с оператором А, т.е. А ⊆ А^∗, другими словами А^∗ является продолжением А. Для самосопряженного оператора А область А^∗ совпадает с доменом А, и А = А^∗. Смотрите также Расширения симметричных операторов и неограниченный оператор.

Существенная самосопряженность

Симметричный оператор А всегда закрывается; то есть замыкание графика А - график оператора. Симметричный оператор А как говорят по существу самосопряженный если закрытие А самосопряженный. Эквивалентно, А по существу самосопряженный, если он имеет уникальный самосопряженное расширение. С практической точки зрения наличие по существу самосопряженного оператора почти так же хорошо, как наличие самосопряженного оператора, поскольку нам просто нужно выполнить замыкание, чтобы получить самосопряженный оператор.

Геометрическая интерпретация

Есть полезный геометрический способ взглянуть на сопутствующего оператора А на ЧАС следующим образом: рассмотрим граф G (А) из А определяется

{ displaystyle operatorname {G} (A) = {( xi, A xi): xi in operatorname {Dom} A } substeq H oplus H.}

Теорема. Пусть J будет симплектическое отображение

{ displaystyle { begin {cases} H oplus H to H oplus H имя оператора {J}: ( xi, eta) mapsto (- eta, xi) end {cases}} }

Тогда график А^∗ это ортогональное дополнение JG (А):

{ Displaystyle OperatorName {G} (A ^ {*}) = ( Operatorname {J} operatorname {G} (A)) ^ { perp} = {(x, y) in H oplus H : langle (x, y) | (-A xi, xi) rangle = 0 ; ; forall xi in operatorname {Dom} A }}

Плотно определенный оператор А симметричен если и только если А ⊆ А^∗, где обозначение подмножества А ⊆ А^∗ означает ГРАММ(А) ⊆ G (А^∗). Оператор А является самосопряженный если и только если А = А^∗; то есть, если и только если ГРАММ(А) = G (А^∗).

Пример

Рассмотрим комплексное гильбертово пространство L²(р), и оператор, умножающий заданную функцию на Икс:

{ Displaystyle Af (x) = xf (x)}

Область А это пространство всего L² функции ${ displaystyle f (x)}$ для которого ${ displaystyle xf (x)}$ также интегрируем с квадратом. потом А самосопряженный.^[6] С другой стороны, А не имеет собственных функций. (Точнее, А нет никаких нормализуемый собственные векторы, то есть собственные векторы, которые фактически находятся в гильбертовом пространстве, на котором А определено.)

Как мы увидим позже, самосопряженные операторы обладают очень важными спектральными свойствами; на самом деле они являются операторами умножения на общих пространствах с мерой.

Различие между симметричными и самосопряженными операторами

Как обсуждалось выше, хотя различие между симметричным оператором и самосопряженным (или по существу самосопряженным) оператором является тонким, оно важно, поскольку самосопряженность является гипотезой спектральной теоремы. Здесь мы обсуждаем некоторые конкретные примеры различия; см. ниже раздел о расширениях симметрических операторов для общей теории.

Граничные условия

В случае, когда гильбертово пространство является пространством функций в ограниченной области, эти различия имеют отношение к известной проблеме квантовой физики: нельзя определить оператор - такой как импульс или оператор гамильтониана - в ограниченной области, не указав граничные условия. С математической точки зрения выбор граничных условий означает выбор подходящей области для оператора. Рассмотрим, например, гильбертово пространство ${ Displaystyle L ^ {2} ([0,1])}$ (пространство квадратично интегрируемых функций на отрезке [0,1]). Определим оператор «импульса» А на этом пространстве по обычной формуле, установив постоянную Планка равной 1:

{ displaystyle Af = -i { frac {df} {dx}}}

.

Теперь мы должны указать домен для А, что сводится к выбору граничных условий. Если мы выберем

{ displaystyle operatorname {Dom} (A) = left {{ text {гладкие функции}} right }}

,

тогда А не является симметричным (поскольку граничные члены при интегрировании по частям не обращаются в нуль).

Если мы выберем

{ displaystyle operatorname {Dom} (A) = left {{ text {smooth functions}} , f | f (0) = f (1) = 0 right }}

,

затем, используя интегрирование по частям, можно легко проверить, что А симметрично. Этот оператор по сути не является самосопряженным,^[7] однако в основном потому, что мы указали слишком много граничных условий в области А, что делает область сопряженного слишком большой. (Этот пример также обсуждается в разделе «Примеры» ниже.)

В частности, с указанным выше выбором домена для А, область замыкания ${ Displaystyle А ^ { mathrm {cl}}}$ из А является

{ displaystyle operatorname {Dom} left (A ^ { mathrm {cl}} right) = left {{ text {functions}} f { text {с двумя производными в}} L ^ {2 } | f (0) = f (1) = 0 right }}

,

тогда как область сопряженного ${ displaystyle A ^ {*}}$ из А является

{ displaystyle operatorname {Dom} left (A ^ {*} right) = left {{ text {functions}} f { text {с двумя производными в}} L ^ {2} right }}

.

То есть область замыкания имеет те же граничные условия, что и область А само по себе, просто менее строгое предположение о гладкости. Между тем, поскольку граничных условий на А, их "слишком мало" (в данном случае их вообще нет) для ${ displaystyle A ^ {*}}$ . Если мы вычислим ${ displaystyle langle g, Af rangle}$ за ${ displaystyle f in operatorname {Dom} (A)}$ используя интегрирование по частям, то поскольку ${ displaystyle f}$ обращается в нуль на обоих концах интервала, нет граничных условий на ${ displaystyle g}$ необходимы для сокращения граничных членов при интегрировании по частям. Таким образом, любая достаточно гладкая функция ${ displaystyle g}$ находится в сфере ${ displaystyle A ^ {*}}$ , с участием ${ displaystyle A ^ {*} g = -i , dg / dx}$ .^[8]

Поскольку область замыкания и область сопряженного не совпадают, А не является самосопряженным. Ведь общий результат говорит, что область определения сопряженного к ${ Displaystyle А ^ { mathrm {cl}}}$ совпадает с областью определения сопряженного к А. Таким образом, в этом случае область определения сопряженного к ${ Displaystyle А ^ { mathrm {cl}}}$ больше, чем область ${ Displaystyle А ^ { mathrm {cl}}}$ сам, показывая, что ${ Displaystyle А ^ { mathrm {cl}}}$ не является самосопряженным, что по определению означает, что А не является самосопряженным.

Проблема с предыдущим примером заключается в том, что мы наложили слишком много граничных условий на область значений А. Лучшим выбором домена было бы использование периодических граничных условий:

{ Displaystyle OperatorName {Dom} (A) = {{ text {гладкие функции}} , f | f (0) = f (1) }}

.

С этим доменом А по существу самосопряжен.^[9]

В этом случае мы можем понять последствия проблем области для спектральной теоремы. Если мы используем первый выбор области (без граничных условий), все функции ${ Displaystyle е _ { бета} (х) = е ^ { бета х}}$ за ${ displaystyle beta in mathbb {C}}$ являются собственными векторами, с собственными значениями ${ displaystyle -i beta}$ , поэтому спектр представляет собой всю комплексную плоскость. Если мы используем второй выбор области (с граничными условиями Дирихле), А вообще не имеет собственных векторов. Если мы воспользуемся третьим выбором области (с периодическими граничными условиями), мы сможем найти ортонормированный базис собственных векторов для А, функции ${ displaystyle f_ {n} (x): = e ^ {2 pi inx}}$ . Таким образом, в этом случае найти такую область, что А самосопряжен - это компромисс: домен должен быть достаточно маленьким, чтобы А симметрична, но достаточно велика, чтобы ${ Displaystyle D (A ^ {*}) = D (A)}$ .

Операторы Шредингера с сингулярными потенциалами

Более тонкий пример различия между симметричными и (по сути) самосопряженными операторами исходит из Операторы Шредингера в квантовой механике. Если потенциальная энергия сингулярна - особенно если потенциал неограничен снизу, - ассоциированный оператор Шредингера может не быть по существу самосопряженным. В одном измерении, например, оператор

{ displaystyle { hat {H}}: = { frac {P ^ {2}} {2m}} - X ^ {4}}

не является по существу самосопряженным на пространстве гладких быстро убывающих функций.^[10] В этом случае нарушение существенной самосопряженности отражает патологию лежащей в основе классической системы: классическая частица с ${ displaystyle -x ^ {4}}$ потенциал ускользает в бесконечность за конечное время. У этого оператора нет уникальный самосопряженный, но он допускает самосопряженные расширения, полученные путем задания «граничных условий на бесконечности». (С ${ displaystyle { hat {H}}}$ является действительным оператором, он коммутирует с комплексным сопряжением. Таким образом, индексы дефекта автоматически равны, что является условием наличия самосопряженного расширения. См. Обсуждение расширений симметрических операторов ниже.)

В этом случае, если мы изначально определим ${ displaystyle { hat {H}}}$ на пространстве гладких, быстро убывающих функций сопряженный будет «тем же» оператором (т. е. заданным той же формулой), но в максимально возможной области, а именно

{ displaystyle operatorname {Dom} left ({ hat {H}} ^ {*} right) = left {{ text {дважды дифференцируемые функции}} f in L ^ {2} ( mathbb {R}) left | left (- { frac { hbar ^ {2}} {2m}} { frac {d ^ {2} f} {dx ^ {2}}} - x ^ {4 } f (x) right) in L ^ {2} ( mathbb {R}) right. right }.}

Тогда можно показать, что ${ displaystyle { hat {H}} ^ {*}}$ не является симметричным оператором, из чего следует, что ${ displaystyle { hat {H}}}$ по существу не самосопряжен. Действительно, ${ displaystyle { hat {H}} ^ {*}}$ имеет собственные векторы с чисто мнимыми собственными значениями,^[11]^[12] что невозможно для симметричного оператора. Этот странный случай возможен из-за отмены между двумя терминами в ${ displaystyle { hat {H}} ^ {*}}$ : Есть функции ${ displaystyle f}$ в области ${ displaystyle { hat {H}} ^ {*}}$ для которого ни ${ displaystyle d ^ {2} f / dx ^ {2}}$ ни ${ Displaystyle х ^ {4} е (х)}$ отдельно в ${ Displaystyle L ^ {2} ( mathbb {R})}$ , но их сочетание, встречающееся в ${ displaystyle { hat {H}} ^ {*}}$ в ${ Displaystyle L ^ {2} ( mathbb {R})}$ . Это позволяет ${ displaystyle { hat {H}} ^ {*}}$ быть несимметричным, хотя оба ${ displaystyle d ^ {2} / dx ^ {2}}$ и ${ displaystyle X ^ {4}}$ являются симметричными операторами. Такого рода отмены не произойдет, если мы заменим отталкивающий потенциал ${ displaystyle -x ^ {4}}$ с ограничивающим потенциалом ${ displaystyle x ^ {4}}$ .

Условия самосопряженности или существенно самосопряженности операторов Шредингера можно найти в различных учебниках, таких как книги Березина и Шубина, Холла, Рида и Саймона, перечисленные в ссылках.

Спектральная теорема

В физической литературе спектральная теорема часто формулируется, говоря, что самосопряженный оператор имеет ортонормированный базис собственных векторов. Однако физикам хорошо известно явление «непрерывного спектра»; таким образом, когда они говорят об «ортонормированном базисе», они имеют в виду либо ортонормированный базис в классическом смысле. или какой-то непрерывный аналог этого. В случае оператора импульса ${ Displaystyle P = -i , d / dx}$ , например, физики сказали бы, что собственные векторы - это функции ${ displaystyle f_ {p} (x): = e ^ {ipx}}$ , которые явно не находятся в гильбертовом пространстве ${ Displaystyle L ^ {2} ( mathbb {R})}$ . (Физики сказали бы, что собственные векторы «ненормализуемы».) Затем физики могли бы сказать, что эти «собственные векторы» ортонормированы в непрерывном смысле, где обычная дельта Кронекера ${ displaystyle delta _ {я, j}}$ заменяется дельта-функцией Дирака ${ Displaystyle дельта влево (п-п ' вправо)}$ .

Хотя эти утверждения могут показаться математикам сбивающими с толку, их можно сделать точными с помощью преобразования Фурье, которое позволяет ${ displaystyle L ^ {2}}$ функция должна быть выражена как "суперпозиция" (т. е. интеграл) функций ${ displaystyle e ^ {ipx}}$ , хотя этих функций нет в ${ displaystyle L ^ {2}}$ . Преобразование Фурье «диагонализует» оператор импульса; то есть преобразует его в оператор умножения на ${ displaystyle p}$ , где ${ displaystyle p}$ - переменная преобразования Фурье.

Спектральная теорема в целом может быть выражена аналогично возможности «диагонализации» оператора, показывая, что он унитарно эквивалентен оператору умножения. Другие версии спектральной теоремы аналогичным образом предназначены для отражения идеи о том, что самосопряженный оператор может иметь «собственные векторы», которые на самом деле не находятся в рассматриваемом гильбертовом пространстве.

Формулировка спектральной теоремы

Частично определенные операторы А, B на гильбертовых пространствах ЧАС, K находятся унитарно эквивалентный тогда и только тогда, когда есть унитарное преобразование U : ЧАС → K такой, что

U карты дом А биективно на дом B,
${ Displaystyle BU xi = UA xi, qquad forall xi in operatorname {dom} A.}$

А оператор умножения определяется следующим образом: Пусть (Икс, Σ, μ) - счетно-аддитивная измерить пространство и ж действительнозначная измеримая функция на Икс. Оператор Т формы

{ Displaystyle [Т фунт / кв. дюйм] (х) = е (х) фунт / кв. дюйм (х)}

чьей областью определения является пространство ψ, правая часть которого лежит в L² называется оператором умножения.

Один из вариантов спектральной теоремы можно сформулировать следующим образом.

Теорема. Любой оператор умножения является (плотно определенным) самосопряженным оператором. Любой самосопряженный оператор унитарно эквивалентен оператору умножения.^[13]

Другие версии спектральной теоремы можно найти в упомянутой выше статье о спектральных теоремах.

Спектральная теорема для неограниченных самосопряженных операторов может быть доказана путем сведения к спектральной теореме для унитарных (следовательно, ограниченных) операторов.^[14] Это сокращение использует Преобразование Кэли для самосопряженных операторов, который определен в следующем разделе. Мы могли бы заметить, что если T - это умножение на f, то спектр T - это просто существенный диапазон выключенный.

Функциональное исчисление

Одним из важных приложений спектральной теоремы является определение "функциональное исчисление. "То есть, если ${ displaystyle h}$ - функция на действительной прямой и ${ displaystyle T}$ - самосопряженный оператор, мы хотим определить оператор ${ displaystyle h (T)}$ . Если ${ displaystyle T}$ имеет истинный ортонормированный базис собственных векторов ${ displaystyle e_ {j}}$ с собственными значениями ${ displaystyle lambda _ {j}}$ , тогда ${ displaystyle h (T)}$ - оператор с собственными векторами ${ displaystyle e_ {j}}$ и собственные значения ${ Displaystyle ч влево ( лямбда _ {j} вправо)}$ . Цель функционального исчисления - распространить эту идею на случай, когда ${ displaystyle T}$ имеет непрерывный спектр.

Особое значение в квантовой физике имеет случай, когда ${ displaystyle T}$ - гамильтонов оператор ${ displaystyle { hat {H}}}$ и ${ Displaystyle ч (х): = е ^ {- itx / hbar}}$ является экспонентой. В этом случае функциональное исчисление должно позволить нам определить оператор

{ displaystyle U (t): = h left ({ hat {H}} right) = e ^ { frac {-it { hat {H}}} { hbar}},}

который является оператором, определяющим эволюцию во времени в квантовой механике.

Учитывая представление Т как оператор умножения на ${ displaystyle f}$ - как гарантируется спектральной теоремой - функциональное исчисление легко охарактеризовать: если час - ограниченная вещественнозначная борелевская функция на р, тогда час(Т) - оператор умножения на композицию ${ displaystyle h circ f}$ .

Разрешение личности

Принято вводить следующие обозначения

{ Displaystyle OperatorName {E} _ {T} ( lambda) = mathbf {1} _ {(- infty, lambda]} (T)}

где ${ Displaystyle mathbf {1} _ {(- infty, lambda]}}$ - характеристическая функция интервала ${ displaystyle (- infty, lambda]}$ . Семейство операторов проектирования E_Т(λ) называется разрешение личности за Т. Более того, следующие Интеграл Стилтьеса представительство для Т можно доказать:

{ displaystyle T = int _ {- infty} ^ {+ infty} lambda d operatorname {E} _ {T} ( lambda).}

Приведенное выше определение операторного интеграла можно свести к определению скалярнозначного интеграла Стилтьеса с использованием слабой операторной топологии. Однако в более современных методах лечения этого представления обычно избегают, поскольку с большинством технических проблем можно справиться с помощью функционального исчисления.

Формулировка в физической литературе

В физике, особенно в квантовой механике, спектральная теорема выражается таким образом, который объединяет спектральную теорему, как указано выше, и Функциональное исчисление Бореля с помощью Обозначение Дирака следующим образом:

Если ЧАС самосопряжен и ж это Функция Бореля,

{ Displaystyle F (H) = int dE left | Psi _ {E} rangle f (E) langle Psi _ {E} right |}

с

{ Displaystyle H left | Psi _ {E} right rangle = E left | Psi _ {E} right rangle}

где интеграл пробегает весь спектр ЧАС. Обозначения предполагают, что ЧАС диагонализуется собственными векторами Ψ_E. Такое обозначение чисто формальный. Видно сходство обозначений Дирака и предыдущего раздела. Разрешение тождества (иногда называемого проекционно-значными мерами) формально напоминает проекции ранга 1 ${ Displaystyle left | Psi _ {E} right rangle left langle Psi _ {E} right |}$ . В обозначениях Дирака (проективные) измерения описываются через собственные значения и собственные состояния, оба объекта чисто формальные. Как и следовало ожидать, это не переживает перехода к разрешению идентичности. В последней формулировке измерения описываются с помощью спектральная мера из ${ displaystyle | Psi rangle}$ , если система подготовлена в ${ displaystyle | пси rangle}$ перед измерением. В качестве альтернативы, если кто-то хочет сохранить понятие собственных состояний и сделать его строгим, а не просто формальным, можно заменить пространство состояний подходящим оснащенное гильбертово пространство.

Если ж = 1, теорема называется разрешением единицы:

{ Displaystyle I = int dE left | Psi _ {E} right rangle left langle Psi _ {E} right |}

В этом случае ${ displaystyle H _ { text {eff}} = H-i Gamma}$ это сумма эрмитова ЧАС и косоэрмитова (см. косоэрмитова матрица ) оператор ${ displaystyle -i Gamma}$ , определяется биортогональный базисный набор

{ displaystyle H _ { text {eff}} ^ {*} left | Psi _ {E} ^ {*} right rangle = E ^ {*} left | Psi _ {E} ^ {* } right rangle}

и запишем спектральную теорему как:

{ Displaystyle е влево (H _ { text {eff}} right) = int dE left | Psi _ {E} right rangle f (E) left langle Psi _ {E} ^ {*} right |}

(Видеть Разбиение Фешбаха – Фано метод для контекста, где такие операторы появляются в теория рассеяния ).

Расширения симметричных операторов

В нескольких контекстах возникает следующий вопрос: если оператор А на гильбертовом пространстве ЧАС симметричен, когда у него есть самосопряженные расширения? Оператор, имеющий единственное самосопряженное расширение, называется по существу самосопряженный; эквивалентно, оператор является по существу самосопряженным, если его замыкание (оператор, график которого является замыканием графика А) самосопряжен. В общем, симметричный оператор может иметь много самосопряженных расширений или вообще не иметь. Таким образом, нам нужна классификация его самосопряженных расширений.

Первым основным критерием существенной самосопряженности является следующее:^[15]

Теорема: Если А является симметричным оператором на ЧАС, тогда А по существу самосопряжен тогда и только тогда, когда диапазон операторов

{ displaystyle A-i}

и

{ displaystyle A + i}

плотно в ЧАС.

Эквивалентно, А является по существу самосопряженным тогда и только тогда, когда операторы ${ displaystyle A ^ {*} - i}$ и ${ displaystyle A ^ {*} + i}$ имеют тривиальные ядра.^[16] То есть, А не может быть самосопряженный тогда и только тогда, когда ${ displaystyle A ^ {*}}$ имеет собственный вектор с собственным значением ${ displaystyle i}$ или ${ displaystyle -i}$ .

Другой способ взглянуть на проблему предоставляется Преобразование Кэли самосопряженного оператора и индексы дефекта. (Часто бывает технически удобно иметь дело с закрытые операторы. В симметричном случае требование замкнутости не создает препятствий, поскольку известно, что все симметричные операторы являются закрываемый.)

Теорема. Предполагать А является симметричным оператором. Тогда существует единственный частично определенный линейный оператор

{ displaystyle operatorname {W} (A): operatorname {ran} (A + i) to operatorname {ran} (A-i)}

такой, что

{ displaystyle operatorname {W} (A) (Ax + ix) = Ax-ix, qquad x in operatorname {dom} (A).}

Вот, побежал и дом обозначить изображение (другими словами, диапазон) и домен, соответственно. W (А) является изометрический на своем домене. Причем диапазон 1 - W (А) является плотный в ЧАС.

И наоборот, для любого частично определенного оператора U которая изометрична в своей области (которая не обязательно замкнута) и такая, что 1 -U плотно, существует (единственный) оператор S (U)

{ displaystyle operatorname {S} (U): operatorname {ran} (1-U) to operatorname {ran} (1 + U)}

такой, что

{ Displaystyle OperatorName {S} (U) (x-Ux) = я (x + Ux) qquad x in operatorname {dom} (U).}

Оператор S (U) плотно определен и симметричен.

Отображения W и S обратны друг другу.^{[требуется разъяснение ]}

Отображение W называется Преобразование Кэли. Он связывает частично определенная изометрия любому симметричному плотно определенному оператору. Обратите внимание, что отображения W и S являются монотонный: Это означает, что если B - симметричный оператор, расширяющий плотно определенный симметричный оператор А, то W (B) расширяет W (А), и аналогично для S.

Теорема. Необходимое и достаточное условие для А быть самосопряженным означает, что его преобразование Кэли W (А) быть унитарным.

Это сразу дает нам необходимое и достаточное условие для А иметь самосопряженное расширение, как показано ниже:

Теорема. Необходимое и достаточное условие для А иметь самосопряженное расширение означает, что W (А) имеют унитарное расширение.

Частично определенный изометрический оператор V в гильбертовом пространстве ЧАС имеет единственное изометрическое продолжение до замыкания по норме dom (V). Частично определенный изометрический оператор с замкнутой областью определения называется частичная изометрия.

Учитывая частичную изометрию V, то показатели дефицита из V определяются как размер ортогональные дополнения домена и диапазона:

{ Displaystyle { begin {выровнен} n _ {+} (V) & = operatorname {dim} operatorname {dom} (V) ^ { perp} n _ {-} (V) & = operatorname {dim} OperatorName {ran} (V) ^ { perp} end {align}}}

Теорема. Частичная изометрия V имеет унитарное расширение тогда и только тогда, когда индексы дефекта идентичны. Более того, V имеет уникальный унитарное расширение тогда и только тогда, когда оба индекса дефекта равны нулю.

Мы видим, что существует биекция между симметричными расширениями оператора и изометрическими расширениями его преобразования Кэли. Симметричное расширение самосопряжено тогда и только тогда, когда соответствующее изометрическое расширение унитарно.

Симметричный оператор имеет единственное самосопряженное расширение тогда и только тогда, когда оба его индекса дефекта равны нулю. Такой оператор называется по существу самосопряженный. Симметричные операторы, которые по существу не являются самосопряженными, могут все же иметь канонический самосопряженное расширение. Так обстоит дело с неотрицательный симметричные операторы (или, в более общем смысле, ограниченные снизу операторы). Эти операторы всегда имеют канонически определенный Расширение Фридрихса и для этих операторов мы можем определить каноническое функциональное исчисление. Многие операторы, встречающиеся в анализе, ограничены снизу (например, отрицание оператора Лапласиан оператор), поэтому вопрос о существенной сопряженности этих операторов менее важен.

Самосопряженные расширения в квантовой механике

В квантовой механике наблюдаемые соответствуют самосопряженным операторам. К Теорема Стоуна об однопараметрических унитарных группах, самосопряженные операторы - это в точности инфинитезимальные генераторы унитарных групп эволюция во времени операторы. Однако многие физические проблемы формулируются как уравнение эволюции во времени, включающее дифференциальные операторы, для которых гамильтониан только симметричен. В таких случаях либо гамильтониан является по существу самосопряженным, и в этом случае физическая проблема имеет единственные решения, либо делается попытка найти самосопряженные расширения гамильтониана, соответствующие различным типам граничных условий или условий на бесконечности.

Пример. Одномерный оператор Шредингера с потенциалом ${ Displaystyle V (х) = - (1+ | х |) ^ { альфа}}$ , определенная изначально на гладких функциях с компактным носителем, является по существу самосопряженной (т.е. имеет самосопряженное замыкание) для $0 < α \leq 2$ но не для $α > 2$ . См. Березин и Шубин, страницы 55 и 86 или раздел 9.10 в Холле.

Нарушение сущностной самосопряженности для ${ displaystyle alpha> 2}$ имеет аналог в классической динамике частицы с потенциалом ${ Displaystyle V (х)}$ : Классическая частица убегает в бесконечность за конечное время.^[17]

Пример. Нет самосопряженного оператора импульса п для частицы, движущейся по полуоси. Тем не менее гамильтониан ${ displaystyle p ^ {2}}$ "свободной" частицы на полупрямой имеет несколько самосопряженных расширений, соответствующих разным типам граничных условий. Физически эти граничные условия связаны с отражениями частицы в начале координат (см. Рид и Саймон, том 2).

Формулы фон Неймана

Предполагать А симметрично плотно определено. Тогда любое симметричное расширение А это ограничение А*. Действительно, А ⊆ B и B симметричная доходность B ⊆ А* применяя определение dom (А*).

Теорема. Предполагать А - плотно определенный симметрический оператор. Позволять

{ displaystyle N _ { pm} = operatorname {ran} (A pm i) ^ { perp},}

потом

{ displaystyle N _ { pm} = operatorname {ker} (A ^ {*} mp i),}

и

{ displaystyle operatorname {dom} left (A ^ {*} right) = operatorname {dom} left ({ overline {A}} right) oplus N _ {+} oplus N _ {-} ,}

где разложение ортогонально относительно графа скалярного произведения dom (А*):

{ Displaystyle langle xi | eta rangle _ { text {graph}} = langle xi | eta rangle + left langle A ^ {*} xi | A ^ {*} eta right rangle}

.

Они упоминаются как формулы фон Неймана в справочнике Ахиезера и Глазмана.

Примеры

Симметричный оператор, который не является по существу самосопряженным

Сначала рассмотрим гильбертово пространство ${ Displaystyle L ^ {2} [0,1]}$ и дифференциальный оператор

{ displaystyle D: phi mapsto { frac {1} {i}} phi '}

определенная на пространстве непрерывно дифференцируемых комплекснозначных функций на [0,1], удовлетворяющих граничным условиям

{ Displaystyle phi (0) = phi (1) = 0.}

потом D является симметричным оператором, как можно показать с помощью интеграция по частям. Пространства N₊, N₋ (определенные ниже) даются соответственно распределительный решения уравнения

{ displaystyle { begin {align} -iu '& = iu - iu' & = - iu end {align}}}

которые находятся в L²[0, 1]. Можно показать, что каждое из этих пространств решений одномерно, порождено функциями Икс → е^−x и Икс → е^Икс соответственно. Это показывает, что D не является по существу самосопряженным,^[18] но имеет самосопряженные расширения. Эти самосопряженные расширения параметризуются пространством унитарных отображений N₊ → N₋, которая в данном случае оказывается единичной окружностью Т.

В этом случае нарушение существенного самосопряженности связано с «неправильным» выбором граничных условий при определении области ${ displaystyle D}$ . С ${ displaystyle D}$ является оператором первого порядка, требуется только одно граничное условие, чтобы гарантировать, что ${ displaystyle D}$ симметрично. Если мы заменим указанные выше граничные условия одним граничным условием

{ Displaystyle фи (0) = фи (1)}

,

тогда D все еще был бы симметричным и фактически самосопряженным. Эта замена граничных условий дает одно частное существенно самосопряженное расширение D. Другие существенно самосопряженные расширения возникают из-за наложения граничных условий вида ${ Displaystyle фи (1) = е ^ {я тета} фи (0)}$ .

Этот простой пример иллюстрирует общий факт о самосопряженных расширениях симметрических дифференциальных операторов. п на открытой площадке M. Они определяются унитарными отображениями между пространствами собственных значений

{ displaystyle N _ { pm} = left {u in L ^ {2} (M): P _ { operatorname {dist}} u = pm iu right }}

где п_{расстояние} является дистрибутивным расширением п.

Операторы с постоянными коэффициентами

Далее приведем пример дифференциальных операторов с постоянные коэффициенты. Позволять

{ displaystyle P left ({ vec {x}} right) = sum _ { alpha} c _ { alpha} x ^ { alpha}}

быть полиномом на р^п с настоящий коэффициентов, где α пробегает (конечный) набор мультииндексы. Таким образом

{ Displaystyle альфа = ( альфа _ {1}, альфа _ {2}, ldots, альфа _ {п})}

и

{ displaystyle x ^ { alpha} = x_ {1} ^ { alpha _ {1}} x_ {2} ^ { alpha _ {2}} cdots x_ {n} ^ { alpha _ {n} }.}

Мы также используем обозначения

{ displaystyle D ^ { alpha} = { frac {1} {i ^ {| alpha |}}} partial _ {x_ {1}} ^ { alpha _ {1}} partial _ {x_ {2}} ^ { alpha _ {2}} cdots partial _ {x_ {n}} ^ { alpha _ {n}}.}

Тогда оператор п(D), определенные на пространстве бесконечно дифференцируемых функций компактного носителя на р^п к

{ Displaystyle P ( OperatorName {D}) phi = sum _ { alpha} c _ { alpha} operatorname {D} ^ { alpha} phi}

по существу самосопряжен на L²(р^п).

Теорема. Позволять п полиномиальная функция на р^п с действительными коэффициентами, F преобразование Фурье, рассматриваемое как унитарное отображение L²(р^п) → L²(р^п). потом F*п(D)F является по существу самосопряженным и его единственное самосопряженное расширение является оператором умножения на функцию п.

В более общем смысле, рассмотрим линейные дифференциальные операторы, действующие на бесконечно дифференцируемые комплекснозначные функции с компактным носителем. Если M открытое подмножество р^п

{ Displaystyle п фи (х) = сумма _ { альфа} а _ { альфа} (х) влево [D ^ { альфа} фи вправо] (х)}

где а_α являются (не обязательно постоянными) бесконечно дифференцируемыми функциями. п является линейным оператором

{ displaystyle C_ {0} ^ { infty} (M) to C_ {0} ^ { infty} (M).}

Соответствует п есть еще один дифференциальный оператор, формальный присоединенный из п

{ displaystyle P ^ { mathrm {* form}} phi = sum _ { alpha} D ^ { alpha} left ({ overline {a _ { alpha}}} phi right)}

Теорема. Смежный п* из п является ограничением дистрибутивного расширения формального сопряженного на подходящее подпространство

{ displaystyle L ^ {2}}

. В частности:

{ displaystyle operatorname {dom} P ^ {*} = left {u in L ^ {2} (M): P ^ { mathrm {* form}} u in L ^ {2} (M )верно}.}

Теория спектральной множественности

Представление умножения самосопряженного оператора, хотя и чрезвычайно полезно, не является каноническим представлением. Это говорит о том, что нелегко извлечь из этого представления критерий, позволяющий определить, когда самосопряженные операторы А и B унитарно эквивалентны. Самое тонкое представление, которое мы сейчас обсуждаем, связано со спектральной множественностью. Этот круг результатов называется Хан -Хеллингер теория спектральной множественности.

Равномерная множественность

Сначала определим равномерная множественность:

Определение. Самосопряженный оператор А имеет равномерную кратность п где п такое, что 1 ≤ п ≤ ω тогда и только тогда, когда А унитарно эквивалентно оператору M_ж умножения на функцию ж(λ) = λ на

{ Displaystyle L _ { mu} ^ {2} left ( mathbf {R}, mathbf {H} _ {n} right) = left { psi: mathbf {R} to mathbf {H} _ {n}: psi { mbox {измеримое и}} int _ { mathbf {R}} | psi (t) | ^ {2} d mu (t) < infty верно}}

где ЧАС_п гильбертово пространство размерности п. Область M_ж состоит из вектор-функций ψ на р такой, что

{ displaystyle int _ { mathbf {R}} | lambda | ^ {2} | psi ( lambda) | ^ {2} , d mu ( lambda) < infty.}

Неотрицательные счетно-аддитивные меры μ, ν суть взаимно единичный тогда и только тогда, когда они поддерживаются на непересекающихся борелевских множествах.

Теорема. Позволять А - самосопряженный оператор на отделяемый Гильбертово пространство ЧАС. Тогда существует последовательность ω счетно-аддитивных конечных мер на р (некоторые из которых могут быть идентичными 0)

{ displaystyle left { mu _ { ell} right } _ {1 leq ell leq omega}}

такие, что меры попарно особые и А унитарно эквивалентно оператору умножения на функцию ж(λ) = λ на

{ displaystyle bigoplus _ {1 leq ell leq omega} L _ { mu _ { ell}} ^ {2} left ( mathbf {R}, mathbf {H} _ { ell} верно).}

Это представление уникально в следующем смысле: для любых двух таких представлений одного и того же А, соответствующие меры эквивалентны в том смысле, что имеют одинаковые множества меры 0.

Прямые интегралы

Теорема о спектральной кратности может быть переформулирована на языке прямые интегралы гильбертовых пространств:

Теорема.^[19] Любой самосопряженный оператор в сепарабельном гильбертовом пространстве унитарно эквивалентен умножению на функцию λ ↦ λ на

{ displaystyle int _ { mathbf {R}} ^ { oplus} H _ { lambda} , d mu ( lambda).}

В отличие от версии спектральной теоремы с оператором умножения, версия с прямым интегралом уникальна в том смысле, что класс эквивалентности меры меры μ (или, что то же самое, его множества меры 0) определен однозначно, а измеримая функция ${ displaystyle lambda mapsto mathrm {dim} (H _ { lambda})}$ определяется почти всюду по μ.^[20] Функция ${ displaystyle lambda mapsto operatorname {dim} left (H _ { lambda} right)}$ это спектральная функция кратности оператора.

Теперь мы можем сформулировать результат классификации самосопряженных операторов: два самосопряженных оператора унитарно эквивалентны тогда и только тогда, когда (1) их спектры совпадают как множества, (2) меры, появляющиеся в их представлениях в прямой интеграл, имеют одинаковые множества меры нуль и (3) их функции спектральной кратности почти всюду совпадают относительно меры в прямом интеграле.^[21]

Пример: структура лапласиана

Лапласиан на р^п оператор

{ displaystyle Delta = sum _ {i = 1} ^ {n} partial _ {x_ {i}} ^ {2}.}

Как отмечалось выше, лапласиан диагонализуется преобразованием Фурье. На самом деле естественнее рассматривать отрицательный лапласиана −Δ, поскольку как оператор он неотрицателен; (увидеть эллиптический оператор ).

Теорема. Если п = 1, то −Δ имеет равномерную кратность ${ displaystyle { text {mult}} = 2}$ , иначе −Δ имеет равномерную кратность ${ displaystyle { text {mult}} = omega}$ . Более того, мера μ_мульт может считаться мерой Лебега на [0, ∞).

Чистый точечный спектр

Самосопряженный оператор А на ЧАС имеет чисто точечный спектр тогда и только тогда, когда ЧАС имеет ортонормированный базис {е_я}_{я ∈ I} состоящий из собственных векторов для А.

пример. Гамильтониан гармонического осциллятора имеет квадратичный потенциал V, то есть

{ displaystyle - Delta + | x | ^ {2}.}

Этот гамильтониан имеет чисто точечный спектр; это типично для связанного состояния Гамильтонианы в квантовой механике. Как было указано в предыдущем примере, достаточным условием наличия у неограниченного симметричного оператора собственных векторов, образующих базис гильбертова пространства, является наличие у него компактного обратного.

Смотрите также

Цитаты

^ Зал 2013 Предложение A.53.
^ ^а ^б Гриффель 2002, п. 238.
^ ^а ^б ^c ^d ^е Гриффель 2002 С. 224-230.
^ ^а ^б Гриффель 2002, pp. 240-245.
^ Зал 2013 Следствие 9.9.
^ Зал 2013 Предложение 9.30
^ Зал 2013 Предложение 9.27.
^ Зал 2013 Предложение 9.28.
^ Зал 2013 Пример 9.25
^ Зал 2013 Теорема 9.41.
^ Березин и Шубин 1991 п. 85
^ Зал 2013 Раздел 9.10
^ Зал 2013 Теоремы 7.20 и 10.10.
^ Зал 2013 Раздел 10.4
^ Зал 2013 Теорема 9.21.
^ Зал 2013 Следствие 9.22.
^ Зал 2013 Глава 2, Упражнение 4
^ Зал 2013 Раздел 9.6
^ Зал 2013 Теоремы 7.19 и 10.9.
^ Зал 2013 Предложение 7.22.
^ Зал 2013 Предложение 7.24.

Функциональный анализ (темы – глоссарий )
Пространства	Гильбертово пространство Банахово пространство Fréchet space топологическое векторное пространство
Теоремы	Теорема Хана – Банаха теорема о замкнутом графике принцип равномерной ограниченности Теорема Какутани о неподвижной точке Теорема Крейна – Мильмана теорема мин-макс Теорема Гельфанда – Наймарка. Теорема Банаха – Алаоглу
Операторы	ограниченный оператор компактный оператор сопряженный оператор унитарный оператор Оператор Гильберта – Шмидта класс трассировки неограниченный оператор
Алгебры	Банахова алгебра C * -алгебра спектр C * -алгебры операторная алгебра групповая алгебра локально компактной группы алгебра фон Неймана
Открытые проблемы	проблема инвариантного подпространства Гипотеза Малера
Приложения	Пространство Бесова Харди космос спектральная теория обыкновенных дифференциальных уравнений тепловое ядро теорема об индексе вариационное исчисление функциональное исчисление интегральный оператор Многочлен Джонса топологическая квантовая теория поля некоммутативная геометрия Гипотеза Римана
Дополнительные темы	локально выпуклое пространство свойство аппроксимации сбалансированный набор Пространство Шварца слабая топология ствольное пространство Расстояние Банаха – Мазура Теория Томиты – Такесаки

Гильбертовы пространства
Базовые концепты	Примыкающий Внутренний продукт и L-полувнутренний продукт Гильбертово пространство и Предгильбертово пространство
Основные результаты	Неравенство Бесселя Неравенство Коши – Шварца Представительство Рисса
Другие результаты	Личность Парсеваля Поляризационная идентичность
Карты	Компактный оператор в гильбертовом пространстве Плотно очерченный Эрмитова форма Гильберта-Шмидта Нормальный Самосопряженный Полуторалинейная форма Класс трассировки Унитарный
Примеры	C^п(K) с K компактный и п<∞ Сегал – Баргманн F