Теорема Стоунса об однопараметрических унитарных группах - Википедия - Stones theorem on one-parameter unitary groups

В математика, Теорема Стоуна на однопараметрический унитарные группы это основная теорема функциональный анализ который устанавливает взаимно однозначное соответствие между самосопряженные операторы на Гильбертово пространство ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ и однопараметрические семейства

${ Displaystyle (U_ {т}) _ {т in mathbb {R}}}$

из унитарные операторы которые сильно непрерывный, т.е.

${ displaystyle forall t_ {0} in mathbb {R}, psi in { mathcal {H}}: qquad lim _ {t to t_ {0}} U_ {t} ( psi ) = U_ {t_ {0}} ( psi),}$

и являются гомоморфизмами, т. е.

${ displaystyle forall s, t in mathbb {R}: qquad U_ {t + s} = U_ {t} U_ {s}.}$

Такие однопараметрические семейства обычно называют сильно непрерывные однопараметрические унитарные группы.

Теорема была доказана Маршалл Стоун  (1930, 1932 ), и Нейман (1932) показал, что требование, чтобы ${ Displaystyle (U_ {т}) _ {т in mathbb {R}}}$ быть сильно непрерывным, можно ослабить, чтобы сказать, что оно просто слабо измеримо, по крайней мере, когда гильбертово пространство сепарабельно.

Это впечатляющий результат, поскольку он позволяет определить производную отображения ${ displaystyle t mapsto U_ {t},}$ который только должен быть непрерывным. Это также связано с теорией Группы Ли и Алгебры Ли.

Официальное заявление

Формулировка теоремы следующая.^[1]

Теорема. Позволять ${ Displaystyle (U_ {т}) _ {т в mathbb {R}}}$ быть сильно непрерывный однопараметрическая унитарная группа. Тогда существует единственный (возможно, неограниченный) оператор ${ displaystyle A: { mathcal {D}} _ {A} to { mathcal {H}}}$, который самосопряжен на ${ displaystyle { mathcal {D}} _ {A}}$ и такой, что

${ displaystyle forall t in mathbb {R}: qquad U_ {t} = e ^ {itA}.}$

Область ${ displaystyle A}$ определяется

${ Displaystyle { mathcal {D}} _ {A} = left { psi in { mathcal {H}} left | lim _ { varepsilon to 0} { frac {-i} { varepsilon}} left (U _ { varepsilon} ( psi) - psi right) { text {exists}} right. right }.}$

Наоборот, пусть ${ displaystyle A: { mathcal {D}} _ {A} to { mathcal {H}}}$ - (возможно, неограниченный) самосопряженный оператор на ${ displaystyle { mathcal {D}} _ {A} substeq { mathcal {H}}.}$ Тогда однопараметрическое семейство ${ Displaystyle (U_ {т}) _ {т в mathbb {R}}}$ унитарных операторов, определяемых

${ displaystyle forall t in mathbb {R}: qquad U_ {t}: = e ^ {itA}}$

является сильно непрерывной однопараметрической группой.

В обеих частях теоремы выражение ${ displaystyle e ^ {itA}}$ определяется с помощью спектральная теорема для неограниченного самосопряженные операторы.

Оператор ${ displaystyle A}$ называется бесконечно малый генератор из ${ displaystyle (U_ {t}) _ {t in mathbb {R}}.}$ Более того, ${ displaystyle A}$ будет ограниченным оператором тогда и только тогда, когда операторнозначное отображение ${ Displaystyle т mapsto U_ {т}}$ является норма -непрерывный.

Бесконечно малый генератор ${ displaystyle A}$ сильно непрерывной унитарной группы ${ Displaystyle (U_ {т}) _ {т в mathbb {R}}}$ может быть вычислено как

${ displaystyle A psi = -i lim _ { varepsilon to 0} { frac {U _ { varepsilon} psi - psi} { varepsilon}},}$

с доменом ${ displaystyle A}$ состоящий из этих векторов ${ displaystyle psi}$ для которого существует предел в топологии нормы. То есть, ${ displaystyle A}$ равно ${ displaystyle -i}$ раз производная от ${ displaystyle U_ {t}}$ относительно ${ displaystyle t}$ в ${ displaystyle t = 0}$. Часть утверждения теоремы состоит в том, что эта производная существует, т. Е. Что ${ displaystyle A}$ - плотно определенный самосопряженный оператор. Результат неочевиден даже в конечномерном случае, поскольку ${ displaystyle U_ {t}}$ только предполагается (заранее) как непрерывный, а не дифференцируемый.

Пример

Семейство операторов перевода

${ displaystyle left [T_ {t} ( psi) right] (x) = psi (x + t)}$

- однопараметрическая унитарная группа унитарных операторов; инфинитезимальный генератор этого семейства является расширение дифференциального оператора

${ displaystyle -i { frac {d} {dx}}}$

на пространстве непрерывно дифференцируемых комплекснозначных функций с компактная опора на ${ displaystyle mathbb {R}.}$ Таким образом

${ displaystyle T_ {t} = e ^ {t { frac {d} {dx}}}.}$

Другими словами, движение на линии создается оператор импульса.

Приложения

Теорема Стоуна имеет множество приложений в квантовая механика. Например, для изолированной квантово-механической системы с гильбертовым пространством состояний ЧАС, эволюция во времени является сильно непрерывной однопараметрической унитарной группой на ${ displaystyle { mathcal {H}}}$. Инфинитезимальный генератор этой группы - система Гамильтониан.

Использование преобразования Фурье

Теорему Стоуна можно переформулировать, используя язык преобразование Фурье. Настоящая линия ${ Displaystyle mathbb {R}}$ является локально компактной абелевой группой. Невырожденные * -представления группа C * -алгебра ${ Displaystyle С ^ {*} ( mathbb {R})}$ находятся во взаимно однозначном соответствии с сильно непрерывными унитарными представлениями ${ displaystyle mathbb {R},}$ т.е. сильно непрерывные однопараметрические унитарные группы. С другой стороны, преобразование Фурье - это * -изоморфизм из ${ Displaystyle С ^ {*} ( mathbb {R})}$ к ${ Displaystyle C_ {0} ( mathbb {R}),}$ то ${ displaystyle C ^ {*}}$-алгебра непрерывных комплекснозначных функций на вещественной прямой, обращающихся в нуль на бесконечности. Следовательно, существует взаимно однозначное соответствие между сильно непрерывными однопараметрическими унитарными группами и * -представлениями группы ${ displaystyle C_ {0} ( mathbb {R}).}$ Как и любое * -представление ${ Displaystyle C_ {0} ( mathbb {R})}$ однозначно соответствует самосопряженному оператору, теорема Стоуна верна.

Следовательно, процедура получения инфинитезимального генератора сильно непрерывной однопараметрической унитарной группы выглядит следующим образом:

• Позволять ${ Displaystyle (U_ {т}) _ {т in mathbb {R}}}$ - сильно непрерывное унитарное представление ${ Displaystyle mathbb {R}}$ на Гильбертово пространство ${ displaystyle { mathcal {H}}}$.

• Интегрируйте это унитарное представление, чтобы получить невырожденное * -представление ${ displaystyle rho}$ из ${ Displaystyle С ^ {*} ( mathbb {R})}$ на ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ сначала определив

${ displaystyle forall f in C_ {c} ( mathbb {R}): qquad rho (f): = int _ { mathbb {R}} f (t) ~ U_ {t} dt, }$

а затем расширение ${ displaystyle rho}$ ко всем ${ Displaystyle С ^ {*} ( mathbb {R})}$ по преемственности.

• Используйте преобразование Фурье, чтобы получить невырожденное * -представление ${ Displaystyle тау}$ из ${ Displaystyle C_ {0} ( mathbb {R})}$ на ${ displaystyle { mathcal {H}}}$.

• Посредством Теорема Рисса-Маркова., ${ Displaystyle тау}$ рождает проекционно-оценочная мера на ${ Displaystyle mathbb {R}}$ это разрешение идентичности уникального самосопряженный оператор ${ displaystyle A}$, который может быть неограниченным.

• потом ${ displaystyle A}$ является бесконечно малым генератором ${ displaystyle (U_ {t}) _ {t in mathbb {R}}.}$

Точное определение ${ Displaystyle С ^ {*} ( mathbb {R})}$ как следует. Рассмотрим * -алгебру ${ displaystyle C_ {c} ( mathbb {R}),}$ непрерывные комплекснозначные функции на ${ Displaystyle mathbb {R}}$ с компактной опорой, где умножение дается свертка. Пополнение этой * -алгебры относительно ${ Displaystyle L ^ {1}}$-норма является банаховой * -алгеброй, обозначаемой ${ displaystyle (L ^ {1} ( mathbb {R}), star).}$ потом ${ Displaystyle С ^ {*} ( mathbb {R})}$ определяется как обволакивающий ${ displaystyle C ^ {*}}$-алгебра из ${ Displaystyle (L ^ {1} ( mathbb {R}), звезда)}$, т.е. его завершение по максимально возможной ${ displaystyle C ^ {*}}$-норма. Нетривиальный факт, что с помощью преобразования Фурье ${ Displaystyle С ^ {*} ( mathbb {R})}$ изоморфен ${ displaystyle C_ {0} ( mathbb {R}).}$ Результатом в этом направлении является Лемма Римана-Лебега., что говорит о том, что преобразование Фурье отображает ${ Displaystyle L ^ {1} ( mathbb {R})}$ к ${ displaystyle C_ {0} ( mathbb {R}).}$

Обобщения

В Теорема Стоуна – фон Неймана обобщает теорему Стоуна на пара самосопряженных операторов, ${ displaystyle (P, Q)}$, удовлетворяя каноническое коммутационное соотношение, и показывает, что все они унитарно эквивалентны оператор позиции и оператор импульса на ${ displaystyle L ^ {2} ( mathbb {R}).}$

В Теорема Хилле – Иосиды обобщает теорему Стоуна на сильно непрерывные однопараметрические полугруппы схватки на Банаховы пространства.

Рекомендации

Библиография

• Холл, B.C. (2013), Квантовая теория для математиков, Тексты для выпускников по математике, 267, Спрингер, ISBN  978-1461471158
• Neumann, J. von (1932), "Uber einen Satz von Herrn M. H. Stone", Анналы математики, Вторая серия (на немецком языке), Анналы математики, 33 (3): 567–573, Дои:10.2307/1968535, ISSN  0003-486X, JSTOR  1968535
• Стоун, М. Х. (1930), "Линейные преобразования в гильбертовом пространстве. III. Операционные методы и теория групп", Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки, Национальная академия наук, 16 (2): 172–175, Дои:10.1073 / pnas.16.2.172, ISSN  0027-8424, JSTOR  85485, ЧВК  1075964, PMID  16587545
• Стоун, М. Х. (1932), "Об однопараметрических унитарных группах в гильбертовом пространстве", Анналы математики, 33 (3): 643–648, Дои:10.2307/1968538, JSTOR  1968538
• К. Йосида, Функциональный анализ, Springer-Verlag, (1968)