Оператор Гильберта – Шмидта - Hilbert–Schmidt operator

В математика, а Оператор Гильберта – Шмидта, названный в честь Дэвид Гильберт и Эрхард Шмидт, это ограниченный оператор А на Гильбертово пространство ЧАС с конечным Норма Гильберта – Шмидта

${ displaystyle | A | _ { operatorname {HS}} ^ {2} = sum _ {i in I} | Ae_ {i} | ^ {2},}$

куда ${ displaystyle | cdot |}$ это норма ЧАС, ${ displaystyle {e_ {i}: я in I }}$ ан ортонормированный базис из ЧАС.^[1][2] Обратите внимание, что набор индексов не обязательно должен быть счетным; тем не менее, самое большее число членов будет отличным от нуля.^[3] Эти определения не зависят от выбора основы. В конечномерном Евклидово пространство, норма Гильберта – Шмидта ${ Displaystyle | cdot | _ { текст {HS}}}$ идентичен Норма Фробениуса.

Определение

Предположим, что ${ Displaystyle влево (Н, | CDOT | вправо)}$ это Гильбертово пространство. Если ${ displaystyle {e_ {i}: я in I }}$ является ортонормированный базис из ЧАС тогда для любого линейного оператора А на ЧАС определять:

${ displaystyle left | A right | _ { operatorname {HS}} ^ {2} Equiv sum _ {я in I} left | Ae_ {i} right | ^ {2 }}$

где эта сумма может быть конечной или бесконечной. Обратите внимание, что это значение фактически не зависит от ортонормированного базиса. ${ displaystyle {e_ {i}: я in I }}$ из ЧАС что выбрано. Более того, если норма Гильберта – Шмидта конечна, то сходимость суммы требует, чтобы не более чем счетное число членов ${ displaystyle left | Ae_ {i} right | ^ {2}}$ не равны нулю (даже если я несчетное количество). Если А - линейный ограниченный оператор, то имеем ${ displaystyle left | A right | leq left | A right | _ { OperatorName {HS}}}$.^[4]

А ограниченный оператор А на Гильбертово пространство ${ Displaystyle влево (Н, | CDOT | вправо)}$ это Оператор Гильберта – Шмидта если ${ displaystyle left | A right | _ { operatorname {HS}} ^ {2}}$ конечно. Эквивалентно, А является оператором Гильберта – Шмидта, если след ${ displaystyle operatorname {Tr}}$ неотрицательного самосопряженного оператора ${ displaystyle A ^ {*} A}$ конечно, и в этом случае ${ displaystyle | A | _ { text {HS}} ^ {2} = operatorname {Tr} (A ^ {*} A)}$.^[1][2]

Если А является оператором Гильберта – Шмидта на ЧАС тогда

${ displaystyle | A | _ { text {HS}} ^ {2} = sum _ {i, j} | A_ {i, j} | ^ {2} = | A | _ {2 } ^ {2}}$

куда ${ displaystyle {e_ {i}: я in I }}$ является ортонормированный базис из ЧАС, ${ displaystyle A_ {i, j}: = langle e_ {i}, Ae_ {j} rangle}$, и ${ displaystyle | A | _ {2}}$ это Норма Шаттена из ${ displaystyle A}$ за п = 2. В Евклидово пространство, ${ Displaystyle | cdot | _ { текст {HS}}}$ также называется Норма Фробениуса.

Примеры

Важный класс примеров представлен Интегральные операторы Гильберта – Шмидта.. Каждый ограниченный оператор с конечномерным образом (их называют операторами конечного ранга) является оператором Гильберта – Шмидта. В оператор идентификации на гильбертовом пространстве является оператором Гильберта – Шмидта тогда и только тогда, когда гильбертово пространство конечномерно. Учитывая любые ${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle y}$ в ${ displaystyle H}$, определять ${ displaystyle x otimes y: H to H}$ к ${ displaystyle (x otimes y) (z) = langle z, y rangle x}$, который является непрерывным линейным оператором ранга 1 и, следовательно, оператором Гильберта – Шмидта; более того, для любого линейного ограниченного оператора ${ displaystyle A}$ на ${ displaystyle H}$ (и в ${ displaystyle H}$), ${ Displaystyle OperatorName {Tr} left (A left (x otimes y right) right) = left langle Ax, y right rangle}$.^[5]

Если ${ displaystyle T: H to H}$ - ограниченный компактный оператор с собственными значениями ${ displaystyle l_ {1}, l_ {2}, dots}$, где каждое собственное значение повторяется так часто, как его кратность, то ${ displaystyle T}$ является Гильбертом – Шмидтом тогда и только тогда, когда ${ Displaystyle сумма _ {я = 1} ^ { infty} l_ {я} ^ {2} < infty}$, в этом случае норма Гильберта – Шмидта ${ displaystyle T}$ является ${ displaystyle left | T right | _ { operatorname {HS}} = { sqrt { sum _ {i = 1} ^ { infty} l_ {i} ^ {2}}}}$.^[4]

Если ${ Displaystyle к в L ^ {2} влево ( му раз му вправо)}$, куда ${ Displaystyle влево (Х, Омега, му вправо)}$ является мерным пространством, то интегральный оператор ${ Displaystyle К: L ^ {2} влево ( му вправо) к L ^ {2} влево ( му вправо)}$ с ядром ${ displaystyle k}$ является оператором Гильберта – Шмидта и ${ displaystyle left | K right | _ { operatorname {HS}} = left | k right | _ {2}}$.^[4]

Пространство операторов Гильберта – Шмидта.

Произведение двух операторов Гильберта – Шмидта имеет конечные норма следового класса; следовательно, если А и B - два оператора Гильберта – Шмидта, Внутреннее произведение Гильберта – Шмидта можно определить как

${ displaystyle langle A, B rangle _ { text {HS}} = operatorname {Tr} (A ^ {*} B) = sum _ {i} langle Ae_ {i}, Be_ {i} rangle.}$

Операторы Гильберта – Шмидта образуют двустороннюю * -идеально в Банахова алгебра ограниченных операторов на ЧАС. Они также образуют гильбертово пространство, обозначаемое B_HS(ЧАС) или же B₂(ЧАС), который можно показать как естественно изометрически изоморфен тензорное произведение гильбертовых пространств

${ displaystyle H ^ {*} otimes H,}$

куда ЧАС^∗ это двойное пространство из ЧАС. Норма, индуцированная этим скалярным произведением, является нормой Гильберта – Шмидта, при которой пространство операторов Гильберта – Шмидта является полным (таким образом, превращаясь в гильбертово пространство).^[5] Пространство всех ограниченных линейных операторов конечного ранга (т.е. имеющих конечномерный диапазон значений) является плотным подмножеством пространства операторов Гильберта – Шмидта (с нормой Гильберта – Шмидта).^[5]

Множество операторов Гильберта – Шмидта замкнуто в топология нормы если и только если, ЧАС конечномерна.

Характеристики

• Каждый оператор Гильберта – Шмидта Т : ЧАС → ЧАС это компактный оператор.^[4]
• Ограниченный линейный оператор Т : ЧАС → ЧАС является Гильбертом – Шмидтом тогда и только тогда, когда то же самое верно и для оператора ${ displaystyle left | T right |: = { sqrt {T ^ {*} T}}}$, в этом случае нормы Гильберта – Шмидта Т и |Т| равны.^[4]
• Операторы Гильберта – Шмидта - это ядерные операторы порядка 2 и поэтому компактные операторы.^[4]
• Если ${ displaystyle S: H_ {1} to H_ {2}}$ и ${ displaystyle T: H_ {2} to H_ {3}}$ являются операторами Гильберта – Шмидта между гильбертовыми пространствами, то композиция ${ displaystyle T circ S: H_ {1} to H_ {3}}$ это ядерный оператор.^[3]
• Если Т : ЧАС → ЧАС является ограниченным линейным оператором, то имеем ${ displaystyle left | T right | leq left | T right | _ { OperatorName {HS}}}$.^[4]
• Если Т : ЧАС → ЧАС - линейный ограниченный оператор на ЧАС и S : ЧАС → ЧАС является оператором Гильберта – Шмидта на ЧАС тогда ${ displaystyle left | S ^ {*} right | _ { operatorname {HS}} = left | S right | _ { operatorname {HS}}}$, ${ displaystyle left | TS right | _ { operatorname {HS}} leq left | T right | left | S right | _ { operatorname {HS}}}$, и ${ displaystyle left | ST right | _ { operatorname {HS}} leq left | S right | _ { operatorname {HS}} left | T right |}$.^[4] В частности, композиция двух операторов Гильберта – Шмидта снова представляет собой композицию Гильберта – Шмидта (и даже оператор класса трассировки ).^[4]
• Пространство операторов Гильберта – Шмидта на ЧАС является идеальный^{[необходимо разрешение неоднозначности ]} пространства ограниченных операторов ${ Displaystyle В влево (Ч вправо)}$ содержащий операторы конечного ранга.^[4]

Смотрите также

• Внутренний продукт Фробениуса
• Класс трассировки

Рекомендации

• Конвей, Джон (1990). Курс функционального анализа. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  978-0-387-97245-9. OCLC  21195908.
• Шефер, Хельмут Х. (1999). Топологические векторные пространства. GTM. 3. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.CS1 maint: ref = harv (связь)