Неравенство Бесселя - Википедия - Bessels inequality

В математика, особенно функциональный анализ, Неравенство Бесселя это утверждение о коэффициентах элемента в Гильбертово пространство в отношении ортонормированный последовательность. Неравенство было получено Ф.В. Бессель в 1828 г.[1]

Позволять - гильбертово пространство, и предположим, что ортонормированная последовательность в . Тогда для любого в надо

где ⟨·, ·⟩ обозначает внутренний продукт в гильбертовом пространстве .[2][3][4] Если мы определим бесконечную сумму

состоящий из «бесконечной суммы» вектор решительный в направлении , Бесселя неравенство говорит нам, что это серии сходится. Можно подумать, что существует что можно описать с точки зрения потенциальной основы .

Для полной ортонормированной последовательности (то есть для ортонормированной последовательности, которая является основа ), у нас есть Личность Парсеваля, заменяющее неравенство равенством (и, следовательно, с ).

Неравенство Бесселя следует из тождества

что справедливо для любых естественных п.

Смотрите также

Примечания

  1. ^ https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Bessel_inequality
  2. ^ Сакс, Карен (2001-12-07). Начало функционального анализа. Springer Science & Business Media. п. 82. ISBN  9780387952246.
  3. ^ Зорич, Владимир А .; Кук, Р. (22 января 2004 г.). Математический анализ II. Springer Science & Business Media. С. 508–509. ISBN  9783540406334.
  4. ^ Веттерли, Мартин; Ковачевич, Елена; Гоял, Вивек К. (04.09.2014). Основы обработки сигналов. Издательство Кембриджского университета. п. 83. ISBN  9781139916578.

внешняя ссылка

В этой статье использован материал из неравенства Бесселя о PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.