Неравенство Бесселя - Википедия - Bessels inequality

В математика, особенно функциональный анализ, Неравенство Бесселя это утверждение о коэффициентах элемента ${ displaystyle x}$ в Гильбертово пространство в отношении ортонормированный последовательность. Неравенство было получено Ф.В. Бессель в 1828 г.^[1]

Позволять ${ displaystyle H}$ - гильбертово пространство, и предположим, что ${ displaystyle e_ {1}, e_ {2}, ...}$ ортонормированная последовательность в ${ displaystyle H}$. Тогда для любого ${ displaystyle x}$ в ${ displaystyle H}$ надо

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ { infty} left vert left langle x, e_ {k} right rangle right vert ^ {2} leq left Vert x вправо Vert ^ {2},}$

где ⟨·, ·⟩ обозначает внутренний продукт в гильбертовом пространстве ${ displaystyle H}$.^[2][3][4] Если мы определим бесконечную сумму

${ displaystyle x '= sum _ {k = 1} ^ { infty} left langle x, e_ {k} right rangle e_ {k},}$

состоящий из «бесконечной суммы» вектор решительный ${ displaystyle x}$ в направлении ${ displaystyle e_ {k}}$, Бесселя неравенство говорит нам, что это серии сходится. Можно подумать, что существует ${ displaystyle x ' in H}$ что можно описать с точки зрения потенциальной основы ${ displaystyle e_ {1}, e_ {2}, dots}$.

Для полной ортонормированной последовательности (то есть для ортонормированной последовательности, которая является основа ), у нас есть Личность Парсеваля, заменяющее неравенство равенством (и, следовательно, ${ displaystyle x '}$ с ${ displaystyle x}$).

Неравенство Бесселя следует из тождества

${ displaystyle { begin {align} 0 leq left | x- sum _ {k = 1} ^ {n} langle x, e_ {k} rangle e_ {k} right | ^ { 2} & = | x | ^ {2} -2 sum _ {k = 1} ^ {n} operatorname {Re} langle x, langle x, e_ {k} rangle e_ {k} rangle + sum _ {k = 1} ^ {n} | langle x, e_ {k} rangle | ^ {2} & = | x | ^ {2} -2 sum _ { k = 1} ^ {n} | langle x, e_ {k} rangle | ^ {2} + sum _ {k = 1} ^ {n} | langle x, e_ {k} rangle | ^ {2} & = | x | ^ {2} - sum _ {k = 1} ^ {n} | langle x, e_ {k} rangle | ^ {2}, end {выровнено }}}$

что справедливо для любых естественных п.

Смотрите также

• Неравенство Коши – Шварца
• Теорема Парсеваля

Примечания

внешняя ссылка

• «Неравенство Бесселя», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Неравенство Бесселя статья о неравенстве Бесселя в MathWorld.

В этой статье использован материал из неравенства Бесселя о PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.