Теорема Банаха – Алаоглу - Википедия - Banach–Alaoglu theorem

В функциональный анализ и смежные отрасли математика, то Теорема Банаха – Алаоглу (также известен как Теорема Алаоглу) утверждает, что закрыто единичный мяч из двойное пространство из нормированное векторное пространство является компактный в слабая * топология.^[1] Обычное доказательство идентифицирует единичный шар со слабой * топологией как замкнутое подмножество товар компактов с топология продукта. Как следствие Теорема Тихонова, этот продукт, а следовательно, и единичный шар внутри, компактны.

Эта теорема имеет приложения в физике, когда описывается множество состояний алгебры наблюдаемых, а именно то, что любое состояние может быть записано как выпуклая линейная комбинация так называемых чистых состояний.

История

По словам Лоуренса Наричи и Эдварда Бекенштейна, теорема Алаоглу - «очень важный результат - возможно, то самый важный факт о слабая * топология - [это] отражается во всем функциональном анализе ".^[2] В 1912 году Хелли доказал, что единичный шар непрерывного сопряженного пространства C ([а, б]) счетно слабо- * компактно.^[3] В 1932 г. Стефан Банах доказал, что замкнутый единичный шар в непрерывном сопряженном пространстве любого отделяемый нормированное пространство последовательно слабо- * компактно (Банах рассматривал только последовательная компактность ).^[3] Доказательство для общего случая было опубликовано в 1940 г. математиком Леонидас Алаоглу. Согласно Pietsch [2007], есть по крайней мере 12 математиков, которые могут претендовать на эту теорему или на ее важного предшественника.^[2]

В Теорема Бурбаки – Алаоглу это обобщение^[4]^[5] исходной теоремы Бурбаки к двойные топологии на локально выпуклые пространства. Эта теорема также называется Теорема Банаха-Алаоглу или Слабая * теорема компактности и его обычно называют просто Теорема Алаоглу^[2]

Заявление

Если $Икс$ является вещественным или комплексным векторным пространством, тогда мы допустим ${ Displaystyle X ^ { #}}$ обозначить алгебраическое двойственное пространство из $Икс$ . Если $Икс$ это топологическое векторное пространство (TVS), то обозначим непрерывное двойственное пространство к $Икс$ к ${ Displaystyle X ^ { prime}}$ , куда ${ Displaystyle X ^ { prime} substeq X ^ { #}}$ обязательно держит. Обозначим слабая * топология на ${ Displaystyle X ^ { #}}$ (соответственно на ${ Displaystyle X ^ { prime}}$ ) к ${ displaystyle sigma left (X ^ { #}, X right)}$ (соотв. ${ displaystyle sigma left (X ^ { prime}, X right)}$ ). Важно отметить, что топология подпространства который ${ Displaystyle X ^ { prime}}$ наследуется от ${ Displaystyle влево (X ^ { #}, sigma left (X ^ { #}, X right) right)}$ просто ${ displaystyle sigma left (X ^ { prime}, X right).}$

Теорема Алаоглу^[3] — Для любых ТВС $Икс$ (нет обязательно Хаусдорф или же локально выпуклый ), полярный

{ Displaystyle U ^ { circ} = left {x ^ { prime} in X ^ { prime}: sup _ {x in U} left | x ^ { prime} left ( x right) right | leq 1 right }}

любой район $U$ из $0$ в $Икс$ компактна в слабая * топология^[6] ${ displaystyle sigma left (X ^ { prime}, X right)}$ на ${ displaystyle X ^ { prime}.}$ Более того, ${ Displaystyle U ^ { circ}}$ равен полюсу $U$ относительно канонической системы ${ Displaystyle влево (Х, Х ^ { #} вправо)}$ и это также компактное подмножество ${ displaystyle left (X ^ { #}, sigma left (X ^ { #}, X right) right).}$

Доказательство —

Для этого доказательства мы будем использовать основные свойства, перечисленные в статьях: полярный набор, двойная система, и непрерывный линейный оператор.

Напомним, когда $Икс #$ наделен слабая * топология ${ displaystyle sigma left (X ^ { #}, X right)}$ тогда ${ displaystyle left (X ^ { #}, sigma left (X ^ { #}, X right) right)}$ это полное пространство; тем не мение, ${ displaystyle left (X ^ { prime}, sigma left (X ^ { prime}, X right) right)}$ может не быть полным пространством. Везде, если не указано иное, все полярные множества будут взяты относительно канонической спаривание ${ Displaystyle влево (Х, Х ^ { простое} вправо)}$ куда ${ Displaystyle X ^ { prime}}$ является непрерывным двойственным пространством $Икс$ .

Позволять $U$ быть окрестностью начала координат в $Икс$ и разреши:

${ Displaystyle U ^ { circ} = left {е in X ^ { prime}: sup _ {u in U} left | f left (и right) right | leq 1 верно}}$ быть полярником U относительно канонического спаривания ${ Displaystyle влево (Х, Х ^ { простое} вправо)}$ ;
$U \circ\circ$ быть биполярный из $U$ относительно ${ Displaystyle влево (Х, Х ^ { простое} вправо)}$ ;
${ Displaystyle U ^ { #} = left {е in X ^ { #}: sup _ {u in U} left | f (u) right | leq 1 right } }$ быть полярником $U$ относительно канонической дуальной системы ${ displaystyle left (X, X ^ { #} right).}$

Хорошо известный факт о полярах множеств состоит в том, что $U \circ\circ\circ = U \circ$ .

(1) Сначала покажите, что $U # = U \circ$ а затем вывести, что $U \circ$ это ${ displaystyle sigma left (X ^ { #}, X right)}$ -закрытое подмножество ${ displaystyle X ^ { #}:}$ Хорошо известен результат о том, что поляра множества слабо замкнута, из чего следует, что ${ Displaystyle U ^ { #}}$ это ${ displaystyle sigma left (X ^ { #}, X right)}$ -закрытое подмножество ${ displaystyle X ^ { #}.}$ Поскольку каждый непрерывный линейный функционал является линейным функционалом, $U \circ \subseteq U #$ держит. Для обратного включения, если $ж \in U #$ тогда с ${ Displaystyle sup _ {и в U} влево | е (и) вправо | Leq 1}$ и $U$ это район $0$ в $Икс$ , следует, что $ж$ это непрерывный линейный функционал (то есть, ${ displaystyle f in X ^ { prime}}$ ) откуда следует, что $U # \subseteq U \circ$ ).

(2) Покажите, что $U \circ$ является ${ displaystyle sigma left (X ^ { prime}, X right)}$ -полностью ограниченный подмножество ${ displaystyle X ^ { prime}:}$ Посредством биполярная теорема, $U \subseteq U \circ\circ$ так с тех пор $U$ является поглощающий в $Икс$ , следует, что ${ Displaystyle U ^ { circ circ}}$ также является увлекательным подмножеством $Икс$ , что, как можно показать, означает, что ${ Displaystyle U ^ { circ}}$ является ${ displaystyle sigma left (X ^ { prime}, X right)}$ -ограниченный. С $Икс$ отличает точки из ${ Displaystyle X ^ { prime}}$ , можно показать, что подмножество ${ Displaystyle X ^ { prime}}$ является ${ displaystyle sigma left (X ^ { prime}, X right)}$ -ограничен тогда и только тогда, когда он ${ displaystyle sigma left (X ^ { prime}, X right)}$ -полностью ограниченный. Из этого следует, что ${ Displaystyle U ^ { circ}}$ является ${ displaystyle sigma left (X ^ { prime}, X right)}$ -полностью ограничен.

(3) Теперь покажите, что ${ Displaystyle U ^ { circ}}$ является ${ displaystyle sigma left (X ^ { #}, X right)}$ -общенно ограниченное подмножество ${ displaystyle X ^ { #}:}$ Напомним, что ${ displaystyle sigma left (X ^ { prime}, X right)}$ топология на ${ Displaystyle X ^ { prime}}$ идентична топологии подпространства, что ${ Displaystyle X ^ { prime}}$ наследуется от ${ displaystyle left (X ^ { #}, sigma left (X ^ { #}, X right) right).}$ Этот факт вместе с (2) означает, что ${ Displaystyle U ^ { circ}}$ это ${ displaystyle sigma left (X ^ { #}, X right)}$ -общенно ограниченное подмножество ${ displaystyle X ^ { #}.}$

(4) Наконец, выведите, что ${ Displaystyle U ^ { circ}}$ это ${ displaystyle sigma left (X ^ { prime}, X right)}$ -компактное подмножество ${ displaystyle X ^ { prime}:}$ Потому что ${ displaystyle left (X ^ { #}, sigma left (X ^ { #}, X right) right)}$ это полное пространство и ${ Displaystyle U ^ { circ}}$ является замкнутым (согласно (1)) и вполне ограниченным (согласно (3)) подмножеством ${ displaystyle left (X ^ { #}, sigma left (X ^ { #}, X right) right)}$ , следует, что $U \circ$ компактный. ∎

Если $Икс$ это нормированное векторное пространство, то поляра окрестности замкнута и ограничена по норме в сопряженном пространстве. В частности, если $U$ - открытый (или закрытый) единичный шар в $Икс$ затем полярный $U$ замкнутый единичный шар в непрерывном сопряженном пространстве ${ Displaystyle X ^ { prime}}$ из $Икс$ (с обычная двойная норма ). Следовательно, эта теорема может быть специализирована для:

Теорема Банаха-Алаоглу: Если

Икс

является нормированным пространством, то замкнутый единичный шар в непрерывном сопряженном пространстве

{ Displaystyle X ^ { prime}}

(наделенный обычным норма оператора ) компактен относительно слабая * топология.

Когда непрерывное двойное пространство ${ Displaystyle X ^ { prime}}$ из $Икс$ является бесконечномерным нормированным пространством, то это невозможно для закрытого единичного шара в ${ Displaystyle X ^ { prime}}$ быть компактным подмножеством, когда ${ Displaystyle X ^ { prime}}$ имеет обычную топологию нормы. Это связано с тем, что единичный шар в топологии нормы компактен тогда и только тогда, когда пространство конечномерно (см. Теорема Ф. Рисса ). Эта теорема является одним из примеров полезности наличия разных топологий в одном векторном пространстве.

Следует предупредить, что, несмотря на внешность, теорема Банаха – Алаоглу действительно нет подразумевают, что слабая * топология локально компактный. Это потому, что замкнутый единичный шар - это только окрестность начала координат в сильная топология, но обычно не является окрестностью начала координат в слабой * топологии, поскольку в слабой * топологии она имеет пустую внутренность, если пространство не является конечномерным. Фактически, это результат Weil все это локально компактный Хаусдорф топологические векторные пространства должны быть конечномерными.

Последовательная теорема Банаха – Алаоглу.

Частным случаем теоремы Банаха – Алаоглу является последовательный вариант теоремы, утверждающей, что замкнутый единичный шар двойственного пространства отделяемый нормированное векторное пространство последовательно компактный в слабой * топологии. Фактически, слабая топология * на замкнутом единичном шаре двойственного к сепарабельному пространству имеет вид метризуемый, поэтому компактность и последовательная компактность эквивалентны.

В частности, пусть $Икс$ быть отделимым нормированным пространством и $B$ закрытый единичный шар в Икс^∗. С $Икс$ отделимо, пусть $(Икс п) \infty п =1$ - счетное плотное подмножество. Тогда следующее определяет метрику, где для любого $Икс, у \in B$ :

{ displaystyle rho (x, y) = sum _ {n = 1} ^ { infty} , 2 ^ {- n} , { frac { left | langle xy, x_ {n} rangle right |} {1+ left | langle xy, x_ {n} rangle right |}}}

в котором ${ Displaystyle langle cdot, cdot rangle}$ обозначает двойственность пары Икс^∗ с $Икс$ . Последовательная компактность $B$ в этой метрике может быть показан аргумент диагонализации аналогично тому, который использовался при доказательстве Теорема Арцела – Асколи.

Вследствие конструктивного характера доказательства (в отличие от общего случая, основанного на выбранной аксиоме) секвенциальная теорема Банаха – Алаоглу часто используется в области уравнения в частных производных для построения решений PDE или вариационные задачи. Например, если хочется минимизировать функционал ${ Displaystyle F: X ^ { prime} to mathbb {R}}$ на двойственном сепарабельном нормированном векторном пространстве $Икс$ , одна из распространенных стратегий - сначала построить минимизирующую последовательность ${ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, ldots in X ^ { prime}}$ который приближается к нижнему пределу $F$ , используйте последовательную теорему Банаха – Алаоглу, чтобы выделить подпоследовательность, сходящуюся в слабой * топологии к пределу $Икс$ , а затем установить, что $Икс$ минимизатор $F$ . Последний шаг часто требует $F$ подчиняться (последовательный) нижняя полунепрерывность свойство в слабой * топологии.

Когда ${ Displaystyle X ^ { prime}}$ - пространство конечных радоновских мер на вещественной прямой (так что ${ Displaystyle X = C_ {0} влево ( mathbb {R} right)}$ - пространство непрерывных функций, исчезающих на бесконечности, согласно Теорема Рисса о представлении ) секвенциальная теорема Банаха – Алаоглу эквивалентна Теорема выбора Хелли.

Доказательство —

Для каждого $Икс \in Икс$ , позволять

{ Displaystyle D_ {x} = left {z in mathbb {C}: left | z right | leq | x | right },}

и

{ displaystyle D = prod _ {x in X} D_ {x}.}

Поскольку каждый $D Икс$ компактное подмножество комплексной плоскости, $D$ также компактна в топология продукта к Теорема Тихонова.

Шар закрытого блока в ${ Displaystyle X ^ { prime}}$ , B₁(Икс*) можно идентифицировать как подмножество $D$ естественным образом:

{ displaystyle f in B_ {1} left (X ^ { prime} right) mapsto left (f (x) right) _ {x in X} in D.}

Это отображение инъективно и непрерывно, с B₁(Икс*) с топологией weak- * и $D$ топология продукта. Инверсия этой карты, определенная на ее диапазоне, также является непрерывной.

Чтобы завершить доказательство этой теоремы, теперь будет показано, что диапазон приведенного выше отображения замкнут. Учитывая чистую

{ Displaystyle влево (е _ { альфа} (х) вправо) _ {х в X} в влево ( лямбда _ {х} вправо) _ {х в X}}

в $D$ , функционал, определяемый

{ Displaystyle г (х) = лямбда _ {х}}

лежит в ${ displaystyle B_ {1} (X ^ { prime}).}$

Последствия

Последствия для нормированных пространств

Предположить, что Икс это нормированное пространство и наделить его непрерывным дуальным пространством ${ Displaystyle X ^ { prime}}$ с обычным двойная норма.

Шар закрытого блока в ${ Displaystyle X ^ { prime}}$ ${ Displaystyle X ^ { prime}}$ слабо- * компактно.^[3]
- Обратите внимание, что если ${ Displaystyle X ^ { prime}}$ бесконечномерно, то его замкнутый единичный шар обязательно нет компактна в топологии нормы Теорема Ф. Рисса (несмотря на то, что он слабый - * компактный).
А Банахово пространство рефлексивно тогда и только тогда, когда его замкнутый единичный шар ${ displaystyle sigma left (X ^ { prime}, X right)}$ -компактный.^[3]
Если Икс это рефлексивное банахово пространство, то каждая ограниченная последовательность из Икс имеет слабо сходящуюся подпоследовательность. (Это следует из применения теоремы Банаха – Алаоглу к слабо метризуемому подпространству Икс; или, более кратко, применяя Теорема Эберлейна – Шмулиана.) Например, предположим, что Икс = L^п(μ), 1<п<∞. Позволять ж_п - ограниченная последовательность функций из Икс. Тогда существует подпоследовательность ж_{п_k} и ж ∈ Икс такой, что
${ displaystyle int f_ {n_ {k}} g , d mu to int fg , d mu}$
для всех грамм ∈ L^q(μ) = Икс* (где 1 /п+1/q= 1). Соответствующий результат для п= 1 неверно, так как L¹(μ) не рефлексивно.

Последствия для гильбертовых пространств

В гильбертовом пространстве каждое ограниченное и замкнутое множество слабо относительно компактно, поэтому каждая ограниченная сеть имеет слабо сходящуюся подсеть (гильбертовы пространства - это рефлексивный ).
Будучи замкнутыми по норме, выпуклые множества слабо замкнуты (Теорема Хана – Банаха ), замыкания по норме выпуклых ограниченных множеств в гильбертовых или рефлексивных банаховых пространствах слабо компактны.
Замкнутые и ограниченные множества в B (H) предкомпактны относительно слабая операторная топология (слабая операторная топология слабее, чем сверхслабая топология что, в свою очередь, является слабой топологией по отношению к предуалу B (H), то класс трассировки операторы). Следовательно, ограниченные последовательности операторов имеют слабую точку накопления. Как следствие, B (H) имеет Свойство Гейне-Бореля, если он снабжен либо слабым оператором, либо сверхслабой топологией.

Отношение к аксиоме выбора

Поскольку теорема Банаха – Алаоглу обычно доказывается с помощью Теорема Тихонова, он полагается на ZFC аксиоматическая структура, и в частности аксиома выбора. Большинство основных функций функционального анализа также опираются на ZFC. Однако теорема действительно нет полагаться на аксиому выбора в сепарабельном случае (см. ниже): в этом случае фактически имеется конструктивное доказательство. В несепарабельном случае лемма об ультрафильтре, которая строго слабее выбранной аксиомы, достаточна для доказательства теоремы Банаха-Алаоглу и фактически эквивалентна ей.

Смотрите также

Теорема Бишопа – Фелпса
Теорема Банаха – Мазура.
Теорема дельта-компактности
Теорема Эберлейна – Шмулиана - связывает три различных типа слабой компактности в банаховом пространстве.
Теорема Голдстайна
Теорема Джеймса
Теорема Крейна-Мильмана
Лемма Мазура - О сильно сходящихся комбинациях слабо сходящейся последовательности в банаховом пространстве.
Топологическое векторное пространство - Векторное пространство с понятием близости

дальнейшее чтение

Джон Б. Конвей (1994). Курс функционального анализа (2-е изд.). Берлин: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97245-5. См. Главу 5, раздел 3.
Питер Б. Лакс (2002). Функциональный анализ. Wiley-Interscience. С. 120–121. ISBN 0-471-55604-1.

[1] Рудин 1991, Теорема 3.15.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011235-240-2] а ^б ^c Наричи и Бекенштейн 2011 С. 235-240.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011225-273-3] а ^б ^c ^d ^е Наричи и Бекенштейн 2011, pp. 225-273.

[4] Кёте 1969, Теорема (4) в п. 20.9.

[5] Meise & Vogt 1997, Теорема 23.5.

[6] Явно подмножество ${ Displaystyle B ^ { prime} substeq X ^ { prime}}$ называется «компактным (соответственно вполне ограниченным и т. д.) в слабой * топологии», если когда ${ Displaystyle X ^ { prime}}$ дается слабая * топология и подмножество ${ displaystyle B ^ { prime}}$ дается топология подпространства унаследовано от ${ displaystyle left (X ^ { prime}, sigma left (X ^ { prime}, X right) right),}$ тогда ${ displaystyle B ^ { prime}}$ это компактный (соотв. полностью ограниченный и т. д.) пространство.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

Функциональный анализ (темы – глоссарий )
Пространства	Гильбертово пространство Банахово пространство Fréchet space топологическое векторное пространство
Теоремы	Теорема Хана – Банаха теорема о замкнутом графике принцип равномерной ограниченности Теорема Какутани о неподвижной точке Теорема Крейна – Мильмана теорема мин-макс Теорема Гельфанда – Наймарка. Теорема Банаха – Алаоглу
Операторы	ограниченный оператор компактный оператор сопряженный оператор унитарный оператор Оператор Гильберта – Шмидта класс трассировки неограниченный оператор
Алгебры	Банахова алгебра C * -алгебра спектр C * -алгебры операторная алгебра групповая алгебра локально компактной группы алгебра фон Неймана
Открытые проблемы	проблема инвариантного подпространства Гипотеза Малера
Приложения	Бесовское пространство Харди космос спектральная теория обыкновенных дифференциальных уравнений тепловое ядро теорема об индексе вариационное исчисление функциональное исчисление интегральный оператор Многочлен Джонса топологическая квантовая теория поля некоммутативная геометрия Гипотеза Римана
Дополнительные темы	локально выпуклое пространство свойство аппроксимации сбалансированный набор Пространство Шварца слабая топология ствольное пространство Расстояние Банаха – Мазура Теория Томиты – Такесаки

Двойственность и пространства линейный карты
Базовые концепты	Двойное пространство Двойная система Двойная топология Двойственность Полярный набор Полярная топология Топологии на пространствах линейных отображений
Топологии	Двойная норма Сверхслабая / Слабая- * Слабый (полярный оператор ) Макки Сильный дуал (полярная топология оператор ) Сверхсильный
Основные результаты	Банах – Алаоглу Макки – Аренс
Карты	Транспонировать линейную карту
Подмножества	Насыщенная семья