Биполярная теорема - Википедия - Bipolar theorem

В математика, то биполярная теорема это теорема в функциональный анализ что характеризует биполярный (т.е. полярный полярного) набора. В выпуклый анализ, то биполярная теорема относится к необходимые и достаточные условия для конус быть равным своему биполярный. Биполярную теорему можно рассматривать как частный случай Теорема Фенхеля – Моро..^[1]:76–77

Предварительные мероприятия

Предположим, что Икс это топологическое векторное пространство (TVS) с непрерывное двойное пространство ${ Displaystyle X ^ { prime}}$ и разреши ${ displaystyle left langle x, x ^ { prime} right rangle: = x ^ { prime} (x)}$ для всех Икс ∈ Икс и ${ displaystyle x ^ { prime} in X ^ { prime}}$. В выпуклый корпус набора А, обозначаемый co (А), является самым маленьким выпуклый набор содержащий А. В выпуклый сбалансированный корпус набора А самый маленький выпуклый сбалансированный набор, содержащий А.

В полярный подмножества А из Икс определяется как:

${ Displaystyle A ^ { circ}: = left {x ^ { prime} in X ^ { prime}: sup _ {a in A} left | left langle a, x ^ { prime} right rangle right | leq 1 right }}$

в то время как преполярный подмножества B из ${ Displaystyle X ^ { prime}}$ является:

${ Displaystyle {} ^ { circ} B: = left {x in X: sup _ {x ^ { prime} in B} left | left langle x, x ^ { prime } right rangle right | leq 1 right }}$.

В биполярный подмножества А из Икс, часто обозначаемый А^∘∘ это набор

${ Displaystyle A ^ { circ circ}: = {} ^ { circ} left (A ^ { circ} right) = left {x in X: sup _ {x ^ { prime} in A ^ { circ}} left | left langle x, x ^ { prime} right rangle right | leq 1 right }}$.

Заявление в функциональном анализе

Позволять ${ displaystyle sigma left (X, X ^ { prime} right)}$ обозначить слабая топология на Икс (т.е. самая слабая топология TVS на Икс делая все линейные функционалы в ${ Displaystyle X ^ { prime}}$ непрерывный).

Биполярная теорема:^[2] Биполярность подмножества А из Икс равно ${ displaystyle sigma left (X, X ^ { prime} right)}$-закрытие выпуклый сбалансированный корпус из А.

Утверждение в выпуклом анализе

Биполярная теорема:^[1]:54[3] Для любого непустой конус А в некоторых линейное пространство Икс, биполярный набор А^∘∘ дан кем-то:

${ displaystyle A ^ { circ circ} = operatorname {cl} left ( operatorname {co} left {ra: r geq 0, a in A right } right)}$.

Особый случай

Подмножество C из Икс непусто закрыто выпуклый конус если и только если C⁺⁺ = C^∘∘ = C когда C⁺⁺ = (C⁺)⁺, куда А⁺ обозначает положительный двойственный конус множества А.^[3][4]Или в более общем смысле, если C непустой выпуклый конус, то биполярный конус имеет вид

C^∘∘ = cl (C).

Отношение к Теорема Фенхеля – Моро.

Позволять

${ displaystyle f (x): = delta left (x | C right) = { begin {cases} 0 & x in C infty & { text {else}} end {cases}}}$

быть индикаторная функция для конуса C. Тогда выпуклый сопряженный,

${ displaystyle f ^ {*} (x ^ {*}) = delta (x ^ {*} | C ^ { circ}) = delta ^ {*} (x ^ {*} | C) = sup _ {x in C} langle x ^ {*}, x rangle}$

это функция поддержки за C, и ${ displaystyle f ^ {**} (x) = delta (x | C ^ { circ circ})}$. Следовательно, C = C^∘∘ если и только если ж = ж^**.^[1]:54[4]

Смотрите также

• Двойная система
• Полярный набор

Рекомендации

Библиография

• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства. Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666. OCLC  144216834.
• Шефер, Гельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства. GTM. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.