Пространство Смита - Smith space

В функциональный анализ и смежные области математика, а Пространство Смита это полный компактно генерируемый локально выпуклое топологическое векторное пространство ${ displaystyle X}$ иметь универсальный компактный комплект, т.е. компакт ${ displaystyle K}$ который поглощает любой другой компактный набор ${ Displaystyle Т Subteq X}$ (т.е. ${ Displaystyle T substeq lambda cdot K}$ для некоторых ${ displaystyle lambda> 0}$).

Пространства Смита названы в честь Марианна Рут Фрейндлих Смит, кто их представил^[1] как двойники к Банаховы пространства в некоторых версиях теории двойственности для топологические векторные пространства. Все пространства Смита стереотип и находятся в стереотипных двойственных отношениях с Банаховы пространства:^[2][3]

• для любого банахова пространства ${ displaystyle X}$ его стереотип двойного пространства^[4] ${ Displaystyle X ^ { звезда}}$ пространство Смита,

• и наоборот, для любого пространства Смита ${ displaystyle X}$ его стереотип двойного пространства ${ Displaystyle X ^ { звезда}}$ является банаховым пространством.

Пространства Смита являются частными случаями Пространства Браунера.

Примеры

• Как следует из теорем двойственности, для любого банахова пространства ${ displaystyle X}$ его стереотип двойного пространства ${ displaystyle X ^ { star}}$ пространство Смита. В полярный ${ Displaystyle К = В ^ { circ}}$ единичного шара ${ displaystyle B}$ в ${ displaystyle X}$ универсальный компакт в ${ displaystyle X ^ { star}}$. Если ${ Displaystyle X ^ {*}}$ обозначает нормированное двойное пространство за ${ displaystyle X}$, и ${ displaystyle X '}$ космос ${ Displaystyle X ^ {*}}$ наделен ${ displaystyle X}$-слабая топология, то топология ${ Displaystyle X ^ { звезда}}$ лежит между топологией ${ Displaystyle X ^ {*}}$ и топология ${ displaystyle X '}$, поэтому существуют естественные (линейные непрерывные) биекции

${ Displaystyle X ^ {*} в X ^ { star} в X '.}$

Если ${ displaystyle X}$ бесконечномерна, то никакие две из этих топологий не совпадают. В то же время для бесконечномерных ${ displaystyle X}$ космос ${ displaystyle X ^ { star}}$ не является ствол (и даже не Макки пространство если ${ displaystyle X}$ является рефлексивно как банахово пространство^[5]).

• Если ${ displaystyle K}$ это выпуклый сбалансированный компактный установлен в локально выпуклое пространство ${ displaystyle Y}$, то его линейный пролет ${ Displaystyle { mathbb {C}} К = OperatorName {span} (К)}$ обладает уникальной структурой пространства Смита с ${ displaystyle K}$ как универсальный компакт (и с той же топологией на ${ displaystyle K}$)^[6].
• Если ${ displaystyle M}$ является (Хаусдорфом) компактное топологическое пространство, и ${ Displaystyle { mathcal {C}} (М)}$ то Банахово пространство непрерывных функций на ${ displaystyle M}$ (с обычной sup-нормой), то стереотипное дуальное пространство ${ Displaystyle { mathcal {C}} ^ { звезда} (М)}$ (из Радоновые меры на ${ displaystyle M}$ с топологией равномерной сходимости на компактах в ${ Displaystyle { mathcal {C}} (М)}$) - пространство Смита. В частном случае, когда ${ Displaystyle M = G}$ наделен структурой топологическая группа космос ${ Displaystyle { mathcal {C}} ^ { звезда} (G)}$ становится естественным примером стереотипная групповая алгебра.^[7]

• А Банахово пространство ${ displaystyle X}$ является пространством Смита тогда и только тогда, когда ${ displaystyle X}$ конечномерна.

Смотрите также

• Стереотипное пространство
• Пространство Браунера

Примечания

Рекомендации

• Смит, М.Ф. (1952). «Теорема двойственности Понтрягина в линейных пространствах». Анналы математики. 56 (2): 248–253. Дои:10.2307/1969798. JSTOR  1969798.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Акбаров, С.С. (2003). «Двойственность Понтрягина в теории топологических векторных пространств и в топологической алгебре». Журнал математических наук. 113 (2): 179–349. Дои:10.1023 / А: 1020929201133.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Акбаров, С.С. (2009). «Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственности для групп Штейна с алгебраической связной компонентой единицы». Журнал математических наук. 162 (4): 459–586. arXiv:0806.3205. Дои:10.1007 / s10958-009-9646-1.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Furber, R.W.J. (2017). Категориальная двойственность в вероятностных и квантовых основаниях (PDF) (Кандидат наук). Radboud University.CS1 maint: ref = harv (связь)

Этот математический анализ –Связанная статья является заглушка. Вы можете помочь Википедии расширяя это.