Птак пространство - Ptak space

А локально выпуклый топологическое векторное пространство (TVS) Икс является B-полный или Птак пространство если каждое подпространство замкнуто в слабой * топологии на (т.е. или же ) в любое время закрыт в А (когда А задана топология подпространства из ) для каждого равностепенно непрерывного подмножества .[1]

B-полнота связана с -полнота, где локально выпуклый TVS Икс является -полный если каждый плотный подпространство закрыт в в любое время закрыт в А (когда А задана топология подпространства из ) для каждого равностепенно непрерывного подмножества .[1]

Характеристики

Позволять Икс - локально выпуклая ТВП. Тогда следующие эквиваленты:

  1. Икс является пространством Птака.
  2. Каждый непрерывный почти открытый линейная карта Икс в любое локально выпуклое пространство Y является топологическим гомоморфизмом.[2]
    • Линейная карта называется почти открытый если для каждого района U происхождения в Икс, плотно в некоторой окрестности начала координат в

Следующие варианты эквивалентны:

  1. Икс является -полный.
  2. Каждый непрерывный двусторонний, почти открытый линейная карта Икс в любое локально выпуклое пространство Y является TVS-изоморфизмом.[2]

Характеристики

Каждое пространство Ptak полный. Однако существуют полные хаусдорфовы локально выпуклый пространство, не являющееся пространствами Птака.

Теорема о гомоморфизме — Любое непрерывное линейное отображение пространства Ptak на пространство с бочками является топологическим гомоморфизмом.[3]

Позволять - почти открытое линейное отображение, область определения которого плотна в -полное пространство Икс и чей образ представляет собой локально выпуклое пространство Y. Предположим, что график ты закрыт в . Если ты является инъективным или если Икс является пространством Птака, то ты это открытая карта.[4]

Примеры и достаточные условия

Существуют Bр-полные пространства, не являющиеся B-полными.

Каждый Fréchet space является пространством Птака. И сильный дуал рефлексивный Пространство Фреше - это пространство Птака.

Каждое замкнутое векторное подпространство пространства Ptak (соответственно Bр-полное пространство) является пространством Птака (соответственно -полное пространство).[1] и каждый Хаусдорф частное пространства Ptak является пространством Ptak.[4] Если каждый фактор Хаусдорфа TVS Икс является Bр-полное пространство тогда Икс это B-полное пространство.

Если Икс является локально выпуклым пространством такое, что существует непрерывное почти открытый сюрприз ты : п → Икс из пространства Ptak, то Икс является пространством Птака.[3]

Если ТВС Икс имеет закрытый гиперплоскость то есть B-полное (соответственно Bр-полный) затем Икс является B-полным (соответственно Bр-полный).

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ а б c Шефер и Вольф, 1999 г., п. 162.
  2. ^ а б Шефер и Вольф, 1999 г., п. 163.
  3. ^ а б Шефер и Вольф, 1999 г., п. 164.
  4. ^ а б Шефер и Вольф, 1999 г., п. 165.

Библиография

  • Хусейн, Такдир; Халилулла, С. М. (1978). Написано в берлинском Гейдельберге. Бочность в топологических и упорядоченных векторных пространствах. Конспект лекций по математике. 692. Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-09096-0. OCLC  4493665.
  • Халилулла, С. М. (1982). Написано в берлинском Гейдельберге. Контрпримеры в топологических векторных пространствах. Конспект лекций по математике. 936. Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-11565-6. OCLC  8588370.
  • Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства. Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666. OCLC  144216834.
  • Шефер, Гельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства. GTM. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.

внешняя ссылка