Равномерно ровное пространство - Uniformly smooth space

В математика, а равномерно гладкое пространство это нормированное векторное пространство ${ displaystyle X}$ удовлетворяющие тому свойству, что для каждого ${ displaystyle epsilon> 0}$ Существует ${ displaystyle delta> 0}$ так что если ${ displaystyle x, y in X}$ с ${ Displaystyle | х | = 1}$ и ${ Displaystyle | у | leq delta}$ тогда

{ Displaystyle | х + у | + | х-у | leq 2+ эпсилон | у |.}

В модуль гладкости нормированного пространства Икс - функция ρ_Икс определяется для каждого т > 0 по формуле^[1]

{ displaystyle rho _ {X} (t) = sup { Bigl {} { frac { | x + y | + | xy |} {2}} - 1 ,: , | x | = 1, ; | y | = t { Bigr }}.}

Неравенство треугольника дает ρ_Икс(т ) ≤ т. Нормированное пространство Икс равномерно гладко тогда и только тогда, когда ρ_Икс(т ) / т стремится к 0 как т стремится к 0.

Характеристики

Каждый равномерно гладкий Банахово пространство является рефлексивный.^[2]
Банахово пространство ${ displaystyle X}$ равномерно гладко тогда и только тогда, когда его непрерывный дуальный ${ Displaystyle X ^ {*}}$ является равномерно выпуклый (и наоборот, через рефлексивность).^[3] Модули выпуклости и гладкости связаны соотношением

{ displaystyle rho _ {X ^ {*}} (t) = sup {t varepsilon / 2- delta _ {X} ( varepsilon): varepsilon in [0,2] }, quad t geq 0,}

а максимальная выпуклая функция мажорирована модулем выпуклости δ_Икс дан кем-то^[4]

{ displaystyle { tilde { delta}} _ {X} ( varepsilon) = sup { varepsilon t / 2- rho _ {X ^ {*}} (t): t geq 0 } .}

Более того,^[5]

{ displaystyle delta _ {X} ( varepsilon / 2) leq { tilde { delta}} _ {X} ( varepsilon) leq delta _ {X} ( varepsilon), quad varepsilon in [0,2].}

Банахово пространство равномерно гладкое тогда и только тогда, когда предел

{ displaystyle lim _ {t to 0} { frac { | x + ty | - | x |} {t}}}

существует единообразно для всех

{ displaystyle x, y in S_ {X}}

(куда

{ displaystyle S_ {X}}

обозначает единичная сфера из

{ displaystyle X}

).

Когда 1 < п < ∞, то L^п-пространства равномерно гладкие (и равномерно выпуклые).

Enflo доказано^[6] что класс банаховых пространств, допускающих эквивалентную равномерно выпуклую норму, совпадает с классом сверхрефлексивный Банаховы пространства, введенные Робертом С. Джеймсом.^[7] Поскольку пространство суперрефлексивно тогда и только тогда, когда двойственное к нему суперрефлексивно, отсюда следует, что класс банаховых пространств, допускающих эквивалентную равномерно выпуклую норму, совпадает с классом пространств, допускающих эквивалентную равномерно гладкую норму. В Пизье теорема перенормировки^[8] утверждает, что суперрефлексивное пространствоИкс допускает эквивалентную равномерно гладкую норму, для которой модуль гладкости ρ_Икс удовлетворяет при некотором постоянномC и немногоп > 1

{ displaystyle rho _ {X} (t) leq C , t ^ {p}, quad t> 0.}

Отсюда следует, что всякое суперрефлексивное пространство Y допускает эквивалентную равномерно выпуклую норму, для которой модуль выпуклости удовлетворяет при некотором постоянномc > 0 и некоторые положительные реальные q

{ displaystyle delta _ {Y} ( varepsilon) geq c , varepsilon ^ {q}, quad varepsilon in [0,2].}

Если нормированное пространство допускает две эквивалентные нормы, одну равномерно выпуклую и одну равномерно гладкую, метод усреднения Асплунда^[9] производит другую эквивалентную норму, которая одновременно является равномерно выпуклой и равномерно гладкой.

Смотрите также

Равномерно выпуклое пространство

Примечания

^ см. определение 1.e.1, с. 59 дюйм Линденштраус и Цафрири (1979).
^ Предложение 1.e.3, с. 61 дюйм Линденштраус и Цафрири (1979).
^ Предложение 1.e.2, с. 61 дюйм Линденштраус и Цафрири (1979).
^ Предложение 1.e.6, с. 65 дюйм Линденштраус и Цафрири (1979).
^ Лемма 1.e.7 и 1.e.8, с. 66 дюйм Линденштраус и Цафрири (1979).
^ Энфло, Пер (1973), «Банаховы пространства, которым может быть задана эквивалентная равномерно выпуклая норма», Israel J. Math. 13:281–288.
^ Джеймс, Роберт С. (1972), "Суперрефлексивные банаховы пространства", Can. J. Math. 24:896–904.
^ Пизье, Жиль (1975), "Мартингалы со значениями в равномерно выпуклых пространствах", Israel J. Math. 20:326–350.
^ Асплунд, Эдгар (1967), «Усредненные нормы», Israel J. Math. 5:227–233.

Функциональный анализ (темы – глоссарий )
Пространства	Гильбертово пространство Банахово пространство Fréchet space топологическое векторное пространство
Теоремы	Теорема Хана – Банаха теорема о замкнутом графике принцип равномерной ограниченности Теорема Какутани о неподвижной точке Теорема Крейна – Мильмана теорема мин-макс Теорема Гельфанда – Наймарка. Теорема Банаха – Алаоглу
Операторы	ограниченный оператор компактный оператор сопряженный оператор унитарный оператор Оператор Гильберта – Шмидта класс трассировки неограниченный оператор
Алгебры	Банахова алгебра C * -алгебра спектр C * -алгебры операторная алгебра групповая алгебра локально компактной группы алгебра фон Неймана
Открытые проблемы	проблема инвариантного подпространства Гипотеза Малера
Приложения	Бесовское пространство Харди космос спектральная теория обыкновенных дифференциальных уравнений тепловое ядро теорема об индексе вариационное исчисление функциональное исчисление интегральный оператор Многочлен Джонса топологическая квантовая теория поля некоммутативная геометрия Гипотеза Римана
Дополнительные темы	локально выпуклое пространство свойство аппроксимации сбалансированный набор Пространство Шварца слабая топология ствольное пространство Расстояние Банаха – Мазура Теория Томиты – Такесаки

Равномерно ровное пространство - Uniformly smooth space

Содержание

Характеристики

Смотрите также

Примечания

Рекомендации