Теорема Крейна – Мильмана - Krein–Milman theorem

Учитывая выпуклую форму K (голубой) и его множество крайних точек B (красный), выпуклая оболочка B является K.

в математическая теория из функциональный анализ, то Теорема Крейна – Мильмана это предложение о компактный выпуклые множества в локально выпуклые топологические векторные пространства (ТВС).

Теорема Крейна – Мильмана — А компактный выпуклый подмножество Хаусдорф локально выпуклое топологическое векторное пространство равно закрытому выпуклый корпус своего крайние точки.

Эта теорема обобщает на бесконечномерные пространства и произвольные компактные выпуклые множества следующее основное наблюдение: выпуклый (т. Е. «Заполненный») треугольник, включая его периметр и площадь «внутри него», равен выпуклой оболочке его трех вершины, где эти вершины и есть крайние точки этой формы. Это наблюдение справедливо и для любых других выпуклых многоугольник в плоскости ℝ2.

Заявление

Всюду мы предполагаем, что Икс является реальным или комплексным векторным пространством.

Для любых элементов Икс и y в векторном пространстве множество [Икс, y] := {tx + (1 - т)y : 0 ≤ т ≤ 1} называется замкнутый линейный сегмент или же закрытый интервал между Икс и y. В открытый сегмент линии или же открытый интервал между Икс и y является (Икс, Икс) := ∅ когда Икс = y пока это (Икс, y) := {tx + (1 - т)y : 0 < т < 1 } когда Икс ≠ y.[1] Мы называем Икс и y то конечные точки этого интервала. Интервал называется невырожденный или же правильный если его конечные точки различны.

Обратите внимание, что [Икс, Икс] = { Икс} и [Икс, y] всегда содержит свои конечные точки, а (Икс, Икс) = ∅ и (Икс, y) никогда не содержит своих конечных точек. Если Икс и y точки на реальной линии ℝ, то приведенное выше определение [Икс, y] то же самое, что и его обычное определение как закрытый интервал.

Для любого п, Икс, y ∈ Икс, скажи это п лежит между Икс и y если п принадлежит к сегменту открытой линии (Икс, y).[1]

Если K это подмножество Икс и п ∈ K, тогда п называется крайняя точка из K если он не находится между любыми двумя отчетливый точки K. То есть, если есть нет существовать Икс, y ∈ K и 0 < т < 1 такой, что Икс ≠ y и п = tx + (1 - т) y. Множество всех крайних точек K обозначается крайний (K).[1]

Например, вершины любого выпуклого многоугольника на плоскости ℝ2 являются крайними точками этого многоугольника. Крайние точки закрытый единичный диск в ℝ2 это единичный круг. Обратите внимание, что любой открытый интервал в ℝ не имеет крайних точек, а крайние точки невырожденного закрытый интервал [а, б] находятся а и б.

Множество S называется выпуклый если для любых двух точек Икс, y ∈ S, S содержит линейный сегмент [Икс, y]. Наименьшее выпуклое множество, содержащее S называется выпуклый корпус из S и обозначается co S.

Например, выпуклая оболочка любого набора из трех различных точек образует сплошной (т.е. «заполненный») треугольник (включая периметр). Также в самолете ℝ2, единичная окружность нет выпуклый, но замкнутый единичный диск выпуклый, и, кроме того, этот диск равен выпуклой оболочке круга.

В замкнутая выпуклая оболочка набора S - наименьшее замкнутое и выпуклое множество, содержащее S. Он также равен закрытие из выпуклый корпус из S и к пересечение всех замкнутых выпуклых подмножеств, содержащих S.

Теорема Крейна – Мильмана[1] — Предполагать Икс это Хаусдорф локально выпуклое топологическое векторное пространство и K компактное и выпуклое подмножество Икс. потом K равна замкнутой выпуклой оболочке своего крайние точки. Более того, если B⊆ K тогда K равна замкнутой выпуклой оболочке B если и только если крайний K ⊆ cl B, куда cl B закрытие B.

Несложно показать, что выпуклая оболочка крайних точек образует подмножество K, поэтому основная задача доказательства - показать, что существует достаточно крайних точек, чтобы их выпуклая оболочка покрывала все K.

Как следствие отсюда следует, что каждое непустое компактное выпуклое подмножество хаусдорфовой локально выпуклой TVS имеет крайние точки (т. Е. Множество его крайних точек не пусто).[1] Это следствие также называют «теоремой Крейна-Мильмана».

Частный случай этого теорема, который можно легко визуализировать, утверждает, что при выпуклом многоугольник, для восстановления формы многоугольника нужны только углы многоугольника. Утверждение теоремы неверно, если многоугольник не является выпуклым, поскольку тогда может быть много способов нарисовать многоугольник с заданными точками в качестве углов.

Более общие настройки

Предположение о локальная выпуклость для окружающего пространства необходимо, потому что Джеймс Робертс (1977 ) построил контрпример для нелокально выпуклого пространства Lп[0, 1] куда 0 < п < 1.[2]

Линейность также необходима, поскольку утверждение неверно для слабо компактных выпуклых множеств в CAT (0) пробелы, как доказано Николя Моно  (2016 ).[3] Однако Тео Бюлер (2006 ) доказал, что теорема Крейна – Мильмана верна для метрически компактные CAT (0) пространства.[4]

Связанные результаты

Согласно предыдущим предположениям о K, если Т это подмножество из K и замкнутая выпуклая оболочка Т все из K, то каждые крайняя точка из K принадлежит к закрытие из Т. Этот результат известен как Мильмана (частичный) разговаривать к теореме Крейна – Мильмана.[5]

В Теорема Шоке – Бишопа – де Лиу заявляет, что каждая точка в K барицентр вероятностная мера поддерживается на множестве крайние точки из K.

Отношение к аксиоме выбора

В аксиома выбора или его более слабая версия необходима для доказательства этой теоремы в Теория множеств Цермело – Френкеля. Наоборот, эта теорема вместе с Теорема о булевом простом идеале может доказать аксиому выбора.[6]

История

Первоначальное утверждение доказано Марк Крейн и Дэвид Мильман (1940 ) был несколько менее общим, чем изложенная здесь форма.[7]

Ранее, Герман Минковски  (1911 ) доказал, что если Икс является 3-х мерный тогда равна выпуклой оболочке множества своих крайних точек.[8] Это утверждение было распространено на случай любой конечной размерности Эрнст Стейниц  (1916 ).[9] Теорема Крейна – Мильмана обобщает это на произвольные локально выпуклые Икс; однако для обобщения от конечномерных пространств к бесконечномерным необходимо использовать замыкание.

Смотрите также

Цитаты

  1. ^ а б c d е Наричи и Бекенштейн 2011 С. 275-339.
  2. ^ Робертс, Дж. (1977), «Компактное выпуклое множество без крайних точек», Studia Mathematica, 60: 255–266
  3. ^ Моно, Николя (2016), «Крайние точки неположительной кривизны», Studia Mathematica, 234: 265–270, arXiv:1602.06752
  4. ^ Бюлер, Тео (2006), Теорема Крейна – Мильмана для метрических пространств с выпуклым бикомбинированием., arXiv:математика / 0604187
  5. ^ Мильман, Д. (1947), Характеристика экстремальных точек регулярно-выпуклого множества [Характеристики экстремальных точек правильно выпуклых множеств], Доклады Академии Наук СССР (на русском), 57: 119–122
  6. ^ Bell, J .; Фремлин, Дэвид (1972). «Геометрическая форма аксиомы выбора» (PDF). Fundamenta Mathematicae. 77 (2): 167–170. Получено 11 июн 2018. Теорема 1.2. BPI [булевская теорема об идеале простого числа] и KM [Крейн-Мильман] ⇒ (*) [единичный шар двойственного к нормированному векторному пространству имеет крайнюю точку]…. Теорема 2.1. (*) ⇒ AC [Аксиома выбора].
  7. ^ Крейн, Марк; Мильман, Дэвид (1940), «О крайних точках правильных выпуклых множеств», Studia Mathematica, 9: 133–138
  8. ^ Минковский, Германн (1911), Gesammelte Abhandlungen, 2, Лейпциг: Teubner, стр. 157–161.
  9. ^ Стейниц, Эрнст (1916), "Bedingt konvergente Reihen und konvexe Systeme VI, VII", J. Reine Angew. Математика., 146: 1–52; (см. стр.16)

Библиография

В статье использован материал из теоремы Крейна – Мильмана о PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.