Теорема Радона - Википедия - Radons theorem

В геометрия, Теорема Радона на выпуклые множества, опубликовано Иоганн Радон в 1921 году заявляет, что любой набор d + 2 очка в р^d возможно разделенный на два набора, чьи выпуклые оболочки пересекаются. Точка пересечения этих выпуклых оболочек называется Радоновая точка набора.

Например, в случае d = 2, любой набор из четырех точек в Евклидова плоскость можно разделить одним из двух способов. Он может образовывать тройку и синглтон, где выпуклая оболочка тройки (треугольник) содержит синглтон; в качестве альтернативы, он может образовывать две пары точек, которые образуют концы двух пересекающихся отрезки линии.

Доказательство и конструкция

Два набора из четырех точек на плоскости (вершины квадрата и равностороннего треугольника с его центром тяжести), множители, решающие систему трех линейных уравнений для этих точек, и разбиения Радона, образованные путем отделения точек с положительными множителями от очки с отрицательными множителями.

Рассмотрим любой набор ${ displaystyle X = {x_ {1}, x_ {2}, dots, x_ {d + 2} } subset mathbf {R} ^ {d}}$ из d + 2 очка в d-мерное пространство. Тогда существует набор множителей а₁, ..., а_d + 2, не все из которых равны нулю, решая система линейных уравнений

{ displaystyle sum _ {я = 1} ^ {d + 2} a_ {i} x_ {i} = 0, quad sum _ {i = 1} ^ {d + 2} a_ {i} = 0 ,}

потому что есть d + 2 неизвестных (множители), но только d +1 уравнение, которому они должны удовлетворять (по одному для каждой координаты точек, вместе с окончательным уравнением, требующим, чтобы сумма множителей была равна нулю). Исправьте какое-то конкретное ненулевое решение а₁, ..., а_d + 2. Позволять ${ Displaystyle I substeq X}$ - множество точек с положительными множителями, и пусть ${ Displaystyle J = X setminus I}$ - набор точек с отрицательными или нулевыми множителями. потом ${ displaystyle I}$ и ${ displaystyle J}$ образуют требуемое разбиение точек на два подмножества с пересекающимися выпуклыми оболочками.

Выпуклые оболочки ${ displaystyle I}$ и ${ displaystyle J}$ должны пересекаться, потому что оба содержат точку

{ displaystyle p = sum _ {i in I} { frac {a_ {i}} {A}} x_ {i} = sum _ {j in J} { frac {-a_ {j} } {A}} x_ {j},}

куда

{ displaystyle A = sum _ {i in I} a_ {i} = - sum _ {j in J} a_ {j}.}

Левая часть формулы для ${ displaystyle p}$ выражает этот момент как выпуклое сочетание точек в ${ displaystyle I}$ , а правая часть выражает его как выпуклую комбинацию точек в ${ displaystyle J}$ . Следовательно, ${ displaystyle p}$ принадлежит обеим выпуклым оболочкам, завершая доказательство.

Этот метод доказательства позволяет эффективно построить точку Радона за время, равное многочлен в измерении, используя Гауссово исключение или другие эффективные алгоритмы для решения системы уравнений для множителей.^[1]

Топологическая теорема Радона

А топологический Обобщение теоремы Радона утверждает, что если if - любое непрерывная функция из (d + 1) -мерный симплекс к d-мерного пространства, то симплекс имеет две непересекающиеся грани, образы которых при не пересекаются.^[2] Саму теорему Радона можно интерпретировать как частный случай, когда - единственное аффинная карта который переводит вершины симплекса в заданный набор d + 2 очка в d-мерное пространство.

В более общем смысле, если K есть ли (d + 1) -мерное компактное выпуклое множество, а - произвольная непрерывная функция из K к d-мерное пространство, то существует линейная функция грамм такой, что какая-то точка, где грамм достигает своего максимального значения и некоторой другой точки, где грамм достигает минимального значения, отображаются by в ту же точку. В случае, когда K является симплексом, две симплексные грани, образованные точками максимума и минимума грамм тогда должны быть две непересекающиеся грани, образы которых имеют непустое пересечение. Это же общее утверждение применительно к гиперсфера вместо симплекса дает Теорема Борсука – Улама., что ƒ должен отображать две противоположные точки сферы в одну и ту же точку.^[2]

Приложения

Точка Радона любых четырех точек на плоскости является их геометрическая медиана, точка, которая минимизирует сумму расстояний до других точек.^[3]^[4]

Теорема Радона является ключевым этапом стандартного доказательства Теорема Хелли на пересечениях выпуклых множеств;^[5] это доказательство послужило мотивом для первоначального открытия Радоном теоремы Радона.

Теорема Радона также может быть использована для вычисления Размер ВК из d-мерные точки относительно линейных промежутков. Существуют наборы d +1 точка (например, точки регулярного симплекса) такая, что каждые два непустых подмножества можно отделить друг от друга гиперплоскостью. Однако независимо от того, какой набор d +2 балла, два подмножества радоновского разбиения нельзя разделить линейно. Следовательно, размерность ВК этой системы в точности равна d + 1.^[6]

А рандомизированный алгоритм который неоднократно заменяет наборы d + 2 балла по их радоновой точке могут быть использованы для вычисления приближение к Центральная точка любого набора точек за время, полиномиальное как по количеству точек, так и по размеру.^[1]

Связанные понятия

Точка Радона трех точек в одномерном пространстве - это просто их медиана. В геометрическая медиана набора точек - точка, минимизирующая сумму расстояний до точек в наборе; он обобщает одномерную медиану и изучался как с точки зрения расположение объекта и надежная статистика. Для наборов из четырех точек на плоскости геометрическая медиана совпадает с точкой Радона.

Еще одно обобщение для разбиения на р наборы были предоставлены Хельге Тверберг (1966 ) и теперь известен как Теорема Тверберга. В нем говорится, что для любого набора

{ Displaystyle (д + 1) (г-1) +1 }

точки в евклидовом d-пространство, есть разбиение на р подмножества, выпуклые оболочки которых пересекаются хотя бы в одной общей точке.

Теорема Каратеодори утверждает, что любая точка в выпуклой оболочке некоторого набора точек также находится внутри выпуклой оболочки подмножества не более d + 1 балл; то есть, данная точка является частью радонового разбиения, в котором она одноэлементна. Одно доказательство теоремы Каратеодори использует технику исследования решений систем линейных уравнений, аналогичную доказательству теоремы Радона, для исключения одной точки за раз до тех пор, пока d +1 осталось.

Понятия, связанные с теоремой Радона, также рассматривались для выпуклые геометрии, семейства конечных множеств со свойствами, согласно которым пересечение любых двух множеств в семействе остается в семействе, и что пустой набор и объединение всех наборов принадлежит семье. В этом более общем контексте выпуклая оболочка множества S это пересечение членов семьи, содержащих S, а число Радона пространства - наименьшее р такой, что любой р точки имеют два подмножества, выпуклые оболочки которых пересекаются. Аналогично можно определить число Хелли час и число Каратеодори c по аналогии с их определениями для выпуклых множеств в евклидовых пространствах, и можно показать, что эти числа удовлетворяют неравенствам час < р ≤ ch + 1.^[7]

В произвольной неориентированный граф, можно определить выпуклое множество как набор вершин, включающий все индуцированный дорожка соединяя пару вершин в наборе. С помощью этого определения каждый набор из ω + 1 вершин в графе может быть разбит на два подмножества, выпуклые оболочки которых пересекаются, и ω + 1 - минимальное число, для которого это возможно, где ω - номер клики данного графа.^[8] Для связанных результатов с участием кратчайшие пути вместо индуцированных путей см. Чепой (1986) и Бандельт и Пеш (1989).

Примечания

^ ^а ^б Кларксон и др. (1996).
^ ^а ^б Баймочи и Барань (1979); Матушек (2003).
^ Чеслик, Дитмар (2006), Кратчайшее подключение: введение в приложения в филогении, Комбинаторная оптимизация, 17, Springer, стр. 6, ISBN 9780387235394.
^ Пластрия, Франк (2006), «Пересмотр четырехточечных задач Ферма. Новые доказательства и расширения старых результатов» (PDF), Журнал IMA по математике управления, 17 (4): 387–396, Дои:10.1093 / imaman / dpl007, Zbl 1126.90046.
^ Матушек (2002), п. 11.
^ Эпсилон-сети и VC-измерение, Конспект лекций Марко Пеллегрини, 2004 г.
^ Кей и Уомбл (1971).
^ Дюше (1987).