Теорема Борсука – Улама. - Borsuk–Ulam theorem

В математика, то Теорема Борсука – Улама. заявляет, что каждый непрерывная функция из п-сфера в Евклидово п-Космос отображает какую-то пару противоположные точки в ту же точку. Здесь две точки на сфере называются антиподами, если они находятся в совершенно противоположных направлениях от центра сферы.

Формально: если ${displaystyle f: S ^ {n} o mathbb {R} ^ {n}}$ непрерывно, то существует ${displaystyle xin S ^ {n}}$ такой, что: ${displaystyle f (-x) = f (x)}$ .

Дело ${displaystyle n = 1}$ можно проиллюстрировать, сказав, что всегда существует пара противоположных точек на земной шар экватор с той же температурой. То же верно для любого круга. Это предполагает, что температура в космосе постоянно меняется.

Дело ${displaystyle n = 2}$ часто иллюстрируется утверждением, что в любой момент на поверхности Земли всегда есть пара противоположных точек с равными температурами и равными барометрическими давлениями, при условии, что оба параметра непрерывно изменяются в космосе.

Теорема Борсука – Улама имеет несколько эквивалентных утверждений в терминах нечетные функции. Напомним, что ${displaystyle S ^ {n}}$ это п-сфера и ${displaystyle B ^ {n}}$ это п-мяч:

Если ${displaystyle g: S ^ {n} o mathbb {R} ^ {n}}$ - непрерывная нечетная функция, то существует ${displaystyle xin S ^ {n}}$ такой, что: ${displaystyle g (x) = 0}$ .
Если ${displaystyle g: B ^ {n} o mathbb {R} ^ {n}}$ - непрерывная функция, нечетная на ${displaystyle S ^ {n-1}}$ (граница ${displaystyle B ^ {n}}$ ), то существует ${displaystyle xin B ^ {n}}$ такой, что: ${displaystyle g (x) = 0}$ .

История

В соответствии с Иржи Матушек (2003 г., п. 25), первое историческое упоминание утверждения теоремы Борсука – Улама появляется в Люстерник и Шнирельман (1930). Первое доказательство было дано Кароль Борсук (1933 ), где постановка задачи была приписана Станислав Улам. С тех пор разными авторами было найдено множество альтернативных доказательств, собранных Штейнлайн (1985).

Эквивалентные заявления

Следующие утверждения эквивалентны теореме Борсука – Улама.^[1]

С нечетными функциями

Функция ${displaystyle g}$ называется странный (он же противоположный или же антиподсохраняющий) если для каждого ${displaystyle x}$ : ${displaystyle g (-x) = - g (x)}$ .

Теорема Борсука – Улама эквивалентна следующему утверждению: непрерывная нечетная функция из п-сфера в евклидову п-пространство имеет ноль. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

Если теорема верна, то она верна именно для нечетных функций, а для нечетной функции ${displaystyle g (-x) = g (x)}$ если только ${displaystyle g (x) = 0}$ . Следовательно, любая нечетная непрерывная функция имеет нуль.
Для каждой непрерывной функции ${displaystyle f}$ , следующая функция является непрерывной и нечетной: ${displaystyle g (x) = f (x) -f (-x)}$ . Если каждая нечетная непрерывная функция имеет нуль, то ${displaystyle g}$ имеет нуль, а значит, ${displaystyle f (x) = f (-x)}$ . Следовательно, теорема верна.

С отзывами

Определить втягивание как функция ${displaystyle h: S ^ {n} o S ^ {n-1}.}$ Теорема Борсука – Улама равносильна следующему утверждению: не существует непрерывной нечетной ретракции.

Доказательство: если теорема верна, то каждая непрерывная нечетная функция из ${displaystyle S ^ {n}}$ должен включать 0 в свой диапазон. Тем не мение, ${displaystyle 0otin S ^ {n-1}}$ поэтому не может быть непрерывной нечетной функции, диапазон которой равен ${displaystyle S ^ {n-1}}$ .

И наоборот, если он неверен, то существует непрерывная нечетная функция ${displaystyle g: S ^ {n} o {mathbb {R}} ^ {n}}$ без нулей. Тогда мы можем построить еще одну нечетную функцию ${displaystyle h: S ^ {n} o S ^ {n-1}}$ к:

{displaystyle h (x) = {frac {g (x)} {| g (x) |}}}

поскольку ${displaystyle g}$ не имеет нулей, ${displaystyle h}$ хорошо определена и непрерывна. Таким образом, у нас есть непрерывная ретракция нечетных чисел.

Доказательства

1-мерный корпус

Одномерный случай легко доказать с помощью теорема о промежуточном значении (IVT).

Позволять ${displaystyle g}$ - нечетная вещественнозначная непрерывная функция на окружности. Выберите произвольный ${displaystyle x}$ . Если ${displaystyle g (x) = 0}$ тогда мы закончили. В противном случае, без ограничения общности, ${displaystyle g (x)> 0.}$ Но ${displaystyle g (-x) <0.}$ Следовательно, по IVT существует точка ${displaystyle y}$ между ${displaystyle x}$ и ${displaystyle -x}$ на котором ${displaystyle g (y) = 0}$ .

Общий случай - доказательство алгебраической топологии

Предположить, что ${displaystyle h: S ^ {n} o S ^ {n-1}}$ - нечетная непрерывная функция с ${displaystyle n> 2}$ (случай ${displaystyle n = 1}$ рассмотрено выше, случай ${displaystyle n = 2}$ можно обрабатывать с помощью базовых теория покрытия ). Переходя к орбитам при антиподальном действии, мы получаем индуцированную непрерывную функцию ${displaystyle h ': mathbb {RP} ^ {n} o mathbb {RP} ^ {n-1}}$ между реальные проективные пространства, что индуцирует изоморфизм на фундаментальные группы. Посредством Теорема Гуревича индуцированная кольцевой гомоморфизм на когомология с ${displaystyle mathbb {F} _ {2}}$ коэффициенты [где ${displaystyle mathbb {F} _ {2}}$ обозначает поле с двумя элементами ],

{displaystyle mathbb {F} _ {2} [a] / a ^ {n + 1} = H ^ {*} (mathbb {RP} ^ {n}; mathbb {F} _ {2}) leftarrow H ^ { *} (mathbb {RP} ^ {n-1}; mathbb {F} _ {2}) = mathbb {F} _ {2} [b] / b ^ {n},}

отправляет ${displaystyle b}$ к ${displaystyle a}$ . Но тогда мы получаем это ${displaystyle b ^ {n} = 0}$ отправляется ${displaystyle a ^ {n} экв 0}$ , противоречие.^[2]

Можно также показать более сильное утверждение, что любое нечетное отображение ${displaystyle S ^ {n-1} o S ^ {n-1}}$ странный степень а затем вывести теорему из этого результата.

Общий случай - комбинаторное доказательство

Теорема Борсука – Улама доказывается из Лемма Такера.^[1]^[3]^[4]

Позволять ${displaystyle g: S ^ {n} o mathbb {R} ^ {n}}$ - непрерывная нечетная функция. Потому что грамм непрерывна на компактный домен, это равномерно непрерывный. Следовательно, для каждого ${displaystyle epsilon> 0}$ , Существует ${displaystyle delta> 0}$ такое, что для каждых двух точек ${displaystyle S_ {n}}$ которые находятся внутри ${displaystyle delta}$ друг друга, их изображения под грамм находятся в пределах ${displaystyle epsilon}$ друг друга.

Определите триангуляцию ${displaystyle S_ {n}}$ с краями длиной не более ${displaystyle delta}$ . Обозначьте каждую вершину ${displaystyle v}$ триангуляции с меткой ${displaystyle l (v) in {pm 1, pm 2, ldots, pm n}}$ следующим образом:

Абсолютное значение метки - это индекс координаты с наибольшим абсолютным значением грамм: ${displaystyle | l (v) | = arg max _ {k} (g (v) _ {k})}$ .
Знак этикетки - знак грамм, так что: ${displaystyle l (v) = имя оператора {sgn} (g (v)) | l (v) |}$ .

Потому что грамм нечетная, нечетная и маркировка: ${displaystyle l (-v) = - l (v)}$ . Следовательно, по лемме Такера есть две смежные вершины ${displaystyle u, v}$ с противоположными этикетками. Предположим, что w.l.o.g. что ярлыки ${displaystyle l (u) = 1, l (v) = - 1}$ . По определению л, это означает, что в обоих ${displaystyle g (u)}$ и ${displaystyle g (v)}$ , координата # 1 - самая большая координата: в ${displaystyle g (u)}$ эта координата положительна, а в ${displaystyle g (v)}$ это отрицательно. По построению триангуляции расстояние между ${displaystyle g (u)}$ и ${displaystyle g (v)}$ самое большее ${displaystyle epsilon}$ , так в частности ${displaystyle | g (u) _ {1} -g (v) _ {1} | = | g (u) _ {1} | + | g (v) _ {1} | leq epsilon}$ (поскольку ${displaystyle g (u) _ {1}}$ и ${displaystyle g (v) _ {1}}$ имеют противоположные знаки) и так ${displaystyle | g (u) _ {1} | leq epsilon}$ . Но поскольку наибольшая координата ${displaystyle g (u)}$ координата №1, это означает, что ${displaystyle | g (u) _ {k} | leq epsilon}$ для каждого ${displaystyle 1leq kleq n}$ . Так ${displaystyle | g (u) | leq c_ {n} epsilon}$ , куда ${displaystyle c_ {n}}$ какая-то константа в зависимости от ${displaystyle n}$ и норма ${displaystyle | cdot |}$ который вы выбрали.

Сказанное выше верно для каждого ${displaystyle epsilon> 0}$ ; поскольку ${displaystyle S_ {n}}$ компактно, следовательно, должна быть точка ты в котором ${displaystyle | g (u) | = 0}$ .

Следствия

Нет подмножества ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ является гомеоморфный к ${displaystyle S ^ {n}}$
В теорема о сэндвиче с ветчиной: Для любого компактный наборы А₁, ..., А_п в ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ мы всегда можем найти гиперплоскость, разделяющую каждую из них на два подмножества равной меры.

Эквивалентные результаты

Выше мы показали, как доказать теорему Борсука – Улама из леммы Такера. Верно и обратное: лемму Такера можно доказать с помощью теоремы Борсука – Улама. Следовательно, эти две теоремы эквивалентны. Существует несколько теорем о неподвижной точке, которые представлены в трех эквивалентных вариантах: алгебраическая топология вариант, комбинаторный вариант и вариант покрытия множества. Каждый вариант можно доказать отдельно, используя совершенно разные аргументы, но каждый вариант также можно свести к другим вариантам в своем ряду. Кроме того, каждый результат в верхней строке можно вывести из результата под ним в том же столбце.^[5]

Алгебраическая топология	Комбинаторика	Установить покрытие
Теорема Брауэра о неподвижной точке	Лемма Спернера	Лемма Кнастера – Куратовского – Мазуркевича.
Теорема Борсука – Улама.	Лемма Такера	Теорема Люстерника – Шнирельмана.

Обобщения

В исходной теореме область определения функции ж это единица п-сфера (граница единицы п-мяч). В общем, это верно и тогда, когда домен ж является границей любого открытого ограниченного симметрического подмножества ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ содержащий начало координат (Здесь симметричный означает, что если Икс находится в подмножестве, то -Икс также входит в подмножество).^[6]

Рассмотрим функцию А который отображает точку в ее противоположную точку: ${displaystyle A (x) = - x.}$ Обратите внимание, что ${displaystyle A (A (x)) = x.}$ Исходная теорема утверждает, что существует точка Икс в котором ${displaystyle f (A (x)) = f (x).}$ В общем, это верно и для любой функции А для которого ${displaystyle A (A (x)) = x.}$ ^[7] Однако в целом это неверно для других функций. А.^[8]

Смотрите также

Примечания

^ ^а ^б Прескотт, Тимоти (2002). "Расширения теоремы Борсука – Улама (диссертации)". Колледж Харви Мадда. CiteSeerX 10.1.1.124.4120. Цитировать журнал требует | журнал = (помощь)
^ Джозеф Дж. Ротман, Введение в алгебраическую топологию (1988) Спрингер-Верлаг ISBN 0-387-96678-1 (См. Полное описание в главе 12.)
^ Фройнд, Роберт М; Тодд, Майкл Дж (1982). «Конструктивное доказательство комбинаторной леммы Такера». Журнал комбинаторной теории, серия А. 30 (3): 321–325. Дои:10.1016/0097-3165(81)90027-3.
^ Simmons, Forest W .; Су, Фрэнсис Эдвард (2003). «Сокращение вдвое консенсуса с помощью теорем Борсука – Улама и Такера». Математические социальные науки. 45: 15–25. Дои:10.1016 / s0165-4896 (02) 00087-2. HDL:10419/94656.
^ Nyman, Kathryn L .; Су, Фрэнсис Эдвард (2013), «Эквивалент Борсука – Улама, из которого непосредственно следует лемма Спернера», Американский математический ежемесячный журнал, 120 (4): 346–354, Дои:10.4169 / amer.math.monthly.120.04.346, МИСТЕР 3035127
^ "Теорема Борсука о неподвижной точке", Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
^ Ян, Чжун-Тао (1954). «О теоремах Борсук-Улама, Какутани-Ямабе-Юджобо и Дайсона, I». Анналы математики. 60 (2): 262–282. Дои:10.2307/1969632. JSTOR 1969632.
^ Йенс Рейнхольд, Фейсал; Сергей Иванов. «Обобщение Борсук-Улам». Математическое переполнение. Получено 18 мая 2015.

внешняя ссылка

Кого (еще) волнует топология? Украденные ожерелья и Борсук-Улам на YouTube

[prescott2002-1] а ^б Прескотт, Тимоти (2002). "Расширения теоремы Борсука – Улама (диссертации)". Колледж Харви Мадда. CiteSeerX 10.1.1.124.4120. Цитировать журнал требует | журнал = (помощь)

[rotman-2] Джозеф Дж. Ротман, Введение в алгебраическую топологию (1988) Спрингер-Верлаг ISBN 0-387-96678-1 (См. Полное описание в главе 12.)

[FreundTodd1982-3] Фройнд, Роберт М; Тодд, Майкл Дж (1982). «Конструктивное доказательство комбинаторной леммы Такера». Журнал комбинаторной теории, серия А. 30 (3): 321–325. Дои:10.1016/0097-3165(81)90027-3.

[SimmonsSu2003-4] Simmons, Forest W .; Су, Фрэнсис Эдвард (2003). «Сокращение вдвое консенсуса с помощью теорем Борсука – Улама и Такера». Математические социальные науки. 45: 15–25. Дои:10.1016 / s0165-4896 (02) 00087-2. HDL:10419/94656.

[5] Nyman, Kathryn L .; Су, Фрэнсис Эдвард (2013), «Эквивалент Борсука – Улама, из которого непосредственно следует лемма Спернера», Американский математический ежемесячный журнал, 120 (4): 346–354, Дои:10.4169 / amer.math.monthly.120.04.346, МИСТЕР 3035127

[6] "Теорема Борсука о неподвижной точке", Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]

[7] Ян, Чжун-Тао (1954). «О теоремах Борсук-Улама, Какутани-Ямабе-Юджобо и Дайсона, I». Анналы математики. 60 (2): 262–282. Дои:10.2307/1969632. JSTOR 1969632.

[8] Йенс Рейнхольд, Фейсал; Сергей Иванов. «Обобщение Борсук-Улам». Математическое переполнение. Получено 18 мая 2015.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]