Реальное проективное пространство - Real projective space

В математика, реальное проективное пространство, или RP^п или ${ Displaystyle mathbb {P} _ {n} ( mathbb {R})}$, это топологическое пространство прямых, проходящих через начало координат 0 в р^п+1. Это компактный, гладкое многообразие измерения п, и является частным случаем Gr(1, р^п+1) из Грассманиан Космос.

Основные свойства

строительство

Как и во всех проективных пространствах, RP^п формируется путем принятия частное из р^п+1 {0} под отношение эквивалентности Икс ∼ λx для всех действительные числа λ ≠ 0. Для всех Икс в р^п+1 {0} всегда можно найти λ такой, что λx имеет норма 1. Таких ровно два λ различаются по знаку.

Таким образом RP^п также может быть сформирован путем определения противоположные точки подразделения п-сфера, S^п, в р^п+1.

Далее можно ограничиться верхним полушарием S^п и просто определить точки противоположности на ограничивающем экваторе. Это показывает, что RP^п также эквивалентен закрытому п-мерный диск, D^п, с противоположными точками на границе, ∂D^п = S^п−1, опознано.

Низкоразмерные примеры

RP¹ называется реальная проективная линия, который топологически эквивалентно круг.

RP² называется реальная проективная плоскость. Это пространство не может быть встроенный в р³. Однако он может быть встроен в р⁴ и может быть погруженный в р³. Вопросы вложимости и погружаемости для проективных п-пространство хорошо изучено.^[1]

RP³ является (диффеоморфный к) ТАК (3), следовательно, допускает групповую структуру; покрывающая карта S³ → RP³ является отображением групп Spin (3) → SO (3), где Отжим (3) это Группа Ли это универсальный чехол СО (3).

Топология

Антиподальная карта на п-сфера (отправка карты Икс чтобы -Икс) порождает Z₂ групповое действие на S^п. Как упоминалось выше, пространство орбиты для этого действия равно RP^п. Это действие на самом деле покрывающее пространство действие дает S^п как двойная крышка из RP^п. поскольку S^п является односвязный для п ≥ 2, он также служит универсальный чехол в этих случаях. Отсюда следует, что фундаментальная группа из RP^п является Z₂ когда п > 1. (Когда п = 1 фундаментальная группа Z из-за гомеоморфизма с S¹). Генератором фундаментальной группы является замкнутая кривая полученная путем проецирования любой кривой, соединяющей противоположные точки в S^п вплоть до RP^п.

Проективный п-пространство компактно, связно и имеет фундаментальную группу, изоморфную циклической группе порядка 2: ее универсальное перекрытие задается фактор-отображением антиподы из п-сфера, а односвязный Космос. Это двойная крышка. Карта антиподов на р^п имеет знак ${ displaystyle (-1) ^ {p}}$, поэтому он сохраняет ориентацию тогда и только тогда, когда п даже. В ориентировочный характер таким образом: нетривиальный цикл в ${ displaystyle pi _ {1} ( mathbf {RP} ^ {n})}$ выступает в качестве ${ Displaystyle (-1) ^ {п + 1}}$ по ориентации, поэтому RP^п ориентируем тогда и только тогда п + 1 четно, т. Е. п странно.^[2]

Проективный п-пространство фактически диффеоморфно подмногообразию р^(п+1)2 состоящий из всех симметричных (п + 1) × (п + 1) матрицы следа 1, которые также являются идемпотентными линейными преобразованиями.^{[нужна цитата ]}

Геометрия реальных проективных пространств

Вещественное проективное пространство допускает постоянную положительную метрику скалярной кривизны, исходящую из двойного покрытия стандартной круглой сферой (антиподальное отображение является локально изометрией).

Для стандартной круглой метрики это имеет секционная кривизна идентично 1.

В стандартной круглой метрике мера проективного пространства составляет ровно половину меры сферы.

Гладкая структура

Реальные проективные пространства гладкие многообразия. На S^п, в однородных координатах, (Икс₁...Икс_п+1) рассмотрим подмножество U_я с участием Икс_я ≠ 0. Каждый U_я гомеоморфна открытому единичному шару в р^п а функции координатного перехода гладкие. Это дает RP^п а гладкая структура.

CW структура

Реальное проективное пространство RP^п признает CW структура с 1 ячейкой в ​​каждом измерении.

В однородных координатах (Икс₁ ... Икс_п+1) на S^п, координатная окрестность U₁ = {(Икс₁ ... Икс_п+1) | Икс₁ ≠ 0} можно идентифицировать с внутренней частью п-диск D^п. Когда Икс_я = 0, имеем RP^п−1. Следовательно п−1 скелет RP^п является RP^п−1, а прилагаемая карта ж : S^п−1 → RP^п−1 является покрывающим отображением 2 к 1. Можно положить

${ displaystyle mathbf {RP} ^ {n} = mathbf {RP} ^ {n-1} cup _ {f} D ^ {n}.}$

Индукция показывает, что RP^п представляет собой комплекс CW с 1 ячейкой в ​​каждом измерении до п.

Клетки Клетки Шуберта, как на многообразие флагов. То есть взять полную флаг (скажем, стандартный флаг) 0 = V₀ < V₁ <...< V_п; затем закрытый k-cell - это строки, лежащие в V_k. Также открытый k-ячейка (интерьер k-cell) - это строки в V_k \ V_k−1 (строки в V_k но нет V_k−1).

В однородных координатах (относительно флага) ячейки имеют вид

${ displaystyle { begin {array} {c} [*: 0: 0: dots: 0] {[} *: *: 0: dots: 0] vdots {[} * : *: *: точки: *]. end {массив}}}$

Это не обычная структура CW, так как прикрепляемые карты 2-к-1. Однако его крышка представляет собой обычную структуру CW на сфере с двумя ячейками в каждом измерении; действительно, минимальная регулярная структура CW на сфере.

В свете гладкой структуры наличие Функция Морса покажет RP^п представляет собой комплекс CW. Одна такая функция задается в однородных координатах выражением

${ displaystyle g (x_ {1}, ldots, x_ {n + 1}) = sum _ {i = 1} ^ {n + 1} i cdot | x_ {i} | ^ {2}.}$

В каждом районе U_я, г имеет невырожденную критическую точку (0, ..., 1, ..., 0), где 1 входит в я-я позиция с индексом Морзе я. Это показывает RP^п представляет собой комплекс CW с одной ячейкой в ​​каждом измерении.

Тавтологические связки

Реальное проективное пространство имеет естественное линейный пакет над ним, называется тавтологический пучок. Точнее, это называется тавтологическим подрасслоением, а также существует двойственное п-мерное расслоение называется тавтологическим фактор-расслоением.

Алгебраическая топология вещественных проективных пространств

Гомотопические группы

Высшие гомотопические группы RP^п в точности высшие гомотопические группы S^п, через длинную точную последовательность по гомотопии, связанную с расслоение.

Явно пучок волокон:

${ displaystyle mathbf {Z} _ {2} to S ^ {n} to mathbf {RP} ^ {n}.}$

Вы также можете написать это как

${ Displaystyle S ^ {0} к S ^ {n} к mathbf {RP} ^ {n}}$

или

${ Displaystyle О (1) к S ^ {n} к mathbf {RP} ^ {n}}$

по аналогии с сложное проективное пространство.

Гомотопические группы:

${ displaystyle pi _ {i} ( mathbf {RP} ^ {n}) = { begin {cases} 0 & i = 0 mathbf {Z} & i = 1, n = 1 mathbf {Z } / 2 mathbf {Z} & i = 1, n> 1 pi _ {i} (S ^ {n}) & i> 1, n> 0. end {cases}}}$

Гомология

Комплекс клеточной цепи, связанный с вышеуказанной структурой CW, имеет по одной ячейке в каждом измерении 0, ..., п. Для каждого измерения k, граничные карты d_k : δD^k → RP^k−1/RP^k−2 это карта, которая сворачивает экватор на S^k−1 а затем определяет точки противоположности. В нечетных (соответственно четных) измерениях это имеет степень 0 (соответственно 2):

${ displaystyle deg (d_ {k}) = 1 + (- 1) ^ {k}.}$

Таким образом, интеграл гомология является

${ displaystyle H_ {i} ( mathbf {RP} ^ {n}) = { begin {cases} mathbf {Z} & i = 0 { text {или}} i = n { text {odd,} } mathbf {Z} / 2 mathbf {Z} & 0$

RP^п ориентируем тогда и только тогда п является нечетным, как показывает приведенный выше расчет гомологии.

Бесконечное реальное проективное пространство

Бесконечное вещественное проективное пространство строится как прямой предел или объединение конечных проективных пространств:

${ displaystyle mathbf {RP} ^ { infty}: = lim _ {n} mathbf {RP} ^ {n}.}$

Это пространство классификация пространства О(1), первый ортогональная группа.

Двойное покрытие этого пространства - бесконечная сфера ${ Displaystyle S ^ { infty}}$, который является стягиваемым. Таким образом, бесконечное проективное пространство - это Пространство Эйленберга – Маклейна K(Z₂, 1).

Для каждого неотрицательного целого числа q, группа гомологий по модулю 2 ${ Displaystyle Н_ {Q} ( mathbf {RP} ^ { infty}; mathbf {Z} / 2) = mathbf {Z} / 2}$.

это кольцо когомологий по модулю 2 это

${ displaystyle H ^ {*} ( mathbf {RP} ^ { infty}; mathbf {Z} / 2 mathbf {Z}) = mathbf {Z} / 2 mathbf {Z} [w_ {1 }],}$

где ${ displaystyle w_ {1}}$ это первый Класс Штифеля – Уитни: это бесплатно ${ Displaystyle mathbf {Z} / 2 mathbf {Z}}$-алгебра на ${ displaystyle w_ {1}}$, имеющий степень 1.

Смотрите также

• Комплексное проективное пространство
• Кватернионное проективное пространство
• Объектив пространство
• Реальная проективная плоскость

Заметки

1. ^ См. Таблицу Дона Дэвиса для библиографии и списка результатов.
2. ^ Дж. Т. Влока; Б. Роули; Б. Лаврук (1995). Краевые задачи для эллиптических систем.. Издательство Кембриджского университета. п. 197. ISBN  978-0-521-43011-1.

использованная литература

• Бредон, Глен. Топология и геометрия, Тексты для выпускников по математике, Springer Verlag 1993, 1996
• Дэвис, Дональд. «Таблица погружений и вложений вещественных проективных пространств». Получено 22 сен 2011.
• Хэтчер, Аллен (2001). Алгебраическая топология. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-79160-1.