Клеточная гомология - Cellular homology

В математика, клеточная гомология в алгебраическая топология это теория гомологии для категории CW-комплексы. Согласен с особые гомологии, и может предоставить эффективные средства вычисления модулей гомологии.

Определение

Если ${ displaystyle X}$ CW-комплекс с п-скелет ${ displaystyle X_ {n}}$ , модули клеточных гомологий определяются как группы гомологии ЧАС_я сотового цепной комплекс

{ displaystyle cdots to {C_ {n + 1}} (X_ {n + 1}, X_ {n}) to {C_ {n}} (X_ {n}, X_ {n-1}) в {C_ {n-1}} (X_ {n-1}, X_ {n-2}) в cdots,}

куда ${ displaystyle X _ {- 1}}$ принимается пустое множество.

Группа

{ displaystyle {C_ {n}} (X_ {n}, X_ {n-1})}

является свободный абелевский, с генераторами, которые можно отождествить с ${ displaystyle n}$ -элементы ${ displaystyle X}$ . Позволять ${ Displaystyle е_ {п} ^ { альфа}}$ быть ${ displaystyle n}$ -ячейка ${ displaystyle X}$ , и разреши ${ displaystyle chi _ {n} ^ { alpha}: partial e_ {n} ^ { alpha} cong mathbb {S} ^ {n-1} to X_ {n-1}}$ быть прикрепленной картой. Затем рассмотрим композицию

{ displaystyle chi _ {n} ^ { alpha beta}: mathbb {S} ^ {n-1} , { stackrel { cong} { longrightarrow}} , partial e_ {n} ^ { alpha} , { stackrel { chi _ {n} ^ { alpha}} { longrightarrow}} , X_ {n-1} , { stackrel {q} { longrightarrow}} , X_ {n-1} / left (X_ {n-1} setminus e_ {n-1} ^ { beta} right) , { stackrel { cong} { longrightarrow}} , mathbb {S} ^ {n-1},}

где первая карта определяет ${ Displaystyle mathbb {S} ^ {п-1}}$ с ${ displaystyle partial e_ {n} ^ { alpha}}$ через характеристическую карту ${ displaystyle Phi _ {n} ^ { alpha}}$ из ${ Displaystyle е_ {п} ^ { альфа}}$ , предмет ${ Displaystyle е_ {п-1} ^ { бета}}$ является ${ Displaystyle (п-1)}$ -ячейка Икс, третья карта ${ displaystyle q}$ это фактор-карта, которая сворачивается ${ displaystyle X_ {n-1} setminus e_ {n-1} ^ { beta}}$ до точки (таким образом оборачивая ${ Displaystyle е_ {п-1} ^ { бета}}$ в сферу ${ Displaystyle mathbb {S} ^ {п-1}}$ ), а последняя карта определяет ${ displaystyle X_ {n-1} / left (X_ {n-1} setminus e_ {n-1} ^ { beta} right)}$ с ${ Displaystyle mathbb {S} ^ {п-1}}$ через характеристическую карту ${ displaystyle Phi _ {n-1} ^ { beta}}$ из ${ Displaystyle е_ {п-1} ^ { бета}}$ .

В карта границ

{ displaystyle partial _ {n}: {C_ {n}} (X_ {n}, X_ {n-1}) to {C_ {n-1}} (X_ {n-1}, X_ {n -2})}

тогда дается формулой

{ displaystyle { partial _ {n}} (e_ {n} ^ { alpha}) = sum _ { beta} deg left ( chi _ {n} ^ { alpha beta} right ) e_ {n-1} ^ { beta},}

куда ${ displaystyle deg left ( chi _ {n} ^ { alpha beta} right)}$ это степень из ${ Displaystyle чи _ {п} ^ { альфа бета}}$ и сумма берется по всем ${ Displaystyle (п-1)}$ -элементы ${ displaystyle X}$ , рассматриваемые как генераторы ${ Displaystyle {C_ {n-1}} (X_ {n-1}, X_ {n-2})}$ .

Пример

В п-мерная сфера S^п допускает структуру CW с двумя ячейками, одной 0-ячейкой и одной п-клетка. Здесь п-cell прикреплен постоянным отображением из ${ Displaystyle S ^ {п-1}}$ в 0-ячейку. Поскольку образующие групп клеточных цепей ${ displaystyle {C_ {k}} (S_ {k} ^ {n}, S_ {k-1} ^ {n})}$ можно отождествить с k-элементы S^пу нас есть это ${ Displaystyle {C_ {k}} (S_ {k} ^ {n}, S_ {k-1} ^ {n}) = mathbb {Z}}$ за ${ Displaystyle к = 0, п,}$ и в остальном тривиален.

Следовательно, для ${ displaystyle n> 1}$ , результирующий цепной комплекс равен

{ displaystyle dotsb { overset { partial _ {n + 2}} { longrightarrow ,}} 0 { overset { partial _ {n + 1}} { longrightarrow ,}} mathbb {Z } { overset { partial _ {n}} { longrightarrow ,}} 0 { overset { partial _ {n-1}} { longrightarrow ,}} dotsb { overset { partial _ { 2}} { longrightarrow ,}} 0 { overset { partial _ {1}} { longrightarrow ,}} mathbb {Z} { longrightarrow ,} 0,}

но тогда, поскольку все граничные отображения либо в тривиальные группы, либо из них, все они должны быть нулевыми, что означает, что группы клеточных гомологий равны

{ displaystyle H_ {k} (S ^ {n}) = { begin {cases} mathbb {Z} & k = 0, n {0 } & { text {в противном случае.}} end { случаи}}}

Когда ${ displaystyle n = 1}$ , нетрудно убедиться, что отображение границы ${ displaystyle partial _ {1}}$ равен нулю, что означает, что приведенная выше формула верна для всех положительных ${ displaystyle n}$ .

Как показывает этот пример, вычисления, выполненные с использованием клеточных гомологий, часто более эффективны, чем вычисления с использованием только сингулярных гомологий.

Другие свойства

Из комплекса клеточной цепи видно, что ${ displaystyle n}$ -скелет определяет все модули гомологии меньшей размерности:

{ Displaystyle {H_ {k}} (X) cong {H_ {k}} (X_ {n})}

за ${ Displaystyle к <п}$ .

Важным следствием этой клеточной перспективы является то, что если CW-комплекс не имеет ячеек в последовательных измерениях, то все его модули гомологии свободны. Например, сложное проективное пространство ${ Displaystyle mathbb {CP} ^ {п}}$ имеет ячеистую структуру с одной ячейкой в каждом четном измерении; следует, что для ${ Displaystyle 0 Leq К Leq N}$ ,

{ Displaystyle {H_ {2k}} ( mathbb {CP} ^ {n}; mathbb {Z}) cong mathbb {Z}}

и

{ displaystyle {H_ {2k + 1}} ( mathbb {CP} ^ {n}; mathbb {Z}) = 0.}

Обобщение

В Спектральная последовательность Атьи – Хирцебруха аналогичный метод вычисления (ко) гомологий CW-комплекса для произвольного экстраординарная теория (ко) гомологии.

Эйлерова характеристика

Для клеточного комплекса ${ displaystyle X}$ , позволять ${ displaystyle X_ {j}}$ быть его ${ displaystyle j}$ -й скелет, и ${ displaystyle c_ {j}}$ быть числом ${ displaystyle j}$ -клеток, т. е. ранг свободного модуля ${ displaystyle {C_ {j}} (X_ {j}, X_ {j-1})}$ . В Эйлерова характеристика из ${ displaystyle X}$ тогда определяется как

{ displaystyle chi (X) = sum _ {j = 0} ^ {n} (- 1) ^ {j} c_ {j}.}

Эйлерова характеристика - гомотопический инвариант. Фактически, с точки зрения Бетти числа из ${ displaystyle X}$ ,

{ displaystyle chi (X) = sum _ {j = 0} ^ {n} (- 1) ^ {j} operatorname {Rank} ({H_ {j}} (X)).}

Это можно обосновать следующим образом. Рассмотрим длинную точную последовательность относительная гомология для тройки ${ displaystyle (X_ {n}, X_ {n-1}, varnothing)}$ :

{ displaystyle cdots to {H_ {i}} (X_ {n-1}, varnothing) to {H_ {i}} (X_ {n}, varnothing) to {H_ {i}} ( X_ {n}, X_ {n-1}) to cdots.}

Погоня за точностью в последовательности дает

{ displaystyle sum _ {i = 0} ^ {n} (- 1) ^ {i} operatorname {Rank} ({H_ {i}} (X_ {n}, varnothing)) = sum _ { i = 0} ^ {n} (- 1) ^ {i} operatorname {Rank} ({H_ {i}} (X_ {n}, X_ {n-1})) + sum _ {i = 0 } ^ {n} (- 1) ^ {i} operatorname {Rank} ({H_ {i}} (X_ {n-1}, varnothing)).}

Тот же расчет применяется к тройкам ${ displaystyle (X_ {n-1}, X_ {n-2}, varnothing)}$ , ${ displaystyle (X_ {n-2}, X_ {n-3}, varnothing)}$ и т. д. По индукции

{ displaystyle sum _ {i = 0} ^ {n} (- 1) ^ {i} ; operatorname {Rank} ({H_ {i}} (X_ {n}, varnothing)) = sum _ {j = 0} ^ {n} sum _ {i = 0} ^ {j} (- 1) ^ {i} operatorname {Rank} ({H_ {i}} (X_ {j}, X_ { j-1})) = sum _ {j = 0} ^ {n} (- 1) ^ {j} c_ {j}.}