Тавтологический пучок - Tautological bundle

В математика, то тавтологический пучок это векторный набор происходит в течение Грассманиан естественным тавтологическим образом: слой расслоения над векторным пространством V (точка в грассманиане) равна V сам. В случае проективное пространство тавтологический пучок известен как тавтологический пучок линий.

Тавтологический пучок еще называют универсальный комплект поскольку любое векторное расслоение (над компактом^[1]) - откат тавтологического пучка; это означает, что грассманиан - это классификация пространства для векторных расслоений. По этой причине тавтологический пучок важен при изучении характеристические классы.

Тавтологические расслоения строятся как в алгебраической топологии, так и в алгебраической геометрии. В алгебраической геометрии тавтологическое линейное расслоение (как обратимая связка ) является

{ Displaystyle { mathcal {O}} _ { mathbb {P} ^ {n}} (- 1)}

,

то двойной из пучок гиперплоскостей или же Скручивающаяся связка Серра ${ Displaystyle { mathcal {O}} _ { mathbb {P} ^ {n}} (1)}$ . Гиперплоскость - это линейное расслоение, соответствующее гиперплоскости (делитель ) п^п-1 в п^п. Тавтологическое линейное расслоение и гиперплоское расслоение являются в точности двумя образующими Группа Пикард проективного пространства.^[2]

В Майкл Атья "K-теории", тавтологическое линейное расслоение над сложное проективное пространство называется стандартный набор линий. Расслоение сфер стандартного расслоения обычно называют Набор хопфа. (ср. Генератор Ботта.)

В более общем смысле, есть также тавтологические связки на проективный пучок векторного расслоения, а также Расслоение Грассмана.

Старший термин канонический пакет вышла из немилости на том основании, что канонический и так сильно перегружен математической терминологией и (что еще хуже) путаницей с канонический класс в алгебраическая геометрия вряд ли можно было избежать.

Интуитивное определение

Грассманианы по определению являются пространствами параметров для линейные подпространства, данного измерения, в данном векторное пространство W. Если грамм является грассманианом, а V_грамм является подпространством W соответствующий грамм в грамм, это уже почти данные, необходимые для векторного расслоения: а именно векторное пространство для каждой точки грамм, непрерывно меняющееся. Все, что может остановить определение тавтологического пучка от этого указания, - это трудность, которую V_грамм собираются пересечься. Исправление этого - обычное применение несвязный союз устройства, так что выступ связки идет от общая площадь состоящий из идентичных копий V_грамм, которые теперь не пересекаются. С этим у нас есть связка.

Включен случай проективного пространства. По соглашению и использованию п(V) может с пользой нести тавтологический пучок в двойное пространство смысл. То есть с V^* дуальное пространство, точки п(V) переносят векторные подпространства V^* это их ядра, если рассматривать их как (лучи) линейные функционалы на V^*. Если V имеет размер п +1, тавтологический линейный пакет один тавтологический пучок, а другой, только что описанный, имеет ранг п.

Формальное определение

Позволять грамм_п(р^п+k) быть Грассманиан из п-мерные векторные подпространства в р^п+k; как набор это набор всех п-мерные векторные подпространства р^п+k. Например, если п = 1, это действительная проективная k-Космос.

Определим тавтологическое расслоение γ_{п, k} над грамм_п(р^п+k) следующее. Суммарное пространство пучка - это множество всех пар (V, v) состоящий из точки V грассманиана и вектора v в V; ему задана топология подпространства декартова произведения грамм_п(р^п+k) × р^п+k. Отображение проекции π задается формулой π (V, v) = V. Если F это прообраз V под π ему задается структура векторного пространства: а(V, v) + б(V, ш) = (V, средний + чб). Наконец, чтобы увидеть локальную тривиальность, учитывая точку Икс в грассманиане, пусть U быть набором всех V такая, что ортогональная проекция п на Икс карты V изоморфно на Икс,^[3] а затем определить

{ Displaystyle phi: pi ^ {- 1} (U) к G_ {n} ( mathbb {R} ^ {n + k}) times X}

к ${ displaystyle phi}$ (V, v) = (V, п(v)), что, очевидно, является гомеоморфизмом. Следовательно, результатом является векторное расслоение ранга п.

Приведенное выше определение сохраняет смысл, если мы заменим поле р посредством сложное поле C.

По определению бесконечный грассманиан грамм_п это прямой предел из грамм_п(р^п+k) в качестве k → ∞. Переходя к прямому пределу расслоений γ_{п, k} дает тавтологическое расслоение γ_п из грамм_п. Это универсальный пучок в том смысле, что для каждого компактного пространства Икс, существует естественная биекция

{ displaystyle [X, G_ {n}] to operatorname {Vect} _ {n} ^ { mathbb {R}} (X), , f mapsto f ^ {*} ( gamma _ {n })}

где слева скобка означает гомотопический класс, а справа - множество классов изоморфизма вещественных векторных расслоений ранга п. (Обратное отображение дается следующим образом: поскольку Икс компактно, любое векторное расслоение E является подрасслоением тривиального расслоения: ${ displaystyle E hookrightarrow X times mathbb {R} ^ {n + k}}$ для некоторых k и так E определяет карту ${ displaystyle f_ {E} двоеточие X to G_ {n}, , x mapsto E_ {x}}$ , единственный с точностью до гомотопии.)

Замечание: В свою очередь, можно определить тавтологическое расслоение как универсальное; предположим, что существует естественная биекция

{ displaystyle [X, G_ {n}] = operatorname {Vect} _ {n} ^ { mathbb {R}} (X)}

для любого паракомпактное пространство Икс. С грамм_п является прямым пределом компактных пространств, он паракомпактен, поэтому существует единственное векторное расслоение над грамм_п что соответствует карте идентичности на грамм_п. Это в точности тавтологическое расслоение, и за счет ограничения можно получить тавтологические расслоения по всем грамм_п(р^п+k).

Комплект гиперплоскости

В пучок гиперплоскостей ЧАС на реальном проективном k-пространство определяется следующим образом. Общая площадь ЧАС - множество всех пар (L, ж) состоящий из строки L через происхождение в р^{к + 1} и ж линейный функционал на L. Отображение проекции π задается формулой π (L, ж) = L (так что волокно над L является двойственным векторным пространством L.) Остальное в точности как тавтологический линейный пучок.

Другими словами, ЧАС это двойной комплект тавтологического линейного пучка.

В алгебраической геометрии расслоение гиперплоскостей - это линейное расслоение (как обратимая связка ) соответствующий делитель гиперплоскости

{ displaystyle H = mathbb {P} ^ {n-1} subset mathbb {P} ^ {n}}

учитывая, скажем, Икс₀ = 0, когда Икс_яэто однородные координаты. Это можно увидеть следующим образом. Если D это (Вейля) дивизор на Икс = п^п, определяется соответствующий линейный пучок О(D) на Икс к

{ Displaystyle Гамма (U, О (D)) = {е в К | (е) + D geq 0 { text {on}} U }}

куда K поле рациональных функций на Икс. Принимая D быть ЧАС, у нас есть:

{ Displaystyle О (ЧАС) simeq O (1), е mapsto fx_ {0}}

куда Икс₀ как обычно рассматривается как глобальное сечение скручивающего пучка О(1). (Фактически, указанный выше изоморфизм является частью обычного соответствия между дивизорами Вейля и дивизорами Картье.) Наконец, двойственный к скручивающему пучку соответствует тавтологическому линейному расслоению (см. Ниже).

Тавтологическое линейное расслоение в алгебраической геометрии

В алгебраической геометрии это понятие существует над любым полем k. Конкретное определение выглядит следующим образом. Позволять ${ Displaystyle А = К [у_ {0}, точки, у_ {п}]}$ и ${ displaystyle mathbb {P} ^ {n} = operatorname {Proj} A}$ . Обратите внимание, что у нас есть:

{ displaystyle mathbf {Spec} ({ mathcal {O}} _ { mathbb {P} ^ {n}} [x_ {0}, dots, x_ {n}]) = mathbb {A} _ { mathbb {P} ^ {n}} ^ {n + 1} = mathbb {A} ^ {n + 1} times _ {k} { mathbb {P} ^ {n}}}

куда Спецификация является относительная спецификация. Теперь положите:

{ displaystyle L = mathbf {Spec} ({ mathcal {O}} _ { mathbb {P} ^ {n}} [x_ {0}, dots, x_ {n}] / I)}

куда я идеальный пучок, порожденный глобальными сечениями ${ displaystyle x_ {i} y_ {j} -x_ {j} y_ {i}}$ . потом L замкнутая подсхема ${ Displaystyle mathbb {A} _ { mathbb {P} ^ {n}} ^ {n + 1}}$ по той же базовой схеме ${ displaystyle mathbb {P} ^ {n}}$ ; кроме того, закрытые точки L именно такие (Икс, у) из ${ displaystyle mathbb {A} ^ {n + 1} times _ {k} { mathbb {P} ^ {n}}}$ так что либо Икс равно нулю или изображение Икс в ${ displaystyle mathbb {P} ^ {n}}$ является у. Таким образом, L является тавтологическим линейным пучком, как определено ранее, если k это поле действительных или комплексных чисел.

Если говорить более кратко, L это Взрывать происхождения аффинного пространства ${ Displaystyle mathbb {А} ^ {п + 1}}$ , где локус Икс = 0 дюйм L это исключительный делитель. (см. Хартсхорн, гл. I, конец § 4.)

В целом, ${ displaystyle mathbf {Spec} ( operatorname {Sym} { check {E}})}$ это алгебраическое векторное расслоение соответствующему локально свободному пучку E конечного ранга.^[4] Поскольку у нас есть точная последовательность:

{ displaystyle 0 to I to { mathcal {O}} _ { mathbb {P} ^ {n}} [x_ {0}, dots, x_ {n}] { overset {x_ {i} mapsto y_ {i}} { to}} operatorname {Sym} { mathcal {O}} _ { mathbb {P} ^ {n}} (1) to 0,}

тавтологический линейный пучок L, как определено выше, соответствует двойственному ${ Displaystyle { mathcal {O}} _ { mathbb {P} ^ {n}} (- 1)}$ из Скручивающаяся связка Серра. На практике оба понятия (тавтологический пучок линий и двойник скручивающего пучка) используются как взаимозаменяемые.

Над полем его двойной линейный пучок - это линейный пучок, связанный с делитель гиперплоскости ЧАС, глобальные секции которого являются линейные формы. Его Черн класс это -ЧАС. Это пример анти-обильная линейка. Над C, это равносильно утверждению, что это отрицательное линейное расслоение, означающее, что минус его класс Черна - это класс де Рама стандартной кэлеровой формы.

Факты

Тавтологическое линейное расслоение γ_{1, k} является локально тривиальный но нет банальный, за k ≥ 1. Это остается верным и для других полей.^{[нужна цитата ]}

Фактически, несложно показать, что для k = 1, вещественное тавтологическое линейное расслоение есть не что иное, как хорошо известное расслоение, общая площадь это Лента Мебиуса. Полное доказательство этого факта см.^[5]

В Группа Пикард линейных пучков на ${ Displaystyle mathbb {P} (V)}$ является бесконечный циклический, а пучок тавтологических линий генератор.
В случае проективного пространства, когда тавтологическое расслоение является линейный пакет связанные обратимая связка разделов ${ Displaystyle { mathcal {O}} (- 1)}$ , тензор обратный (т.е. двойственное векторное расслоение) гиперплоского расслоения или Крученая связка Серра ${ Displaystyle { mathcal {O}} (1)}$ ; другими словами, гиперплоское расслоение является генератором группы Пикара, имеющей положительную степень (как делитель ), а тавтологическое расслоение - его противоположность: образующая отрицательной степени.

Смотрите также

Набор хопфа
Класс Штифеля-Уитни
Последовательность Эйлера
Черн класс (Классы Черна тавтологических расслоений - это алгебраически независимые образующие кольца когомологий бесконечного грассманиана.)
Теорема Бореля
Пространство Тома (Пространства Тома тавтологических расслоений γ_п в качестве п → ∞ называется Спектр Тома.)
Расслоение Грассмана

Источники

Атья, Майкл Фрэнсис (1989), K-теория, Advanced Book Classics (2-е изд.), Эддисон-Уэсли, ISBN 978-0-201-09394-0, МИСТЕР 1043170
Гриффитс, Филипп; Харрис, Джозеф (1994), Принципы алгебраической геометрии, Библиотека Wiley Classics, Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья, Дои:10.1002/9781118032527, ISBN 978-0-471-05059-9, МИСТЕР 1288523.
Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, МИСТЕР 0463157, OCLC 13348052.
[M + S] Джон Милнор и Джим Сташефф, Характерные классы, Принстон, 1974.
Рубей, Елена (2014), Алгебраическая геометрия, краткий словарь, Берлин / Бостон: Вальтер Де Грюйтер, ISBN 978-3-11-031622-3

[1] На некомпактной, но паракомпактной базе это остается верным при условии использования бесконечного грассманиана.

[2] В литературе и учебниках их часто называют каноническими генераторами.

[3] U открыто с грамм_п(р^п+k) задана топология такая, что
${ displaystyle G_ {n} ( mathbb {R} ^ {n + k}) to operatorname {End} ( mathbb {R} ^ {n + k}), , V mapsto p_ {V} ,}$
куда ${ displaystyle p_ {V}}$ ортогональная проекция на V, является гомеоморфизмом на образ.

[4] Примечание редакции: это определение отличается от Хартшорна тем, что он не использует двойственную формулу, но соответствует стандартной практике и другим частям Википедии.

[5] Милнор-Сташев, § 2. Теорема 2.1.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]