Расслоение Грассмана - Grassmann bundle

В алгебраической геометрии Грассманн d-самолет в комплекте векторного расслоения E на алгебраическая схема Икс это схема над Икс:

{ displaystyle p: G_ {d} (E) to X}

так что волокно ${ Displaystyle p ^ {- 1} (х) = G_ {d} (E_ {x})}$ это Грассманиан из d-мерные векторные подпространства ${ displaystyle E_ {x}}$ . Например, ${ Displaystyle G_ {1} (E) = mathbb {P} (E)}$ это проективный пучок из E. С другой стороны, расслоение Грассмана является частным случаем (частичного) пакет флагов. Конкретно, расслоение Грассмана можно построить как Схема котировки.

Как и обычный грассманиан, на грассмановом расслоении есть естественные векторные расслоения; а именно есть универсальные или тавтологическая подгруппа S и универсальное фактор-расслоение Q что вписывается в

{ displaystyle 0 to S to p ^ {*} E to Q to 0}

.

В частности, если V находится в волокне п⁻¹(Икс), то слой S над V является V сам; таким образом, S имеет звание р = rk (E) и ${ displaystyle wedge ^ {r} S}$ это детерминантный линейный пучок. Теперь по универсальному свойству проективного расслоения инъекция ${ Displaystyle клин ^ {г} S к р ^ {*} ( клин ^ {г} E)}$ соответствует морфизму над Икс:

{ Displaystyle G_ {d} (E) to mathbb {P} ( клин ^ {r} E)}

,

что не что иное, как семья Плюккеровские вложения.

В относительный касательный пучок Т_{грамм_d(E)/Икс} из грамм_d(E) дан кем-то^[1]

{ Displaystyle T_ {G_ {d} (E) / X} = operatorname {Hom} (S, Q) = S ^ { vee} otimes Q,}

что морально дано вторая основная форма. В случае d = 1, он задается следующим образом: если V - конечномерное векторное пространство, то для каждой строки ${ displaystyle l}$ в V проходя через начало координат (точку ${ Displaystyle mathbb {P} (V)}$ ), существует естественная идентификация (см. Класс Черна # Комплексное проективное пространство Например):

{ displaystyle operatorname {Hom} (l, V / l) = T_ {l} mathbb {P} (V)}

и вышеупомянутая версия этой идентификации является семейной. (Общая забота является обобщением этого.)

В случае d = 1, ранняя точная последовательность, тензорная двойственной к S = О(-1) дает:

{ displaystyle 0 to { mathcal {O}} _ { mathbb {P} (E)} to p ^ {*} E otimes { mathcal {O}} _ { mathbb {P} (E )} (1) to T _ { mathbb {P} (E) / X} to 0}

,

что является относительной версией Последовательность Эйлера.

Расслоение Грассмана - Grassmann bundle

Рекомендации