Проективный набор - Википедия - Projective bundle

В математика, а проективный пучок это пучок волокон чьи волокна проективные пространства.

По определению схема Икс по нётеровой схеме S это п^п-бандл, если он локально проективный п-Космос; т.е. ${ displaystyle X times _ {S} U simeq mathbb {P} _ {U} ^ {n}}$ и переходные автоморфизмы линейны. По обычной схеме S например, гладкий сорт, каждое проективное расслоение имеет вид ${ Displaystyle mathbb {P} (E)}$ для некоторого векторного расслоения (локально свободного пучка) E.^[1]

Проективное расслоение векторного расслоения

Каждый векторный набор через разнообразие Икс дает проективное расслоение, взяв проективные пространства слоев, но не все проективные расслоения возникают таким образом: существует препятствие в группа когомологий ЧАС²(Икс, О *).^{[требуется разъяснение ]} В частности, если Икс компактная риманова поверхность, препятствие обращается в нуль, т.е. ЧАС²(Икс, О *) = 0.

Проективное расслоение векторного расслоения E то же самое, что и Расслоение Грассмана ${ displaystyle G_ {1} (E)}$ 1-самолетов в E.

Проективное расслоение п(E) векторного расслоения E характеризуется универсальным свойством, которое гласит:^[2]

Учитывая морфизм ж: Т → Икс, разложить на множители ж через карту проекции п: п(E) → Икс - указать подгруппу строк ж^*E.

Например, взяв ж быть п, получается подгруппа строк О(-1) из п^*E, называется пучок тавтологических линий на п(E). Более того, это О(-1) - это универсальный комплект в том смысле, что когда линейный пучок L дает факторизацию ж = п ∘ грамм, L это откат О(-1) вместе грамм. Смотрите также Конус #О(1) для более явного построения О(-1).

На п(E) существует естественная точная последовательность (называемая тавтологической точной последовательностью):

${ displaystyle 0 to { mathcal {O}} _ { mathbf {P} (E)} (- 1) to p ^ {*} E to Q to 0}$

куда Q называется тавтологическим фактор-расслоением.

Позволять E ⊂ F - векторные расслоения (локально свободные пучки конечного ранга) на Икс и грамм = F/E. Позволять q: п(F) → Икс быть проекцией. Тогда естественная карта О(-1) → q^*F → q^*грамм это глобальный раздел связка хом Hom (О(-1), q^*G) = q^* грамм ⊗ О(1). Более того, это естественное отображение исчезает в точке точно тогда, когда точка является линией в E; другими словами, геометрическое место нуля этого раздела п(E).

Особенно полезный пример этой конструкции - когда F прямая сумма E ⊕ 1 из E и тривиальное линейное расслоение (т. е. структурный пучок). потом п(E) является гиперплоскостью в п(E ⊕ 1), называемая гиперплоскостью на бесконечности, и дополнением к п(E) можно отождествить с E. Таким образом, п(E ⊕ 1) называется проективным завершением (или «компактификацией») E.

Проективное расслоение п(E) устойчив к скручиванию E линейной связкой; точно, учитывая линейный пучок L, существует естественный изоморфизм:

${ displaystyle g: mathbf {P} (E) { overset { sim} { to}} mathbf {P} (E otimes L)}$

такой, что ${ displaystyle g ^ {*} ({ mathcal {O}} (- 1)) simeq { mathcal {O}} (- 1) otimes p ^ {*} L.}$^[3] (Фактически, получается грамм универсальным свойством, примененным к линейному пучку справа.)

Примеры

Многие нетривиальные примеры проективных расслоений можно найти с помощью расслоений над ${ Displaystyle mathbb {P} ^ {1}}$ Такие как Расслоения Лефшеца. Например, эллиптический K3 поверхность ${ displaystyle X}$ является поверхностью K3 с расслоением

${ displaystyle pi: X to mathbb {P} ^ {1}}$

так что волокна ${ displaystyle E_ {p}}$ за ${ displaystyle p in mathbb {P} ^ {1}}$ в общем случае являются эллиптическими кривыми. Поскольку каждая эллиптическая кривая является кривой рода 1 с выделенной точкой, существует глобальное сечение расслоения. Из-за этого глобального раздела существует модель ${ displaystyle X}$ дающий морфизм проективному расслоению^[4]

${ displaystyle X to mathbb {P} ({ mathcal {O}} _ { mathbb {P} ^ {1}} (4) oplus { mathcal {O}} (6) _ { mathbb {P} ^ {1}} oplus { mathcal {O}} _ { mathbb {P} ^ {1}})}$

определяется Уравнение Вейерштрасса

${ displaystyle y ^ {2} z + a_ {1} xyz + a_ {3} yz ^ {2} = x ^ {3} + a_ {2} x ^ {2} z + a_ {4} xz ^ { 2} + a_ {6} z ^ {3}}$

куда ${ displaystyle x, y, z}$ представляют локальные координаты ${ displaystyle { mathcal {O}} _ { mathbb {P} ^ {1}} (4), { mathcal {O}} (6) _ { mathbb {P} ^ {1}}, { mathcal {O}} _ { mathbb {P} ^ {1}}}$соответственно, а коэффициенты

${ displaystyle a_ {i} in H ^ {0} ( mathbb {P} ^ {1}, { mathcal {O}} _ { mathbb {P} ^ {1}} (2i))}$

секции связки на ${ Displaystyle mathbb {P} ^ {1}}$. Обратите внимание, что это уравнение хорошо определено, потому что каждый член в уравнении Вейерштрауса имеет общую степень ${ displaystyle 12}$ (означает степень коэффициента плюс степень монома. Например, ${ displaystyle { text {deg}} (a_ {1} xyz) = 2 + (4 + 6 + 0) = 12}$).

Кольцо когомологий и группа Чоу

Позволять Икс - комплексное гладкое проективное многообразие и E комплексное векторное расслоение ранга р в теме. Позволять п: п(E) → Икс - проективное расслоение E. Затем кольцо когомологий ЧАС^*(п(E)) является алгебра над ЧАС^*(Икс) через откат п^*. Тогда первый Черн класс ζ = c₁(О(1)) порождает H^*(п(E)) с соотношением

${ Displaystyle zeta ^ {r} + c_ {1} (E) zeta ^ {r-1} + cdots + c_ {r} (E) = 0}$

куда c_я(E) это я-й класс Черна E. Одна интересная особенность этого описания заключается в том, что можно определять Классы Черна как коэффициенты в отношении; это подход, принятый Гротендиком.

Для полей, отличных от сложного поля, то же описание остается верным с Кольцо для чау-чау вместо кольца когомологий (все еще предполагая Икс гладкая). В частности, для групп Чжоу существует разложение в прямую сумму

${ displaystyle A_ {k} ( mathbf {P} (E)) = bigoplus _ {i = 0} ^ {r-1} zeta ^ {i} A_ {k-r + 1 + i} (X ).}$

Как оказалось, это разложение остается в силе, даже если Икс не является гладким или проективным.^[5] В отличие, А_k(E) = А_k-р(Икс) через Гомоморфизм Гизина, морально потому, что волокна E, векторные пространства стягиваемы.

Смотрите также

• Строительство проекта
• конус (алгебраическая геометрия)
• линейчатая поверхность (пример проективного расслоения)
• Сорт Севери – Брауэра
• Поверхность Хирцебруха

Рекомендации

• Elencwajg, G .; Нарасимхан, М. С. (1983), "Проективные расслоения на комплексном торе", Журнал für die reine und angewandte Mathematik, 1983 (340): 1–5, Дои:10.1515 / crll.1983.340.1, ISSN  0075-4102, МИСТЕР  0691957, S2CID  122557310
• Уильям Фултон. (1998), Теория пересечения, Ergebnisse der Mathematik и ихрер Гренцгебиете. 3. Folge., 2 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-62046-4, МИСТЕР  1644323
• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия, Тексты для выпускников по математике, 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90244-9, МИСТЕР  0463157