Поверхность Хирцебруха - Hirzebruch surface

В математике Поверхность Хирцебруха это линейчатая поверхность над проективная линия. Их изучили Фридрих Хирцебрух  (1951 ).

Определение

Поверхность Хирцебруха ${ displaystyle Sigma _ {n}}$ это ${ Displaystyle mathbb {P} ^ {1}}$-бандл, называемый Проективное расслоение, над ${ Displaystyle mathbb {P} ^ {1}}$ связаны с пучок

${ displaystyle { mathcal {O}} oplus { mathcal {O}} (- n).}$

Обозначения здесь означают: ${ Displaystyle { mathcal {O}} (п)}$ это п-я тензорная степень Крученая связка Серра ${ Displaystyle { mathcal {O}} (1)}$, то обратимая связка или же линейный пакет с ассоциированным Делитель Картье единственная точка. Поверхность ${ displaystyle Sigma _ {0}}$ изоморфен п¹ × п¹, и ${ displaystyle Sigma _ {1}}$ изоморфен п² взорван в точке, поэтому не минимален.

Фактор GIT

Один из способов построения поверхности Хирцебруха - использование Фактор GIT^[1]стр.21

${ Displaystyle Sigma _ {n} = ( mathbb {C} ^ {2} - {0 }) times ( mathbb {C} ^ {2} - {0 }) / ( mathbb {C} ^ {*} times mathbb {C} ^ {*})}$

где действие ${ Displaystyle mathbb {C} ^ {*} times mathbb {C} ^ {*}}$ дан кем-то

${ displaystyle ( lambda, mu) cdot (l_ {0}, l_ {1}, t_ {0}, t_ {1}) = ( lambda l_ {0}, lambda l_ {1}, mu t_ {0}, lambda ^ {- n} mu t_ {1})}$

Это действие можно интерпретировать как действие ${ displaystyle lambda}$ на первые два фактора происходит от действия ${ displaystyle mathbb {C} ^ {*}}$ на ${ Displaystyle mathbb {C} ^ {2} - {0 }}$ определение ${ Displaystyle mathbb {P} ^ {1}}$, а второе действие представляет собой комбинацию построения прямой суммы линейных расслоений на ${ Displaystyle mathbb {P} ^ {1}}$ и их проективизация. На прямую сумму ${ Displaystyle { mathcal {O}} oplus { mathcal {O}} (- п)}$ это может быть дано фактормногообразием^[1]стр.24

${ displaystyle { mathcal {O}} oplus { mathcal {O}} (- n) = ( mathbb {C} ^ {2} - {0 }) times mathbb {C} ^ { 2} / mathbb {C} ^ {*}}$

где действие ${ displaystyle mathbb {C} ^ {*}}$ дан кем-то

${ displaystyle lambda cdot (l_ {0}, l_ {1}, t_ {0}, t_ {1}) = ( lambda l_ {0}, lambda l_ {1}, lambda ^ {a} t_ {0}, lambda ^ {0} t_ {1} = t_ {1})}$

Тогда проективизация ${ Displaystyle mathbb {P} ({ mathcal {O}} oplus { mathcal {O}} (- п))}$ дается другим ${ displaystyle mathbb {C} ^ {*}}$-действие^[1]стр.22 отправка класса эквивалентности ${ displaystyle [l_ {0}, l_ {1}, t_ {0}, t_ {1}] in { mathcal {O}} oplus { mathcal {O}} (- n)}$ к

${ displaystyle mu cdot [l_ {0}, l_ {1}, t_ {0}, t_ {1}] = [l_ {0}, l_ {1}, mu t_ {0}, mu t_ {1}]}$

Объединение этих двух действий дает исходное частное наверху.

Карты переходов

Один из способов построить это ${ Displaystyle mathbb {P} ^ {1}}$-bundle - это использование функций перехода. Поскольку аффинные векторные расслоения обязательно тривиальны, над картами ${ displaystyle U_ {0}, U_ {1}}$ из ${ Displaystyle mathbb {P} ^ {1}}$ определяется ${ displaystyle x_ {i} neq 0}$ есть локальная модель бандла

${ Displaystyle U_ {я} раз mathbb {P} ^ {1}}$

Тогда карты переходов, индуцированные из отображений переходов ${ Displaystyle { mathcal {O}} oplus { mathcal {O}} (- п)}$ дать карту

${ Displaystyle U_ {0} times mathbb {P} ^ {1} | _ {U_ {1}} to U_ {1} times mathbb {P} ^ {1} | _ {U_ {0} }}$

отправка

${ displaystyle (X_ {0}, [y_ {0}: y_ {1}]) mapsto (X_ {1}, [y_ {0}: x_ {0} ^ {n} y_ {0}])}$

куда ${ displaystyle X_ {i}}$ - аффинная координатная функция на ${ displaystyle U_ {i}}$.^[2]

Характеристики

Проективные расслоения ранга 2 над P¹

Отметим, что проективное расслоение

${ Displaystyle { mathcal {O}} (а) oplus { mathcal {O}} (б)}$

эквивалентно поверхности Хирцебруха, поскольку проективные расслоения инвариантны после тензорного линейного расслоения.^[3] В частности, это связано с поверхностью Хирцебруха ${ displaystyle Sigma _ {b-a}}$ поскольку этот пучок может быть подвергнут тензору линейным пучком ${ Displaystyle { mathcal {O}} (- а)}$.

Изоморфизмы поверхностей Хирцебруха

В частности, это наблюдение дает изоморфизм между ${ displaystyle Sigma _ {n}}$ и ${ displaystyle Sigma _ {- n}}$ поскольку существует изоморфизм векторных расслоений

${ displaystyle { mathcal {O}} (n) otimes ({ mathcal {O}} oplus { mathcal {O}} (- n)) cong { mathcal {O}} (n) oplus { mathcal {O}}}$

Анализ ассоциированной симметрической алгебры

Напомним, что проективные расслоения можно построить, используя Относительный проект, который формируется из градуированного пучка алгебр

${ displaystyle bigoplus _ {я = 0} ^ { infty} operatorname {Sym} ^ {i} ({ mathcal {O}} oplus { mathcal {O}} (- n))}$

Первые несколько симметричных модулей являются особенными, поскольку существует нетривиальная антисимметричная ${ displaystyle operatorname {Alt} ^ {2}}$-модуль ${ Displaystyle { mathcal {O}} otimes { mathcal {O}} (- п)}$. Эти связки сведены в таблицу.

${ displaystyle { begin {align} operatorname {Sym} ^ {0} ({ mathcal {O}} oplus { mathcal {O}} (- n)) & = { mathcal {O}} operatorname {Sym} ^ {1} ({ mathcal {O}} oplus { mathcal {O}} (- n)) & = { mathcal {O}} oplus { mathcal {O}} (-n) имя оператора {Sym} ^ {2} ({ mathcal {O}} oplus { mathcal {O}} (- n)) & = { mathcal {O}} oplus { mathcal {O}} (- 2n) end {выровненный}}}$

За ${ displaystyle i> 2}$ симметричные пучки задаются формулами

${ displaystyle { begin {align} operatorname {Sym} ^ {k} ({ mathcal {O}} oplus { mathcal {O}} (- n)) & = bigoplus _ {i = 0} ^ {k} { mathcal {O}} ^ { otimes (ni)} otimes { mathcal {O}} (- in) & cong { mathcal {O}} oplus { mathcal { O}} (- n) oplus cdots oplus { mathcal {O}} (- kn) end {align}}}$

Характеристики

Поверхности Хирцебруха для п > 0 есть особые рациональная кривая C на них: поверхность - это проективное расслоение О(−п) и кривая C это нулевой участок. Эта кривая число самопересечения −п, и является единственной неприводимой кривой с отрицательным числом самопересечения. Единственные неприводимые кривые с нулевым числом самопересечения - это слои поверхности Хирцебруха (рассматриваемой как расслоение над п¹). В Группа Пикард порождается кривой C и один из слоев, и эти образующие пересекаются матрица

${ displaystyle { begin {bmatrix} 0 & 1 1 & -n end {bmatrix}},}$

Таким образом, билинейная форма является двумерной унимодулярной и является четной или нечетной в зависимости от того, п четное или нечетное.

Поверхность Хирцебруха Σ_п (п > 1) взорван в точке особой кривой C изоморфна Σ_п+1 взорван в точке не на специальной кривой.

Смотрите также

• Проективное расслоение

Рекомендации

• Barth, Wolf P .; Хулек, Клаус; Питерс, Крис А.М .; Ван де Вен, Антониус (2004), Компактные сложные поверхности, Ergebnisse der Mathematik и ихрер Гренцгебиете. 3. Folge., 4, Springer-Verlag, Берлин, ISBN  978-3-540-00832-3, МИСТЕР  2030225
• Бовиль, Арно (1996), Комплексные алгебраические поверхности, Студенческие тексты Лондонского математического общества, 34 (2-е изд.), Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-49510-3, МИСТЕР1406314
• Хирцебрух, Фридрих (1951), "Über eine Klasse von einfachzusammenhängenden komplexen Mannigfaltigkeiten", Mathematische Annalen, 124: 77–86, Дои:10.1007 / BF01343552, HDL:21.11116 / 0000-0004-3A56-B, ISSN  0025-5831, МИСТЕР  0045384, S2CID  122844063

внешняя ссылка

• Манифольд Атлас
• https://www.mathematik.uni-kl.de/~gathmann/class/alggeom-2002/alggeom-2002-c10.pdf
• https://mathoverflow.net/q/122952