Последовательность Эйлера - Euler sequence

В математика, то Последовательность Эйлера особый точная последовательность из снопы на п-размерный проективное пространство через звенеть. Это показывает, что связка относительных дифференциалов является стабильно изоморфный для (п + 1) -кратная сумма двойственного к Серру скручивающаяся связка.

Последовательность Эйлера обобщается на последовательность проективный пучок также как и Расслоение Грассмана (см. последнюю статью для этого обобщения.)

Заявление

За А кольцо, существует точная последовательность пучков

Это можно доказать, определив гомоморфизм с и в степени 1, сюръективно в степенях и проверяя это локально на п + 1 стандартных карт ядро ​​изоморфно относительному дифференциальному модулю.[1]

Геометрическая интерпретация

Мы предполагаем, что А это поле k.

Приведенная выше точная последовательность эквивалентна последовательности

,

где последний ненулевой член - это касательная связка.

Мы считаем V а п + 1 размерный векторное пространство над k , и объясните точную последовательность

Эту последовательность легче всего понять, если интерпретировать центральный член как пучок 1-однородных векторные поля в векторном пространстве V. Существует замечательный участок этого пучка - Векторное поле Эйлера, тавтологически определяемая путем сопоставления точке векторного пространства тождественно ассоциированного касательного вектора (т.е. сама: это карта идентичности, рассматриваемая как векторное поле).

Это векторное поле является радиальным в том смысле, что оно равномерно обращается в нуль на 0-однородных функциях, то есть на функциях, которые инвариантны при гомотетическом масштабировании, илине зависит от радиальной координаты".

Функция (определенная на некотором открытом множестве) на приводит к 0-однородной функции на V (снова частично определено). Мы получаем 1-однородные векторные поля, умножая векторное поле Эйлера на такие функции. Это определение первого отображения, и его инъективность очевидна.

Вторая карта связана с понятием деривации, эквивалентным понятию векторного поля. Вспомните, что векторное поле на открытом множестве U проективного пространства можно определить как производную от функций, определенных на этом открытом множестве. Втянут обратно V, это эквивалентно выводу по прообразу U сохраняющий 0-однородные функции. любое векторное поле на Таким образом, можно получить, и дефект инъективности этого отображения состоит как раз из радиальных векторных полей.

Таким образом, мы видим, что ядро ​​второго морфизма идентифицируется с диапазоном действия первого.

Каноническое линейное расслоение проективных пространств

Взяв наивысший внешняя сила, видно, что каноническая связка из проективное пространство дан кем-то

.

В частности, проективные пространства Разновидности Фано, поскольку каноническое расслоение анти-обильный и этот линейный пучок не имеет ненулевых глобальных секций, поэтому геометрический род равно 0. Это можно найти, посмотрев на последовательность Эйлера и подставив ее в формулу определителя

[2]

для любой короткой точной последовательности формы .

Классы Черна

Последовательность Эйлера может использоваться для вычисления Классы Черна проективного пространства. Напомним, что для короткой точной последовательности когерентных пучков

мы можем вычислить полный класс Черна с формулой.[3] Например, на мы нашли

[4]

куда представляет класс гиперплоскости в чау-ринге . Используя точную последовательность

[5]

мы снова можем использовать формулу полного класса Черна, чтобы найти

поскольку нам нужно инвертировать многочлен в знаменателе, это эквивалентно нахождению степенного ряда такой, что .

Примечания

  1. ^ Теорема II.8.13 в Хартсхорн 1977
  2. ^ Вакил, Рави. Восходящее море (PDF). 386. Архивировано с оригинал (PDF) на 2019-11-30.CS1 maint: location (связь)
  3. ^ «3264 и все такое» (PDF). п. 169.
  4. ^ Обратите внимание, что в ринге для еды по соображениям габаритов.
  5. ^ Арапура, Дону. «Вычисление некоторых чисел Ходжа» (PDF). В архиве (PDF) из оригинала на 1 февраля 2020 г.

Рекомендации