Схема котировки - Quot scheme

В алгебраическая геометрия, то Схема котировки - схема, параметризующая локально свободные пучки на проективная схема. В частности, если Икс является проективной схемой над нётеровой схемой S и если F это связный пучок на Икс, то есть схема ${ displaystyle operatorname {Quot} _ {F} (X)}$ чей набор Т-точки ${ displaystyle operatorname {Quot} _ {F} (X) (T) = operatorname {Mor} _ {S} (T, operatorname {Quot} _ {F} (X))}$ - множество классов изоморфизма частные из ${ displaystyle F times _ {S} T}$ которые плоские Т. Это понятие было введено Александр Гротендик.^[1]

Обычно он используется для построения другой схемы, параметризации представляющих интерес геометрических объектов, таких как Схема гильберта. (Фактически, принимая F быть структурным пучком ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X}}$ дает схему Гильберта.)

Определение

Для схема конечного типа ${ displaystyle X to S}$ через Нётерян базовая схема ${ displaystyle S}$ , а связный пучок ${ displaystyle { mathcal {E}} in { text {Coh}} (X)}$ , есть функтор^[2]

${ displaystyle { mathcal {Quot}} _ {{ mathcal {E}} / X / S} :( Sch / S) ^ {op} to { text {Sets}}}$

отправка ${ displaystyle T to S}$ к

${ displaystyle { mathcal {Quot}} _ {{ mathcal {E}} / X / S} (T) = left {({ mathcal {F}}, q): { begin {matrix} { mathcal {F}} in { text {Coh}} (X_ {T}) { text {Supp}} ({ mathcal {F}}) { text {правильное наложение}} T { mathcal {F}} { text {плоский поверх}} T q: { mathcal {E}} _ {T} to { mathcal {F}} { text {surjective}} end {matrix}} right } / sim}$

куда ${ Displaystyle X_ {T} = X times _ {S} T}$ и ${ Displaystyle { mathcal {E}} _ {T} = pr_ {X} ^ {*} { mathcal {E}}}$ под проекцией ${ displaystyle pr_ {X}: X_ {T} to X}$ . Существует отношение эквивалентности, заданное формулой ${ Displaystyle ({ mathcal {F}}, q) sim ({ mathcal {F}} ', q')}$ если есть изоморфизм ${ displaystyle { mathcal {F}} to { mathcal {F}} ''}$ коммутируя с двумя проекциями ${ displaystyle q, q '}$ ; то есть,

${ displaystyle { begin {matrix} { mathcal {E}} _ {T} & { xrightarrow {q}} & { mathcal {F}} downarrow {} && downarrow { mathcal {E}} _ {T} & { xrightarrow {q '}} & { mathcal {F}}' end {matrix}}}$

коммутативная диаграмма для ${ displaystyle { mathcal {E}} _ {T} { xrightarrow {id}} { mathcal {E}} _ {T}}$ . В качестве альтернативы существует эквивалентное условие удержания ${ displaystyle { text {ker}} (q) = { text {ker}} (q ')}$ . Это называется quot функтор которое имеет естественное расслоение на несвязное объединение подфункторов, каждый из которых представлен проективным ${ displaystyle S}$ -схема называется схема цитаты связанный с полиномом Гильберта ${ displaystyle Phi}$ .

Полином Гильберта

В течение относительно очень обильный линейный пакет ${ displaystyle { mathcal {L}} in { text {Pic}} (X)}$ ^[3] и любая закрытая точка ${ displaystyle s in S}$ есть функция ${ Displaystyle phi: mathbb {N} to mathbb {N}}$ отправка

${ displaystyle m mapsto chi ({ mathcal {F}} _ {s} (m)) = sum _ {i = 0} ^ {n} (- 1) ^ {i} { text {dim }} _ { kappa (s)} H ^ {i} (X, { mathcal {F}} _ {s} otimes { mathcal {L}} _ {s} ^ { otimes m})}$

который является полиномом для ${ displaystyle m >> 0}$ . Это называется Полином Гильберта что дает естественную стратификацию функтора quot. Опять же, для ${ Displaystyle { mathcal {L}}}$ фиксировано несвязное объединение подфункторов

${ displaystyle { mathcal {Quot}} _ {{ mathcal {E}} / X / S} = coprod _ { Phi in mathbb {Q} [ lambda]} { mathcal {Quot}} _ {{ mathcal {E}} / X / S} ^ { Phi, { mathcal {L}}}}$

куда

${ displaystyle { mathcal {Quot}} _ {{ mathcal {E}} / X / S} ^ { Phi, { mathcal {L}}} (T) = left {({ mathcal { F}}, q) in { mathcal {Quot}} _ {{ mathcal {E}} / X / S} (T): Phi _ { mathcal {F}} = Phi right } }$

Полином Гильберта ${ displaystyle Phi _ { mathcal {F}}}$ - многочлен Гильберта от ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {t}}$ для закрытых точек ${ displaystyle t in T}$ . Обратите внимание, что полином Гильберта не зависит от выбора очень обильного линейного расслоения. ${ Displaystyle { mathcal {L}}}$ .

Теорема существования Гротендика

Теорема Гротендика состоит в том, что функторы ${ displaystyle { mathcal {Quot}} _ {{ mathcal {E}} / X / S} ^ { Phi, { mathcal {L}}}}$ все представимы проективными схемами ${ displaystyle { text {Quot}} _ {{ mathcal {E}} / X / S} ^ { Phi}}$ над ${ displaystyle S}$ .

Примеры

Грассманиан

Грассманиан ${ Displaystyle G (п, к)}$ из ${ displaystyle k}$ -самолеты в ${ displaystyle n}$ -мерное векторное пространство имеет универсальный фактор

${ displaystyle { mathcal {O}} _ {G (n, k)} ^ { oplus k} to { mathcal {U}}}$

куда ${ displaystyle { mathcal {U}} _ {x}}$ это ${ displaystyle k}$ -самолет представлен ${ Displaystyle х в G (п, к)}$ . С ${ displaystyle { mathcal {U}}}$ локально свободен и в каждой точке представляет собой ${ displaystyle k}$ -плоскость имеет постоянный многочлен Гильберта ${ Displaystyle Фи ( лямбда) = к}$ . Это показывает ${ Displaystyle G (п, к)}$ представляет собой функтор quot

${ displaystyle { mathcal {Quot}} _ {{ mathcal {O}} _ {G (n, k)} ^ { oplus (n)} / { text {Spec}} ( mathbb {Z} ) / { text {Spec}} ( mathbb {Z})} ^ {k, { mathcal {O}} _ {G (n, k)}}}$

Схема гильберта

Схема Гильберта - частный пример схемы quot. Обратите внимание на подсхему ${ Displaystyle Z подмножество X}$ может быть дан как проекция

${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X} to { mathcal {O}} _ {Z}}$

и плоское семейство таких проекций, параметризованное схемой ${ displaystyle T in Sch / S}$ может быть дан

${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X_ {T}} to { mathcal {F}}}$

Поскольку существует многочлен Гильберта, связанный с ${ displaystyle Z}$ , обозначенный ${ displaystyle Phi _ {Z}}$ , существует изоморфизм схем

${ displaystyle { text {Quot}} _ {{ mathcal {O}} _ {X} / X / S} ^ { Phi _ {Z}} cong { text {Hilb}} _ {X / S} ^ { Phi _ {Z}}}$

Пример параметризации

Если ${ Displaystyle X = mathbb {P} _ {k} ^ {n}}$ и ${ Displaystyle S = { текст {Spec}} (к)}$ для алгебраически замкнутого поля ненулевое сечение ${ Displaystyle s in Gamma ({ mathcal {O}} (d))}$ имеет исчезающий локус ${ Displaystyle Z = Z (s)}$ с полиномом Гильберта

${ displaystyle Phi _ {Z} ( lambda) = { binom {n + lambda} {n}} - { binom {n-d + lambda} {n}}}$

Тогда есть сюрприз

${ displaystyle { mathcal {O}} to { mathcal {O}} _ {Z}}$

с ядром ${ displaystyle { mathcal {O}} (- d)}$ . С ${ displaystyle s}$ было произвольным ненулевым сечением, а геометрическое место исчезновения ${ displaystyle a cdot s}$ за ${ Displaystyle а в к ^ {*}}$ дает то же место исчезновения, схема ${ Displaystyle Q = mathbb {P} ( Gamma ({ mathcal {O}} (d)))}$ дает естественную параметризацию всех таких секций. Есть связка ${ displaystyle { mathcal {E}}}$ на ${ Displaystyle X раз Q}$ такой, что для любого ${ displaystyle [s] in Q}$ , существует связанная подсхема ${ Displaystyle Z подмножество X}$ и сюрприз ${ displaystyle { mathcal {O}} to { mathcal {O}} _ {Z}}$ . Эта конструкция представляет собой функтор quot

${ displaystyle { mathcal {Quot}} _ {{ mathcal {O}} / mathbb {P} ^ {n} / { text {Spec}} (k)} ^ { Phi _ {Z}} }$

Квадрики в проективной плоскости

Если ${ Displaystyle X = mathbb {P} ^ {2}}$ и ${ Displaystyle s in Gamma ({ mathcal {O}} (2))}$ , многочлен Гильберта равен

${ displaystyle { begin {align} Phi _ {Z} ( lambda) & = { binom {2+ lambda} {2}} - { binom {2-2 + lambda} {2}} & = { frac {( lambda +2) ( lambda +1)} {2}} - { frac { lambda ( lambda -1)} {2}} & = { frac { lambda ^ {2} +3 lambda +2} {2}} - { frac { lambda ^ {2} - lambda} {2}} & = { frac {2 lambda +2 } {2}} & = лямбда +1 конец {выровнено}}}$

и

${ displaystyle { text {Quot}} _ { mathcal {O}} / mathbb {P} ^ {2} / { text {Spec}} (k)} ^ { lambda +1} cong mathbb {P} ( Gamma ({ mathcal {O}} (2))) cong mathbb {P} ^ {5}}$

Универсальное частное по ${ Displaystyle mathbb {P} ^ {5} times mathbb {P} ^ {2}}$ дан кем-то

${ displaystyle { mathcal {O}} to { mathcal {U}}}$

где слой над точкой ${ displaystyle [Z] in { text {Quot}} _ {{ mathcal {O}} / mathbb {P} ^ {2} / { text {Spec}} (k)} ^ { lambda +1}}$ дает проективный морфизм

${ displaystyle { mathcal {O}} to { mathcal {O}} _ {Z}}$

Например, если ${ displaystyle [Z] = [a_ {0}: a_ {1}: a_ {2}: a_ {3}: a_ {4}: a_ {5}]}$ представляет собой коэффициенты при

${ displaystyle f = a_ {0} x ^ {2} + a_ {1} xy + a_ {2} xz + a_ {3} y ^ {2} + a_ {4} yz + a_ {5} z ^ { 2}}$

тогда универсальное частное по ${ displaystyle [Z]}$ дает короткую точную последовательность

${ displaystyle 0 to { mathcal {O}} (- 2) { xrightarrow {f}} { mathcal {O}} to { mathcal {O}} _ {Z} to 0}$

Полустабильные векторные расслоения на кривой

Полустабильные векторные расслоения на кривой ${ displaystyle C}$ рода ${ displaystyle g}$ эквивалентно описываются как локально свободные пучки конечного ранга. Такие локально свободные связки ${ Displaystyle { mathcal {F}}}$ ранга ${ displaystyle n}$ и степень ${ displaystyle d}$ иметь свойства^[4]

${ Displaystyle Н ^ {1} (С, { mathcal {F}}) = 0}$
${ Displaystyle { mathcal {F}}}$ генерируется глобальными секциями

за ${ Displaystyle d> п (2g-1)}$ . Это означает, что есть сюрприз

${ displaystyle H ^ {0} (C, { mathcal {F}}) otimes { mathcal {O}} _ {C} cong { mathcal {O}} _ {C} ^ { oplus N } to { mathcal {F}}}$

Тогда схема квотирования ${ Displaystyle { mathcal {Quot}} _ {{ mathcal {O}} _ {C} ^ { oplus N} / { mathcal {C}} / mathbb {Z}}}$ параметризует все такие сюрпризы. С использованием Теорема Гротендика – Римана – Роха. измерение ${ displaystyle N}$ равно

${ Displaystyle чи ({ mathcal {F}}) = d + N (1-g)}$

Для пакета фиксированной связи ${ Displaystyle { mathcal {L}}}$ степени ${ displaystyle 1}$ есть скручивание ${ displaystyle { mathcal {F}} (m) = { mathcal {F}} otimes { mathcal {L}} ^ { otimes m}}$ , сдвигая градус на ${ displaystyle nm}$ , так

${ Displaystyle чи ({ mathcal {F}} (м)) = мн + д + п (1-г)}$ ^[4]

давая полином Гильберта

${ displaystyle Phi _ { mathcal {F}} ( lambda) = n lambda + d + n (1-g)}$

Тогда геометрическое место полустабильных векторных расслоений содержится в

${ displaystyle { mathcal {Quot}} _ {{ mathcal {O}} _ {C} ^ { oplus N} / { mathcal {C}} / mathbb {Z}} ^ { Phi _ { mathcal {F}}, { mathcal {L}}}}$

которое можно использовать для построения пространства модулей ${ Displaystyle { mathcal {M}} _ {C} (п, d)}$ полустабильных векторных расслоений с помощью Фактор GIT.^[4]