Плоский морфизм - Flat morphism

В математика, в частности в теории схемы в алгебраическая геометрия, а плоский морфизм ж из схемы Икс к схеме Y - морфизм такой, что индуцированное отображение на каждом стебель - плоское отображение колец, т. е.

это плоская карта для всех п в Икс.[1] Карта колец АB называется плоский если это гомоморфизм, который делает B а плоский А-модуль. Морфизм схем называется точно плоский если он одновременно сюръективный и плоский.[2]

Две основные интуиции относительно плоских морфизмов:

  • плоскостность - это родовое свойство; и
  • нарушение плоскостности происходит на прыгающей установке морфизма.

Первый из них исходит от коммутативная алгебра: при условии некоторых условия конечности на ж, можно показать, что существует непустая открытая подсхема Y' из Y, так что ж ограниченный Y′ - плоский морфизм (общая плоскостность ). Здесь «ограничение» интерпретируется с помощью волокнистое изделие схем, применительно к ж и карта включения из Y' в Y.

Во-вторых, идея состоит в том, что морфизмы в алгебраической геометрии могут демонстрировать разрывы такого рода, которые обнаруживаются по плоскостности. Например, операция дует в бирациональная геометрия из алгебраическая поверхность, может дать сингл волокно то есть размерности 1, когда все остальные имеют размерность 0. Оказывается (ретроспективно), что плоскостность морфизмов напрямую связана с контролем этого вида полунепрерывность, или односторонний прыжок.

Плоские морфизмы используются для определения (более одной версии) плоские топы, и плоские когомологии связок из него. Это глубокая теория, с которой нелегко справиться. Концепция чего-либо этальный морфизм (и так этальные когомологии ) зависит от концепции плоского морфизма: этальный морфизм является плоским, конечным типом и неразветвленный.

Примеры / не примеры

Рассмотрим аффинную схему

индуцированный очевидным морфизмом алгебр

Поскольку доказательство плоскостности этого морфизма сводится к вычислению[3]

мы разрешаем комплексные числа

а тензор - модулем, представляющим нашу схему, дающую последовательность -модули

Потому что т это не делитель нуля у нас есть тривиальное ядро, поэтому группа гомологий равна нулю.

Другие примеры плоских морфизмов можно найти с помощью «чудо-плоскостности».[4] в котором говорится, что если у вас есть морфизм между схемой когена-маколея и регулярной схемой с равноразмерными волокнами, то она плоская. Простые примеры этого: эллиптические расслоения, гладкие морфизмы и морфизмы в стратифицированные сорта которые удовлетворяют чудо-плоскостности на каждом из слоев.

Простой не пример плоского морфизма: Это потому, что если мы вычислим мы должны принять плоское разрешение k,

и тензорное разрешение с k, мы находим, что

показывая, что морфизм не может быть плоским. Другой не пример плоского морфизма - это Взрывать поскольку плоский морфизм обязательно имеет равномерные слои.

Свойства плоских морфизмов

Позволять ж : ИксY быть морфизмом схем. Для морфизма грамм : Y′ → Y, позволять Икс′ = Икс ×Y Y и ж′ = (ж, 1Y) : Икс′ → Y. ж плоский тогда и только тогда, когда для каждого грамм, откат является точным функтором из категории квазикогерентных -модули в категорию квазикогерентных -модули.[5]

Предполагать ж : ИксY и грамм : YZ морфизмы схем и ж квартира на Икс в Икс. потом грамм квартира на ж(Икс) если и только если gf квартира на Икс.[6] В частности, если ж точно плоский, то грамм плоский или точно плоский тогда и только тогда, когда gf плоский или точно плоский соответственно.[7]

Основные свойства

  • Композиция двух плоских морфизмов плоская.[8]
  • Послойное произведение двух плоских или строго плоских морфизмов является соответственно плоским или строго плоским морфизмом.[9]
  • Плоскостность и точная плоскостность сохраняются за счет изменения базы: если ж плоский или точно плоский и грамм : Y′ → Y, то волокнистый продукт ж × грамм : Икс ×Y Y′ → Y плоский или точно плоский соответственно.[10]
  • Множество точек, где морфизм (локально конечного представления) плоский, открыто.[11]
  • Если ж точно плоский и конечного представления, и если gf конечного типа или конечного представления, то грамм имеет конечный тип или конечное представление соответственно.[12]

Предполагать ж: ИксY плоский морфизм схем.

  • Если F является квазикогерентным пучком конечного представления на Y (в частности, если F когерентно), а если J является аннигилятором F на Y, тогда , откат карты включения, является инъекцией, а изображение в является аннигилятором на Икс.[13]
  • Если ж точно плоский и если грамм является квазикогерентным -module, затем карта отката в глобальных разделах инъективно.[14]

Предполагать час : S′ → S плоский. Позволять Икс и Y быть S-схемы, и пусть Икс' и Y′ Быть их базовым изменением на час.

  • Если ж : ИксY квазикомпактен и доминантен, то его замена базы ж′ : Икс′ → Y квазикомпактный и доминирующий.[15]
  • Если час точно плоский, то карта отката HomS(Икс, Y) → HomS(Икс′, Y′) инъективно.[16]
  • Предполагать ж : ИксY квазикомпактен и квази разделен. Позволять Z быть закрытым образом Икс, и разреши j : ZY быть канонической инъекцией. Тогда замкнутая подсхема, определяемая заменой базы j′ : Z′ → Y это закрытый образ Икс′.[17]

Топологические свойства

Если ж : ИксY плоский, то он обладает всеми следующими свойствами:

  • За каждую точку Икс из Икс и каждое обобщение у' из у = ж(Икс), есть обобщение Икс' из Икс такой, что у′ = ж(Икс′).[18]
  • За каждую точку Икс из Икс, .[19]
  • Для каждого неприводимого замкнутого подмножества Y' из Y, каждая неприводимая компонента ж−1(Y′) Доминирует Y′.[20]
  • Если Z и Z′ - два неприводимых замкнутых подмножества Y с Z содержалась в Z′, То для любой неприводимой компоненты Т из ж−1(Z) существует неприводимая компонента Т' из ж−1(Z′) Содержащий Т.[21]
  • Для каждого неприводимого компонента Т из Икс, закрытие ж(Т) - неприводимая компонента Y.[22]
  • Если Y неприводимо с общей точкой у, и если ж−1(у) неприводимо, то Икс неприводимо.[23]
  • Если ж также замкнут, образ каждой связной компоненты Икс компонент связности Y.[24]
  • Для каждого про-конструктивного подмножества Z из Y, .[25]

Если ж плоская и локально конечного представления, то ж открыта повсеместно.[26] Однако если ж точно плоский и квазикомпактный, в общем случае неверно, что ж открыто, даже если Икс и Y нётерские.[27] Более того, обратное к этому утверждению не имеет места: если ж - каноническое отображение из приведенной схемы Икскрасный к Икс, тогда ж является универсальным гомеоморфизмом, но для Икс несокращенный и нётерский, ж никогда не бывает плоским.[28]

Если ж : ИксY точно плоский, то:

  • Топология на Y фактор-топология относительно ж.[29]
  • Если ж также квазикомпактен, и если Z это подмножество Y, тогда Z является локально замкнутым про-конструктивным подмножеством Y если и только если ж−1(Z) является локально замкнутым про-конструктивным подмножеством Икс.[30]

Если ж плоский и локально конечного представления, то для каждого из следующих свойств п, множество точек, где ж имеет п открыт:[31]

  • Состояние Серра Sk (для любых фиксированных k).
  • Геометрически правильная.
  • Геометрически нормально.

Если вдобавок ж правильно, то то же самое верно для каждого из следующих свойств:[32]

  • Геометрически уменьшено.
  • Геометрически уменьшенная и имеющая k геометрические компоненты связности (для любых фиксированных k).
  • Геометрически цельный.

Плоскостность и размер

Предполагать Икс и Y являются локально нётерскими, и пусть ж : ИксY.

  • Позволять Икс быть точкой Икс и у = ж(Икс). Если ж плоский, то тусклыйИкс Икс = тусклыйу Y + тусклыйИкс ж−1(у).[33] Наоборот, если это равенство выполняется для всех Икс, Икс является Коэн – Маколей, и Y является обычный, и, кроме того, f переводит замкнутые точки в замкнутые, то ж плоский.[34]
  • Если ж строго плоский, то для каждого замкнутого подмножества Z из Y, codimY(Z) = codimИкс(ж−1(Z)).[35]
  • Предполагать ж плоский и F является квазикогерентным модулем над Y. Если F имеет проективную размерность не более п, тогда имеет проективную размерность не более п.[36]

Свойства спуска

  • Предполагать ж квартира на Икс в Икс. Если Икс снижается или нормализуется при Икс, тогда Y снижается или нормальна соответственно при ж(Икс).[37] Наоборот, если ж также имеет конечное представление и ж−1(у) редуцирована или нормальна соответственно при Икс, тогда Икс снижается или нормальна соответственно при Икс.[38]
  • В частности, если ж точно плоский, то Икс уменьшенный или нормальный означает, что Y снижена или нормальна соответственно. Если ж точно плоский и конечного представления, то все слои ж уменьшенный или нормальный означает, что Икс понижен или нормален соответственно.
  • Если ж квартира на Икс в Икс, и если Икс целое или целозамкнутое в Икс, тогда Y целочисленно или целозамкнуто соответственно при ж(Икс).[39]
  • Если ж точно плоский, Икс является локально целым, а топологическое пространство Y локально нетерово, то Y является локально целым.[40]
  • Если ж точно плоский и квазикомпактный, и если Икс локально нетерово, то Y также локально нётерский.[41]
  • Предполагать ж плоский и Икс и Y являются местно нётерскими. Если Икс регулярно в Икс, тогда Y регулярно в ж(Икс). Наоборот, если Y регулярно в ж(Икс) и ж−1(ж(Икс)) регулярна при Икс, тогда Икс регулярно в Икс.[42]
  • Предполагать ж плоский и Икс и Y являются местно нётерскими. Если Икс нормально в Икс, тогда Y нормально в ж(Икс). Наоборот, если Y нормально в ж(Икс) и ж−1(ж(Икс)) нормально при Икс, тогда Икс нормально в Икс.[43]

Позволять грамм : Y′ → Y быть абсолютно плоским. Позволять F быть квазикогерентным пучком на Y, и разреши F'Быть откатом F к Y′. потом F плоский Y если и только если F'Плоский над Y′.[44]

Предполагать ж абсолютно плоский и квазикомпактный. Позволять грамм быть квазикогерентным пучком на Y, и разреши F обозначить его откат к Икс. потом F конечного типа, конечного представления или локально не имеющего ранга п если и только если грамм обладает соответствующим свойством.[45]

Предполагать ж : ИксY является S-морфизм S-схемы. Позволять грамм : S′ → S быть абсолютно плоским и квазикомпактным, и пусть Икс′, Y', и ж′ Обозначим замену базы через грамм. Затем для каждого из следующих свойств п, если ж' имеет п, тогда ж имеет п.[46]

  • Открыть.
  • Закрыто.
  • Квазикомпактный и гомеоморфизм на его образ.
  • Гомеоморфизм.

Кроме того, для каждого из следующих свойств п, ж имеет п если и только если ж' имеет п.[47]

  • Универсально открытый.
  • Универсально закрытый.
  • Универсальный гомеоморфизм.
  • Квазикомпактный.
  • Квазикомпактный и доминирующий.
  • Квазикомпактный и универсально бинепрерывный.
  • Отдельно.
  • Квази-разделенные.
  • Локально конечного типа.
  • Локально конечного представления.
  • Конечный тип.
  • Конечное представление.
  • Правильный.
  • Изоморфизм.
  • Мономорфизм.
  • Открытое погружение.
  • Квазикомпактное погружение.
  • Закрытое погружение.
  • Аффинный.
  • Квазиаффинный.
  • Конечное.
  • Квазиконечный.
  • Интеграл.

Это возможно для ж′ Быть локальным изоморфизмом без ж даже местное погружение.[48]

Если ж квазикомпактен и L является обратимым пучком на Икс, тогда L является ж-пример или ж-очень обильно, если и только если его откат L' является ж′ -Пример или ж′ -Очень обильные соответственно.[49] Однако неверно, что ж проективен тогда и только тогда, когда ж′ Проективен. Неправда даже, что если ж правильно и ж′ Проективен, то ж квазипроективно, потому что возможно ж′ -Выборочный пучок на Икс'Который не спускается к Икс.[50]

Смотрите также

Примечания

  1. ^ EGA IV2, 2.1.1.
  2. ^ EGA 0я, 6.7.8.
  3. ^ Сернези, Э. (2010). Деформации алгебраических схем. Springer. стр.269 –279.
  4. ^ «Плоские морфизмы и плоскостность».
  5. ^ EGA IV2, Предложение 2.1.3.
  6. ^ EGA IV2, Венчик 2.2.11 (iv).
  7. ^ EGA IV2, Венчик 2.2.13 (iii).
  8. ^ EGA IV2, Corollaire 2.1.6.
  9. ^ EGA IV2, Corollaire 2.1.7 и EGA IV2, Венчик 2.2.13 (ii).
  10. ^ EGA IV2, Предложение 2.1.4 и EGA IV2, Венчик 2.2.13 (i).
  11. ^ EGA IV3, Теорема 11.3.1.
  12. ^ EGA IV3, Предложение 11.3.16.
  13. ^ EGA IV2, Предложение 2.1.11.
  14. ^ EGA IV2, Corollaire 2.2.8.
  15. ^ EGA IV2, Предложение 2.3.7 (i).
  16. ^ EGA IV2, Corollaire 2.2.16.
  17. ^ EGA IV2, Предложение 2.3.2.
  18. ^ EGA IV2, Предложение 2.3.4 (i).
  19. ^ EGA IV2, Предложение 2.3.4 (ii).
  20. ^ EGA IV2, Предложение 2.3.4 (iii).
  21. ^ EGA IV2, Венчик 2.3.5 (i).
  22. ^ EGA IV2, Венчик 2.3.5 (ii).
  23. ^ EGA IV2, Венчик 2.3.5 (iii).
  24. ^ EGA IV2, Предложение 2.3.6 (ii).
  25. ^ EGA IV2, Теорема 2.3.10.
  26. ^ EGA IV2, Теорема 2.4.6.
  27. ^ EGA IV2, Замечания 2.4.8 (i).
  28. ^ EGA IV2, Замечания 2.4.8 (ii).
  29. ^ EGA IV2, Corollaire 2.3.12.
  30. ^ EGA IV2, Corollaire 2.3.14.
  31. ^ EGA IV3, Теорема 12.1.6.
  32. ^ EGA IV3, Теорема 12.2.4.
  33. ^ EGA IV2, Corollaire 6.1.2.
  34. ^ EGA IV2, Предложение 6.1.5. Отметим, что предположение регулярности Y здесь важно. Расширение дает контрпример с Икс обычный, Y нормальный, ж конечный сюръективный, но не плоский.
  35. ^ EGA IV2, Corollaire 6.1.4.
  36. ^ EGA IV2, Corollaire 6.2.2.
  37. ^ EGA IV2, Предложение 2.1.13.
  38. ^ EGA IV3, Предложение 11.3.13.
  39. ^ EGA IV2, Предложение 2.1.13.
  40. ^ EGA IV2, Предложение 2.1.14.
  41. ^ EGA IV2, Предложение 2.2.14.
  42. ^ EGA IV2, Corollaire 6.5.2.
  43. ^ EGA IV2, Corollaire 6.5.4.
  44. ^ EGA IV2, Предложение 2.5.1.
  45. ^ EGA IV2, Предложение 2.5.2.
  46. ^ EGA IV2, Предложение 2.6.2.
  47. ^ EGA IV2, Corollaire 2.6.4 и предложение 2.7.1.
  48. ^ EGA IV2, Замечания 2.7.3 (iii).
  49. ^ EGA IV2, Corollaire 2.7.2.
  50. ^ EGA IV2, Замечания 2.7.3 (ii).

Рекомендации