Класс Штифеля – Уитни - Stiefel–Whitney class

В математика, в частности в алгебраическая топология и дифференциальная геометрия, то Классы Штифеля – Уитни представляют собой набор топологические инварианты из расслоение реальных векторов которые описывают препятствия к построению всюду независимых множеств разделы векторного расслоения. Классы Штифеля – Уитни индексируются от 0 до п, куда п - ранг векторного расслоения. Если класс индекса Штифеля – Уитни я отлична от нуля, то не может существовать (п−я+1) всюду линейно независимые сечения векторного расслоения. Ненулевой п-й класс Штифеля – Уитни указывает, что каждая секция пучка в какой-то момент должна исчезнуть. Ненулевой первый класс Штифеля – Уитни указывает, что векторное расслоение не является ориентируемый. Например, первый класс Штифеля – Уитни системы Лента Мебиуса, как линейный пакет над окружностью не равна нулю, тогда как первый класс Штифеля – Уитни тривиальный линейный пучок по кругу, S¹×р, равно нулю.

Класс Штифеля – Уитни был назван в честь Эдуард Штифель и Хасслер Уитни и является примером Z/2Z -характеристический класс связанные с реальными векторными расслоениями.

В алгебраической геометрии можно также определить аналогичные классы Штифеля – Уитни для векторных расслоений с невырожденной квадратичной формой, принимающие значения в этальные группы когомологий или в Милнор К-теория. В качестве частного случая можно определить классы Штифеля – Уитни для квадратичных форм над полями, причем первыми двумя случаями являются дискриминант и Инвариант Хассе – Витта (Милнор 1970 ).

Вступление

Общая презентация

Для реального векторного расслоения $E$ , то Класс Штифеля – Уитни $E$ обозначается $ш (E)$ . Это элемент кольцо когомологий

{ displaystyle H ^ { ast} (X; mathbf {Z} / 2 mathbf {Z}) = bigoplus _ {я geq 0} H ^ {i} (X; mathbf {Z} / 2 mathbf {Z})}

здесь $Икс$ это базовое пространство пакета $E$ , и $Z /2 Z$ (часто альтернативно обозначается как $Z 2$ ) это коммутативное кольцо единственными элементами которого являются 0 и 1. компонент из $ш (E)$ в $ЧАС я (Икс; Z /2 Z)$ обозначается $ш я (E)$ и назвал $я$ -й класс Штифеля – Уитни $E$ . Таким образом $ш (E) = ш 0 (E) + ш 1 (E) + ш 2 (E) + \cdot\cdot\cdot$ , где каждый $ш я (E)$ является элементом $ЧАС я (Икс; Z /2 Z)$ .

Класс Штифеля – Уитни $ш (E)$ является инвариантный действительного векторного расслоения $E$ ; т.е. когда $F$ - другое реальное векторное расслоение, имеющее такое же базовое пространство $Икс$ в качестве $E$ , и если $F$ является изоморфный к $E$ , то классы Штифеля – Уитни $ш (E)$ и $ш (F)$ равны. (Здесь изоморфный означает, что существует изоморфизм векторных расслоений $E \to F$ который охватывает личность $я бы Икс : Икс \to Икс$ .) Хотя вообще трудно решить, действительно ли два вещественных векторных расслоения $E$ и $F$ изоморфны, классы Штифеля – Уитни $ш (E)$ и $ш (F)$ часто можно легко вычислить. Если они разные, то известно, что $E$ и $F$ не изоморфны.

В качестве примера, над в круг $S 1$ , Существует линейный пакет (т.е. реальное векторное расслоение классифицировать 1), не изоморфный банальный пучок. Этот линейный пакет $L$ это Лента Мебиуса (что является пучок волокон слои которого можно снабдить структурами векторных пространств таким образом, что они станут векторным расслоением). Группа когомологий $ЧАС 1 (S 1; Z /2 Z)$ имеет только один элемент, отличный от 0. Этот элемент является первым классом Штифеля – Уитни. $ш 1 (L)$ из $L$ . Поскольку тривиальное линейное расслоение над $S 1$ имеет первый класс Штифеля – Уитни 0, он не изоморфен $L$ .

Два вещественных векторных расслоения $E$ и $F$ которые имеют один и тот же класс Штифеля – Уитни, не обязательно изоморфны. Это происходит, например, когда $E$ и $F$ - тривиальные вещественные векторные расслоения разных рангов над одним и тем же базовым пространством $Икс$ . Это также может произойти, когда $E$ и $F$ имеют одинаковый ранг: касательный пучок из 2-сфера $S 2$ и тривиальное вещественное векторное расслоение ранга 2 над $S 2$ имеют один и тот же класс Штифеля – Уитни, но не изоморфны. Но если два настоящих линия связки более $Икс$ имеют один и тот же класс Штифеля – Уитни, то они изоморфны.

Происхождение

Классы Штифеля – Уитни ш_я(E) получили свое имя, потому что Эдуард Штифель и Хасслер Уитни открыл их как мод-2 сокращение классы препятствий к строительству п − я + 1 повсюду линейно независимый разделы из векторный набор $E$ ограничено я-скелет Икс. Здесь п обозначает размерность слоя векторного расслоения F → E → Икс.

Если быть точным, при условии Икс это CW-комплекс, Классы, определенные Уитни W_я(E) в я-й сотовый группа когомологий из Икс со скрученными коэффициентами. Система коэффициентов является (я−1) -й гомотопическая группа из Коллектор Штифеля V_п−я+1(F) из (п−я+1) линейно независимые векторы в слоях E. Уитни доказала W_я(E) = 0 тогда и только тогда, когда E, когда ограничивается я-скелет Икс, имеет (п−я+1) линейно-независимые участки.

Поскольку π_я−1V_п−я+1(F) либо бесконечно -циклический или же изоморфный к Z/2Z, Существует канонический сокращение W_я(E) классы в классы ш_я(E) ∈ ЧАС^я(Икс; Z/2Z) которые являются классами Штифеля – Уитни. Более того, когда π_я−1V_п−я+1(F) = Z/2Z, эти два класса идентичны. Таким образом, ш₁(E) = 0 тогда и только тогда, когда расслоение E → Икс является ориентируемый.

В ш₀(E) класс не содержит информации, потому что по определению равен 1. Его создание Уитни было актом творческой нотации, позволившей Сумма Уитни Формула ш(E₁ ⊕ E₂) = ш(E₁)ш(E₂) быть правдой.

Определения

На протяжении, $ЧАС я (Икс; грамм)$ обозначает особые когомологии пространства $Икс$ с коэффициентами в группа $грамм$ . Слово карта означает всегда непрерывная функция между топологические пространства.

Аксиоматическое определение

Характеристический класс Штифеля-Уитни ${ Displaystyle ш (Е) в Н ^ {*} (Х; mathbf {Z} / 2 mathbf {Z})}$ вещественного векторного расслоения конечного ранга E на паракомпактное базовое пространство Икс определяется как уникальный класс, для которого выполняются следующие аксиомы:

Нормализация: Класс Уитни пучок тавтологических линий над реальное проективное пространство п¹(р) нетривиально, т.е. ${ displaystyle w ( gamma _ {1} ^ {1}) = 1 + a in H ^ {*} ( mathbf {P} ^ {1} ( mathbf {R}); mathbf {Z} / 2 mathbf {Z}) = ( mathbf {Z} / 2 mathbf {Z}) [a] / (a ^ {2})}$ .
Классифицировать: ш₀(E) = 1 ∈ ЧАС⁰(Икс), и для я выше ранга E, ${ displaystyle w_ {i} = 0 in H ^ {i} (X)}$ , то есть, ${ displaystyle w (E) in H ^ { leqslant mathrm {rank} (E)} (X).}$
Формула продукта Уитни: ${ Displaystyle ш (Е oplus F) = вес (Е) smallsmile ш (F)}$ , то есть классом Уитни прямой суммы является чашка продукта классов слагаемых.
Естественность: ${ Displaystyle ш (е ^ {*} Е) = е ^ {*} ш (Е)}$ для любого реального векторного расслоения E → Икс и карта ${ displaystyle f: X ' to X}$ , куда ${ displaystyle f ^ {*} E}$ обозначает набор векторов отката.

Уникальность этих классов доказывается, например, в разделе 17.2 - 17.6 в Husemoller или разделе 8 в Milnor and Stasheff. Есть несколько доказательств существования, исходящих от разных конструкций, с несколькими разными вкусами, их согласованность обеспечивается утверждением об уникальности.

Определение через бесконечные грассманианы

Бесконечные грассманианы и векторные расслоения

В этом разделе описывается конструкция, использующая понятие классификация пространства.

Для любого векторного пространства V, позволять Gr_п(V) обозначают Грассманиан, пространство п-мерные линейные подпространства V, и обозначим бесконечный грассманиан

{ Displaystyle Gr_ {n} = Gr_ {n} ( mathbf {R} ^ { infty})}

.

Напомним, что он оснащен тавтологический пучок ${ displaystyle gamma ^ {n} to Gr_ {n},}$ звание п векторное расслоение, которое можно определить как подрасслоение тривиального расслоения слоя V чье волокно в точке ${ Displaystyle W in Gr_ {n} (V)}$ - подпространство, представленное Ẃ.

Позволять ж : Икс → Gr_п, - непрерывное отображение в бесконечный грассманиан. Тогда с точностью до изоморфизма расслоение, индуцированное отображением ж на Икс

{ displaystyle f ^ {*} gamma ^ {n} in { text {Vect}} _ {n} (X)}

зависит только от гомотопического класса отображения [ж]. Таким образом, операция отката дает морфизм из множества

{ displaystyle [X; Gr_ {n}]}

карт Икс → Gr_п по модулю гомотопическая эквивалентность множеству

{ displaystyle { text {Vect}} _ {n} (X)}

классов изоморфизма векторных расслоений ранга п над Икс.

(Важным фактом в этой конструкции является то, что если Икс это паракомпактное пространство, эта карта биекция. По этой причине мы называем бесконечные грассманианы классифицирующими пространствами векторных расслоений.)

Теперь по аксиоме естественности (4) выше, ${ Displaystyle w_ {j} (е ^ {*} gamma ^ {n}) = f ^ {*} w_ {j} ( gamma ^ {n})}$ . Так что в принципе достаточно знать значения ${ displaystyle w_ {j} ( gamma ^ {n})}$ для всех j. Однако кольцо коголомологий ${ displaystyle H ^ {*} (Gr_ {n}, mathbb {Z} _ {2})}$ бесплатно на определенных генераторах ${ displaystyle x_ {j} in H ^ {j} (Gr_ {n}, mathbb {Z} _ {2})}$ возникает из стандартного клеточного разложения, и тогда оказывается, что эти генераторы на самом деле просто задаются ${ displaystyle x_ {j} = w_ {j} ( gamma ^ {n})}$ . Таким образом, для любого расслоения ранга n ${ displaystyle w_ {j} = f ^ {*} x_ {j}}$ , куда ж является подходящей классифицирующей картой. Это, в частности, является одним из доказательств существования классов Штифеля-Уитни.

Случай линейных пучков

Ограничим приведенную выше конструкцию линейными расслоениями, т.е. мы рассматриваем пространство, Vect₁(Икс) линейных пучков над Икс. Грассманиан прямых Gr₁ это просто бесконечность проективное пространство

{ Displaystyle mathbf {P} ^ { infty} ( mathbf {R}) = mathbf {R} ^ { infty} / mathbf {R} ^ {*},}

который дважды покрывается бесконечной сферой S^∞ к противоположные точки. Эта сфера S^∞ является стягиваемый, так что у нас есть

{ displaystyle { begin {align} pi _ {1} ( mathbf {P} ^ { infty} ( mathbf {R})) & = mathbf {Z} / 2 mathbf {Z} pi _ {i} ( mathbf {P} ^ { infty} ( mathbf {R})) & = pi _ {i} (S ^ { infty}) = 0 && i> 1 end {выровнено} }}

Следовательно п^∞(р) это Пространство Эйленберга-Маклейна K (Z/2Z, 1).

Это свойство пространств Эйленберга-Маклейна, что

{ displaystyle left [X; mathbf {P} ^ { infty} ( mathbf {R}) right] = H ^ {1} (X; mathbf {Z} / 2 mathbf {Z}) }

для любого Икс, с изоморфизмом, заданным формулой ж → е *η, где η - образующая

{ Displaystyle Н ^ {1} ( mathbf {P} ^ { infty} ( mathbf {R}); mathbf {Z} / 2 mathbf {Z}) = mathbf {Z} / 2 mathbf {Z}}

.

Применяя первое замечание, что α: [Икс, Gr₁] → Vect₁(Икс) также является биекцией, получаем биекцию

{ displaystyle w_ {1}: { text {Vect}} _ {1} (X) to H ^ {1} (X; mathbf {Z} / 2 mathbf {Z})}

это определяет класс Штифеля – Уитни ш₁ для линейных пакетов.

Группа линейных пучков

Если Vect₁(Икс) рассматривается как группа относительно операции тензорного произведения, то класс Штифеля – Уитни, ш₁ : Vect₁(Икс) → ЧАС¹(Икс; Z/2Z), является изоморфизмом. То есть, ш₁(λ ⊗ μ) = ш₁(λ) + ш₁(μ) для всех линейных расслоений λ, μ → Икс.

Например, поскольку ЧАС¹(S¹; Z/2Z) = Z/2Z, есть только два линейных расслоения над окружностью с точностью до изоморфизма расслоений: тривиальное и открытая лента Мёбиуса (т. е. лента Мёбиуса с удаленной границей).

Такая же конструкция для сложные векторные расслоения показывает, что Черн класс определяет биекцию между комплексными линейными расслоениями над Икс и ЧАС²(Икс; Z), поскольку соответствующее классифицирующее пространство п^∞(C), а K (Z, 2). Этот изоморфизм верен для топологических линейных расслоений, препятствием к инъективности класса Черна для алгебраических векторных расслоений является Якобиева многообразие.

Характеристики

Топологическая интерпретация исчезновения

ш_я(E) = 0 всякий раз, когда я > ранг (E).
Если E^k имеет ${ displaystyle s_ {1}, ldots, s _ { ell}}$ разделы которые везде линейно независимый затем ${ displaystyle ell}$ Исчезают высшие классы Уитни: ${ displaystyle w_ {k- ell +1} = cdots = w_ {k} = 0}$ .
Первый класс Штифеля – Уитни равен нулю тогда и только тогда, когда расслоение ориентируемый. В частности, многообразие M ориентируем тогда и только тогда, когда ш₁(TM) = 0.
Пучок допускает спиновая структура тогда и только тогда, когда и первый, и второй классы Штифеля – Уитни равны нулю.
Для ориентируемого расслоения второй класс Штифеля – Уитни находится в образе естественного отображения ЧАС²(M, Z) → ЧАС²(M, Z/2Z) (эквивалентно так называемый третий интеграл Класс Штифеля – Уитни равен нулю) тогда и только тогда, когда расслоение допускает спин^c структура.
Все Штифеля-Уитни числа (см. ниже) гладкого компактного многообразия Икс обращаются в нуль тогда и только тогда, когда многообразие является границей некоторого гладкого компактного (неориентированного) многообразия (Предупреждение: некоторые элементы Штифеля-Уитни учебный класс все еще может быть ненулевым, даже если все Штифель Уитни числа исчезнуть!)

Единственность классов Штифеля – Уитни.

Из приведенной выше биекции для линейных расслоений следует, что любой функтор θ, удовлетворяющий четырем аксиомам выше, равен ш, по следующему аргументу. Вторая аксиома дает θ (γ¹) = 1 + θ₁(γ¹). Для карты включения я : п¹(р) → п^∞(р), обратный пучок ${ Displaystyle я ^ {*} гамма ^ {1}}$ равно ${ displaystyle gamma _ {1} ^ {1}}$ . Таким образом, первая и третья аксиомы подразумевают

{ Displaystyle i ^ {*} theta _ {1} left ( gamma ^ {1} right) = theta _ {1} left (i ^ {*} gamma ^ {1} right) = theta _ {1} left ( gamma _ {1} ^ {1} right) = w_ {1} left ( gamma _ {1} ^ {1} right) = w_ {1} left (i ^ {*} gamma ^ {1} right) = i ^ {*} w_ {1} left ( gamma ^ {1} right).}

Поскольку карта

{ displaystyle i ^ {*}: H ^ {1} left ( mathbf {P} ^ { infty} ( mathbf {R} right); mathbf {Z} / 2 mathbf {Z}) to H ^ {1} left ( mathbf {P} ^ {1} ( mathbf {R}); mathbf {Z} / 2 mathbf {Z} right)}

это изоморфизм, ${ displaystyle theta _ {1} ( gamma ^ {1}) = w_ {1} ( gamma ^ {1})}$ и θ (γ¹) = ш(γ¹) следить. Позволять E - вещественное векторное расслоение ранга п над пространством Икс. потом E признает разделение карты, т.е. карта ж : ИКС' → Икс для некоторого места ИКС' такой, что ${ displaystyle f ^ {*}: H ^ {*} (X; mathbf {Z} / 2 mathbf {Z})) to H ^ {*} (X '; mathbf {Z} / 2 mathbf {Z})}$ инъективен и ${ displaystyle f ^ {*} E = lambda _ {1} oplus cdots oplus lambda _ {n}}$ для некоторых линейных пакетов ${ displaystyle lambda _ {i} to X '}$ . Любая связка линий закончилась Икс имеет форму ${ displaystyle g ^ {*} gamma ^ {1}}$ для какой-то карты грамм, и

{ displaystyle theta left (g ^ {*} gamma ^ {1} right) = g ^ {*} theta left ( gamma ^ {1} right) = g ^ {*} w left ( gamma ^ {1} right) = w left (g ^ {*} gamma ^ {1} right),}

по естественности. Таким образом, θ = ш на ${ displaystyle { text {Vect}} _ {1} (X)}$ . Из четвертой аксиомы выше следует, что

{ Displaystyle е ^ {*} theta (E) = theta (f ^ {*} E) = theta ( lambda _ {1} oplus cdots oplus lambda _ {n}) = theta ( lambda _ {1}) cdots theta ( lambda _ {n}) = w ( lambda _ {1}) cdots w ( lambda _ {n}) = w (f ^ {*} E ) = f ^ {*} w (E).}

С ${ displaystyle f ^ {*}}$ инъективно, θ = ш. Таким образом, класс Штифеля – Уитни - это единственный функтор, удовлетворяющий четырем вышеупомянутым аксиомам.

Неизоморфные расслоения с одинаковыми классами Штифеля – Уитни

Хотя карта ш₁ : Vect₁(Икс) → ЧАС¹(Икс; Z/2Z) является биекцией, соответствующее отображение не обязательно инъективно в более высоких измерениях. Например, рассмотрим касательное расслоение TS^п за п четное. С каноническим вложением S^п в р^п+1нормальное расслоение ν к S^п это линейный пучок. С S^п ориентируемо, ν тривиально. Сумма TS^п ⊕ ν - это просто ограничение Тр^п+1 к S^п, что тривиально, поскольку р^п+1 стягивается. Следовательно ш(TS^п) = ш(TS^п)ш(ν) = w (TS^п ⊕ ν) = 1. Но при четном n TS^п → S^п нетривиально; это Класс Эйлера ${ displaystyle e (TS ^ {n}) = chi (TS ^ {n}) [S ^ {n}] = 2 [S ^ {n}] not = 0}$ , куда [S^п] обозначает фундаментальный класс из S^п и χ Эйлерова характеристика.

Связанные инварианты

Числа Штифеля – Уитни

Если мы работаем над многообразием размеров п, то любое произведение классов Штифеля – Уитни полной степенип может быть в паре с Z/2Z-фундаментальный класс многообразия, чтобы получить элемент Z/2Z, а Число Штифеля – Уитни векторного расслоения. Например, если многообразие имеет размерность 3, существуют три линейно независимых числа Штифеля – Уитни, задаваемые формулой ${ displaystyle w_ {1} ^ {3}, w_ {1} w_ {2}, w_ {3}}$ . В общем случае, если многообразие имеет размерность п, количество возможных независимых чисел Штифеля – Уитни равно количеству перегородки изп.

Числа Штифеля – Уитни касательного расслоения гладкого многообразия называются числами Штифеля – Уитни многообразия. Они известны как кобордизм инварианты. Это было доказано Лев Понтрягин что если B - гладкий компакт (п+1) –мерное многообразие с краем, равным M, то числа Штифеля-Уитни M все равны нулю.^[1] Более того, это было доказано Рене Том что если все числа Штифеля-Уитни M равны нулю, тогда M может быть реализована как граница некоторого гладкого компактного многообразия.^[2]

Одно важное число Штифеля – Уитни в теория хирургии это инвариант де Рама из (4k+1) -мерное многообразие, ${ displaystyle w_ {2} w_ {4k-1}.}$

У классы

Классы Штифеля – Уитни ш_k являются Квадраты Стинрода из У классы v_k, определяется У Вэньцзюнь в (Ву 1955 г. ). Проще говоря, общий класс Штифеля – Уитни - это общий квадрат Стинрода от общего класса Wu: Кв.(v) = ш. Классы Wu чаще всего неявно определяются в терминах квадратов Стинрода, как класс когомологий, представляющий квадраты Стинрода. Пусть многообразие Икс быть п размерный. Тогда для любого класса когомологий Икс степени н-к, ${ Displaystyle v_ {k} чашка x = Sq ^ {k} (x),}$ . Или, более узко, мы можем потребовать ${ Displaystyle langle v_ {k} чашка x, mu rangle = langle Sq ^ {k} (x), mu rangle}$ , снова для классов когомологий Икс степени н-к.^[3]

Интегральные классы Штифеля – Уитни.

Элемент ${ Displaystyle бета ш_ {я} в H ^ {я + 1} (X; mathbf {Z})}$ называется я + 1 интеграл Класс Штифеля – Уитни, где β - Гомоморфизм Бокштейна, соответствующее приведению по модулю 2, Z → Z/2Z:

{ displaystyle beta двоеточие H ^ {i} (X; mathbf {Z} / 2 mathbf {Z}) to H ^ {i + 1} (X; mathbf {Z}).}

Например, третий интегральный класс Штифеля – Уитни является препятствием к Вращение^c структура.

Соотношения над алгеброй Стинрода

Над Алгебра Стинрода, классы Штифеля – Уитни гладкого многообразия (определяемые как классы Штифеля – Уитни касательного расслоения) порождаются классами вида ${ displaystyle w_ {2 ^ {i}}}$ . В частности, классы Штифеля – Уитни удовлетворяют условию Формула Ву, названный в честь У Вэньцзюнь:^[4]

{ displaystyle Sq ^ {i} (w_ {j}) = sum _ {t = 0} ^ {i} {j + t-i-1 choose t} w_ {i-t} w_ {j + t}.}

Смотрите также

Характеристический класс для общего обзора, в частности Черн класс, прямой аналог для сложные векторные расслоения
Реальное проективное пространство

внешняя ссылка

Ву класс в Manifold Atlas

[1] Понтрягин, Лев С. (1947). «Характеристические циклы на дифференцируемых многообразиях». Мат. Сборник Н.С. (на русском). 21 (63): 233–284.

[2] Милнор, Джон В.; Сташефф, Джеймс Д. (1974). Характерные классы. Издательство Принстонского университета. стр.50 –53. ISBN 0-691-08122-0.

[3] Milnor, J. W .; Сташеф, Дж. Д. (1974). Характерные классы. Princeton University Press. стр.131 –133. ISBN 0-691-08122-0.

[4] (Май 1999 г., п. 197)

[1]

[2]

[3]

[4]