Милнор К-теория - Milnor K-theory

Эта статья может быть слишком техническим для большинства читателей, чтобы понять. Пожалуйста помогите улучшить это к Сделайте это понятным для неспециалистов, не снимая технических деталей. (Октябрь 2017 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В математика, Милнор К-теория инвариант поля определяется Джон Милнор  (1970 ). Первоначально рассматривался как приближение к алгебраическая K-теория К-теория Милнора оказалась самостоятельным важным инвариантом.

Определение

В расчет K₂ поля к Хидэя Мацумото привели Милнора к следующему, казалось бы, наивному определению понятия «высшее». K-группы поля F:

${ displaystyle K _ {*} ^ {M} (F): = T ^ {*} F ^ { times} / (a ​​ otimes (1-a)),}$

частное от тензорная алгебра над целыми числами мультипликативная группа ${ displaystyle F ^ { times}}$ посредством двусторонний идеал создано:

${ displaystyle left {a otimes (1-a): 0,1 neq a in F right }.}$

В пth Милнор К-групп ${ Displaystyle К_ {п} ^ {M} (F)}$ это пй оцененный кусок этого градуированное кольцо; Например, ${ Displaystyle К_ {0} ^ {M} (F) = mathbb {Z}}$ и ${ displaystyle K_ {1} ^ {M} (F) = F ^ { times}.}$ Существует естественный гомоморфизм

${ Displaystyle K_ {n} ^ {M} (F) to K_ {n} (F)}$

от K-групп Милнора поля к Дэниел Квиллен K-группы, что является изоморфизмом для п ≤ 2, но не для больших п, в целом. Для ненулевых элементов ${ displaystyle a_ {1}, ldots, a_ {n}}$ в F, то символ ${ Displaystyle {а_ {1}, ldots, а_ {п} }}$ в ${ Displaystyle К_ {п} ^ {M} (F)}$ означает изображение а₁ ⊗ ... ⊗ а_п в тензорной алгебре. Каждый элемент K-теории Милнора можно записать в виде конечной суммы символов. Дело в том, что {а, 1−а} = 0 дюйм ${ displaystyle K_ {2} ^ {M} (F)}$за а в F - {0,1} иногда называют Соотношение Стейнберга.

Кольцо ${ Displaystyle К _ {*} ^ {M} (F)}$ является градуированный коммутативный.^[1]

Примеры

У нас есть ${ Displaystyle К_ {п} ^ {M} ( mathbb {F} _ {q}) = 0}$ зап > 2, а ${ Displaystyle К_ {2} ^ {M} ( mathbb {C})}$ является бесчисленный однозначно делимая группа.^[2] Также, ${ Displaystyle К_ {2} ^ {M} ( mathbb {R})}$ это прямая сумма из циклическая группа из порядок 2 и несчетная однозначно делимая группа; ${ Displaystyle К_ {2} ^ {M} ( mathbb {Q} _ {p})}$ прямая сумма мультипликативной группы ${ displaystyle mathbb {F} _ {p}}$ и несчетная однозначно делимая группа; ${ Displaystyle К_ {2} ^ {M} ( mathbb {Q})}$ является прямой суммой циклической группы порядка 2 и циклических групп порядка ${ displaystyle p-1}$ для всех нечетных простых чисел ${ displaystyle p}$.

Приложения

K-теория Милнора играет фундаментальную роль в теория поля высшего класса, заменяя ${ Displaystyle К_ {1} ^ {M} (F) = F ^ { times}}$ в одномерном теория поля классов.

К-теория Милнора вписывается в более широкий контекст мотивационные когомологии, через изоморфизм

${ displaystyle K_ {n} ^ {M} (F) cong H ^ {n} (F, mathbb {Z} (n))}$

K-теории Милнора поля с некоторой группой мотивных когомологий.^[3] В этом смысле кажущееся специальным определение K-теории Милнора становится теоремой: некоторые мотивные группы когомологий поля могут быть явно вычислены с помощью генераторов и соотношений.

Гораздо более глубокий результат - гипотеза Блоха-Като (также называемая теорема об изоморфизме вычетов по норме ), связывает K-теорию Милнора с Когомологии Галуа или же этальные когомологии:

${ displaystyle K_ {n} ^ {M} (F) / r cong H _ { mathrm {et}} ^ {n} (F, mathbb {Z} / r (n)),}$

для любого положительного целого числа р обратимый в поле F. Это было доказано Владимир Воеводский, при участии Маркус Рост и другие.^[4] Сюда входит теорема Александр Меркурьев и Андрей Суслин и Гипотеза Милнора как частные случаи (случаи, когда ${ displaystyle n = 2}$ и ${ displaystyle r = 2}$, соответственно).

Наконец, существует связь между K-теорией Милнора и квадратичные формы. Для поля F из характеристика не 2, определить фундаментальный идеал я в Кольцо Witt квадратичных форм над F быть ядром гомоморфизма ${ Displaystyle W (F) к mathbb {Z} / 2}$ задается размерностью квадратичной формы по модулю 2. Милнор определил гомоморфизм:

${ displaystyle { begin {cases} K_ {n} ^ {M} (F) / 2 to I ^ {n} / I ^ {n + 1} {a_ {1}, ldots, a_ {n} } mapsto langle langle a_ {1}, ldots, a_ {n} rangle rangle = langle 1, -a_ {1} rangle otimes cdots otimes langle 1, - а_ {п} rangle end {cases}}}$

куда ${ displaystyle langle langle a_ {1}, a_ {2}, ldots, a_ {n} rangle rangle}$ обозначает класс п-складывать Форма Пфистера.^[5]

Орлов, Вишик и Воеводский доказали другое утверждение, называемое гипотезой Милнора, а именно, что этот гомоморфизм ${ displaystyle K_ {n} ^ {M} (F) / 2 to I ^ {n} / I ^ {n + 1}}$ является изоморфизмом.^[6]

Смотрите также

• Адзумая алгебра

Рекомендации

• Элман, Ричард; Карпенко, Никита; Меркурьев Александр (2008), Алгебраическая и геометрическая теория квадратичных форм, Американское математическое общество, ISBN  978-0-8218-4329-1, МИСТЕР  2427530
• Жиль, Филипп; Самуэли, Тамаш (2006). Центральные простые алгебры и когомологии Галуа. Кембриджские исследования в области высшей математики. 101. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-86103-9. МИСТЕР  2266528. Zbl  1137.12001.
• Мацца, Карло; Воеводский, Владимир; Вейбель, Чарльз (2006), Лекции по мотивационной когомологии, Clay Mathematical Monographs, Vol. 2, Американское математическое общество, ISBN  978-0-8218-3847-1, МИСТЕР  2242284
• Милнор, Джон Уиллард (1970), с приложением Дж. Тейт, "Алгебраическая K-теория и квадратичные формы », Inventiones Mathematicae, 9: 318–344, Bibcode:1970InMat ... 9..318M, Дои:10.1007 / BF01425486, ISSN  0020-9910, МИСТЕР  0260844, Zbl  0199.55501
• Орлов Дмитрий; Вишик, Александр; Воеводский, Владимир (2007), "Точная последовательность для K_*^M/ 2 с приложениями к квадратичным формам », Анналы математики, 165: 1–13, arXiv:математика / 0101023, Дои:10.4007 / annals.2007.165.1, МИСТЕР  2276765
• Воеводский, Владимир (2011), «О мотивационных когомологиях с Z / l-коэффициентами», Анналы математики, 174 (1): 401–438, arXiv:0805.4430, Дои:10.4007 / летопись.2011.174.1.11, МИСТЕР  2811603