Мультипликативная группа - Multiplicative group

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу-)прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа Sп Кляйн четыре группы V Группа диэдра Dп Группа Quaternion Q Дициклическая группа Dicп
Дискретные группы Решетки Целые числа (Z) Бесплатная группа Модульные группы PSL (2,Z) SL (2,Z) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологический и Группы Ли Соленоид Круг Общие линейные GL (п) Специальная линейная SL (п) Ортогональный O (п) Евклидово E (п) Специальные ортогональные ТАК(п) Унитарный U (п) Специальный унитарный SU (п) Симплектический Sp (п) грамм2 F4 E6 E7 E8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая

В математика и теория групп, период, термин мультипликативная группа относится к одному из следующих понятий:

• в группа при умножении из обратимый элементы поле,^[1] звенеть, или другая структура, для которой одна из ее операций называется умножением. В случае поля F, группа (F ∖ {0}, •), где 0 относится к нулевой элемент из F и бинарная операция • это поле умножение,
• в алгебраический тор GL (1).^{[требуется разъяснение ]}.

Примеры

• В мультипликативная группа целых чисел по модулю п группа относительно умножения обратимых элементов ${ Displaystyle mathbb {Z} / п mathbb {Z}}$. Когда п не является простым, есть необратимые элементы, отличные от нуля.
• Мультипликативная группа положительные действительные числа ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {+}}$ является абелева группа с 1 его элемент идентичности. В логарифм это групповой изоморфизм этой группы в аддитивная группа реальных чисел, ${ Displaystyle mathbb {R}}$.
• Мультипликативная группа поля ${ displaystyle F}$ - это множество всех ненулевых элементов: ${ Displaystyle F ^ { times} = F - {0 }}$, при операции умножения. Если ${ displaystyle F}$ является конечный порядка q (Например q = п прайм, и ${ Displaystyle F = mathbb {F} _ {p} = mathbb {Z} / p mathbb {Z}}$), то мультипликативная группа циклично: ${ Displaystyle F ^ { times} cong C_ {q-1}}$.

Групповая схема корней единства

В групповая схема п-й корни единства по определению является ядром п-степенное отображение на мультипликативной группе GL (1), рассматриваемой как групповая схема. То есть для любого целого п > 1, мы можем рассмотреть морфизм на мультипликативной группе, который принимает п-ые степени, и возьмем соответствующую волокнистое изделие схем, с морфизмом е что служит идентичностью.

Полученная групповая схема записывается как μ_п (или же ${ Displaystyle му ! ! му _ {п}}$^[2]). Это порождает сокращенная схема, когда мы берем его над полем K, если и только если в характеристика из K не разделяет п. Это делает его источником некоторых ключевых примеров несокращенных схем (схем с нильпотентные элементы в их структурные шкивы ); например μ_п через конечное поле с п элементы для любых простое число п.

Это явление нелегко выразить на классическом языке алгебраической геометрии. Например, оказывается, что это очень важно для выражения теория двойственности абелевых многообразий в характеристике п (теория Пьер Картье ). Когомологии Галуа этой групповой схемы являются способом выражения Теория Куммера.

Примечания

Рекомендации

• Мишель Хазевинкель, Надежда Губарени, Надежда Михайловна Губарени, Владимир Васильевич Кириченко. Алгебры, кольца и модули. Том 1. 2004. Springer, 2004. ISBN  1-4020-2690-0

Смотрите также

• Мультипликативная группа целых чисел по модулю n
• Аддитивная группа