E6 (математика) - E6 (mathematics)

Эта статья может быть слишком техническим для большинства читателей, чтобы понять. Пожалуйста помогите улучшить это к сделать понятным для неспециалистов, не снимая технических деталей. (Май 2013) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу-)прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа Sп Кляйн четыре группы V Группа диэдра Dп Группа Quaternion Q Дициклическая группа Dicп
Дискретные группы Решетки Целые числа (Z) Бесплатная группа Модульные группы PSL (2,Z) SL (2,Z) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологический и Группы Ли Соленоид Круг Общие линейные GL (п) Специальная линейная SL (п) Ортогональный O (п) Евклидово E (п) Специальные ортогональные ТАК(п) Унитарный U (п) Специальный унитарный SU (п) Симплектический Sp (п) грамм2 F4 E6 E7 E8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая

Группы Ли
Классические группы Общие линейные GL (п) Специальная линейная SL (п) Ортогональный O (п) Специальные ортогональные ТАК(п) Унитарный U (п) Специальный унитарный SU (п) Симплектический Sp (п)
Простые группы Ли Список простых групп Ли Классический Ап Bп Cп Dп Исключительный грамм2 F4 E6 E7 E8
Другие группы Ли Круг Лоренц Пуанкаре Конформная группа Диффеоморфизм Петля Евклидово
Алгебры Ли Соответствие группы Ли и алгебры Ли Экспоненциальная карта Присоединенное представительство Форма убийства Индекс Симметрия точки Ли Простая алгебра Ли
Полупростая алгебра Ли Диаграммы Дынкина Подалгебра Картана Корневая система Группа Вейля Реальная форма Комплексификация Расщепленная алгебра Ли Компактная алгебра Ли
Теория представлений Представление группы Ли Представление алгебры Ли Теория представлений полупростых алгебр Ли Теорема старшего веса Теорема Бореля – Вейля – Ботта.
Группы Ли в физика Физика элементарных частиц и теория представлений Представления группы Лоренца Представления группы Пуанкаре Представления галилеевой группы
Ученые Софус Ли Анри Пуанкаре Вильгельм Киллинг Эли Картан Герман Вейль Клод Шевалле Хариш-Чандра Арман Борель
Глоссарий Таблица групп Ли

В математика, E₆ это имя некоторых тесно связанных Группы Ли, линейный алгебраические группы или их Алгебры Ли ${ displaystyle { mathfrak {e}} _ {6}}$, все из которых имеют размер 78; то же обозначение E₆ используется для соответствующего корневая решетка, у которого есть классифицировать 6. Обозначение E₆ происходит из классификации Картана – Киллинга комплекса простые алгебры Ли (видеть Эли Картан § Работа ). Это классифицирует алгебры Ли на четыре бесконечные серии, обозначенные A_п, B_п, С_п, D_п, и пять исключительных случаев помечено E₆, E₇, E₈, F₄, и грамм₂. E₆ алгебра, таким образом, является одним из пяти исключительных случаев.

Фундаментальная группа комплексной формы, компактной вещественной формы или любой алгебраической версии E₆ это циклическая группа Z/3Z, и это группа внешних автоморфизмов циклическая группа Z/2Z. Его фундаментальное представление 27-мерный (комплексный), и базис дается 27 линий на кубической поверхности. В двойное представительство, которая неэквивалентна, также 27-мерна.

В физика элементарных частиц, E₆ играет роль в некоторых теории великого объединения.

Реальные и сложные формы

Существует единственная комплексная алгебра Ли типа E₆, соответствующая комплексной группе комплексной размерности 78. Комплексно присоединенная группа Ли E₆ из сложное измерение 78 можно рассматривать как простую действительную группу Ли действительной размерности 156. Она имеет фундаментальную группу Z/3Z, имеет максимальное компактный подгруппу компактную форму (см. ниже) группы E₆, и имеет группу внешних нециклических автоморфизмов порядка 4, порожденную комплексным сопряжением и внешним автоморфизмом, который уже существует как комплексный автоморфизм.

Как и комплексная группа Ли типа E₆, существует пять действительных форм алгебры Ли и, соответственно, пять действительных форм группы с тривиальным центром (все из которых имеют алгебраическое двойное покрытие, а три из которых имеют дополнительные неалгебраические покрытия, дающие дополнительные действительные формы), все действительной размерности 78, а именно:

• Компактная форма (которая обычно подразумевается, если не дается никакой другой информации), которая имеет фундаментальную группу Z/3Z и группа внешних автоморфизмов Z/2Z.
• Разделенная форма, EI (или E₆₍₆₎), которая имеет максимальную компактную подгруппу Sp (4) / (± 1), фундаментальную группу порядка 2 и группу внешних автоморфизмов порядка 2.
• Квази-расщепленная форма EII (или E₆₍₂₎), которая имеет максимальную компактную подгруппу SU (2) × SU (6) / (центр), фундаментальную циклическую группу порядка 6 и группу внешних автоморфизмов порядка 2.
• EIII (или E_6(-14)), имеющая максимальную компактную подгруппу SO (2) × Spin (10) / (центр), фундаментальную группу Z и тривиальная группа внешних автоморфизмов.
• EIV (или E_6(-26)), имеющая максимальную компактную подгруппу F₄, тривиальная фундаментальная группа циклических и группа внешних автоморфизмов порядка 2.

Форма EIV E₆ - группа коллинеаций (сохраняющих линию преобразований) октонионная проективная плоскость OP².^[1] Это также группа сохраняющих детерминант линейных преобразований исключительного Йорданова алгебра. Исключительная йорданова алгебра 27-мерна, что объясняет, почему компактная вещественная форма E₆ имеет 27-мерное комплексное представление. Компактная вещественная форма E₆ это группа изометрии 32-мерного Риманово многообразие известная как «биоктонионная проективная плоскость»; аналогичные конструкции для E₇ и E₈ известны как Проективные плоскости Розенфельда, и являются частью Магический квадрат Фройденталя.

E₆ как алгебраическая группа

С помощью Основа Шевалле для алгебры Ли можно определить E₆ как линейная алгебраическая группа над целыми числами и, следовательно, над любым коммутативным кольцом и, в частности, над любым полем: это определяет так называемую расщепляемую (иногда также известную как «раскрученную») присоединенную форму E₆. Над алгебраически замкнутым полем это и его тройное покрытие являются единственными формами; однако, помимо других областей, часто существует множество других форм или «поворотов» E₆, которые классифицируются в общих рамках Когомологии Галуа (через идеальное поле k) по множеству ЧАС¹(k, Aut (E₆)) который, поскольку диаграмма Дынкина E₆ (видеть ниже ) имеет группу автоморфизмов Z/2Z, сопоставляется с ЧАС¹(k, Z/2Z) = Hom (Gal (k), Z/2Z) с ядром ЧАС¹(k, E_{6, ad}).^[2]

Над полем действительных чисел действительная составляющая тождества этих алгебраически скрученных форм E₆ совпадают с тремя упомянутыми действительными группами Ли над, но с тонкостью, касающейся фундаментальной группы: все присоединенные формы E₆ иметь фундаментальную группу Z/3Z в смысле алгебраической геометрии, с действием Галуа как на третьих корнях из единицы; это означает, что они допускают ровно одно тройное покрытие (которое может быть тривиальным для реальных точек); дальнейшие некомпактные вещественные групповые формы Ли E₆ поэтому не алгебраичны и не допускают точных конечномерных представлений. Компактная вещественная форма E₆ а также некомпактные формы EI = E₆₍₆₎ и EIV = E_6(-26) как говорят внутренний или типа ¹E₆ это означает, что их класс находится в ЧАС¹(k, E_{6, ad}) или что комплексное сопряжение индуцирует тривиальный автоморфизм на диаграмме Дынкина, тогда как две другие действительные формы называются внешний или типа ²E₆.

Над конечными полями Теорема Лэнга – Стейнберга. подразумевает, что ЧАС¹(k, E₆) = 0, что означает, что E₆ имеет ровно одну скрученную форму, известную как ²E₆: видеть ниже.

Автоморфизмы алгебры Альберта

Подобно тому, как алгебраическая группа G₂ группа автоморфизмов октонионы и алгебраическая группа F₄ группа автоморфизмов Алгебра Альберта, исключительный Йорданова алгебра, алгебраическая группа E₆ - группа линейных автоморфизмов алгебры Альберта, сохраняющих некоторую кубическую форму, называемую «определителем».^[3]

Алгебра

Диаграмма Дынкина

В Диаграмма Дынкина для E₆ дан кем-то , который также можно нарисовать как .

Корни E₆

72 вершины 1₂₂ многогранник представляют собой корневые векторы E₆, как показано в этом Самолет Кокстера проекция. В этой проекции оранжевые вершины удвоены.
Диаграмма Кокстера-Дынкина:

Хотя они охватывать шестимерного пространства, гораздо более симметрично рассматривать их как векторов в шестимерном подпространстве девятимерного пространства. Тогда можно пустить корни в

(1,−1,0;0,0,0;0,0,0), (−1,1,0;0,0,0;0,0,0),

(−1,0,1;0,0,0;0,0,0), (1,0,−1;0,0,0;0,0,0),

(0,1,−1;0,0,0;0,0,0), (0,−1,1;0,0,0;0,0,0),

(0,0,0;1,−1,0;0,0,0), (0,0,0;−1,1,0;0,0,0),

(0,0,0;−1,0,1;0,0,0), (0,0,0;1,0,−1;0,0,0),

(0,0,0;0,1,−1;0,0,0), (0,0,0;0,−1,1;0,0,0),

(0,0,0;0,0,0;1,−1,0), (0,0,0;0,0,0;−1,1,0),

(0,0,0;0,0,0;−1,0,1), (0,0,0;0,0,0;1,0,−1),

(0,0,0;0,0,0;0,1,−1), (0,0,0;0,0,0;0,−1,1),

плюс все 27 комбинаций ${ Displaystyle ( mathbf {3}; mathbf {3}; mathbf {3})}$ куда ${ displaystyle mathbf {3}}$ один из ${ displaystyle left ({ frac {2} {3}}, - { frac {1} {3}}, - { frac {1} {3}} right), left (- { frac {1} {3}}, { frac {2} {3}}, - { frac {1} {3}} right), left (- { frac {1} {3} }, - { frac {1} {3}}, { frac {2} {3}} right),}$плюс все 27 комбинаций ${ displaystyle ({ bar { mathbf {3}}}; { bar { mathbf {3}}}; { bar { mathbf {3}}})}$ куда ${ displaystyle { bar { mathbf {3}}}}$ один из ${ displaystyle left (- { frac {2} {3}}, { frac {1} {3}}, { frac {1} {3}} right), left ({ frac {1} {3}}, - { frac {2} {3}}, { frac {1} {3}} right), left ({ frac {1} {3}}, { frac {1} {3}}, - { frac {2} {3}} right).}$

Простые корни

Один из возможных вариантов выбора простых корней E6:

(0,0,0;0,0,0;0,1,−1)

(0,0,0;0,0,0;1,−1,0)

(0,0,0;0,1,−1;0,0,0)

(0,0,0;1,−1,0;0,0,0)

(0,1,−1;0,0,0;0,0,0)

${ displaystyle left ({ frac {1} {3}}, - { frac {2} {3}}, { frac {1} {3}}; - { frac {2} {3}) }, { frac {1} {3}}, { frac {1} {3}}; - { frac {2} {3}}, { frac {1} {3}}, { frac {1} {3}} right)}$

График E6 как подгруппа E8 в проекции на плоскость Кокстера

Диаграмма Хассе E6 корневой посет с краевыми метками, определяющими добавленную простую корневую позицию

Корни E6, полученные из корней E8

E₆ подмножество E₈ где согласованный набор из трех координат равны (например, первая или последняя). Это облегчает явное определение E₇ и E₆ в качестве:

E₇ = {α ∈ Z⁷ ∪ (Z+½)⁷ : ∑α_я² + α₁² = 2, ∑α_я + α₁ ∈ 2Z},

E₆ = {α ∈ Z⁶ ∪ (Z+½)⁶ : ∑α_я² + 2α₁² = 2, ∑α_я + 2α₁ ∈ 2Z}

Следующие 72 корня E6 получаются таким образом из разделенных вещественных даже корни E8. Обратите внимание, что последние 3 измерения совпадают с обязательными:

Альтернативное описание

Альтернативное (6-мерное) описание корневой системы, которое полезно при рассмотрении E₆ × SU (3) как подгруппа E₈, это следующее:

Все ${ displaystyle 4 times { begin {pmatrix} 5 2 end {pmatrix}}}$ перестановки

${ Displaystyle ( pm 1, pm 1,0,0,0,0)}$ сохранение нуля при последней записи,

и все следующие корни с нечетным числом знаков плюс

${ displaystyle left ( pm {1 over 2}, pm {1 over 2}, pm {1 over 2}, pm {1 over 2}, pm {1 over 2} , pm {{ sqrt {3}} over 2} right).}$

Таким образом, 78 образующих состоят из следующих подалгебр:

45-мерная подалгебра SO (10), включая указанную выше ${ displaystyle 4 times { begin {pmatrix} 5 2 end {pmatrix}}}$ генераторы плюс пять Генераторы Картана соответствует первым пяти записям.

Две 16-мерные подалгебры, трансформирующиеся как Спинор Вейля из ${ displaystyle operatorname {spin} (10)}$ и его комплексно сопряженный. Они имеют ненулевую последнюю запись.

1 генератор, который является их генератором хиральности, и является шестым Генератор Картана.

Один выбор простые корни для E₆ задается строками следующей матрицы, индексированной в порядке :

${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 - { frac {1} {2}} & - { frac {1} { 2}} & - { frac {1} {2}} & - { frac {1} {2}} & - { frac {1} {2}} & { frac { sqrt {3}} {2}} 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 end {smallmatrix}} right]}$

Группа Вейля

В Группа Вейля из E₆ имеет порядок 51840: это автоморфизм группа уникальных простая группа заказа 25920 (который может быть описан как любой из: PSU₄(2), PSΩ₆⁻(2), PSp₄(3) или PSΩ₅(3)).^[4]

Матрица Картана

${ displaystyle left [{ begin {smallmatrix} 2 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 - 1 & 2 & -1 & 0 & 0 & 0 0 & -1 & 2 & -1 & 0 & -1 0 & 0 & -1 & 2 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & -1 & 2 & 0 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 2 end { smallmatrix}} right]}$

Важные подалгебры и представления

Алгебра Ли E₆ имеет F₄ подалгебра, которая является фиксированной подалгеброй внешнего автоморфизма, и подалгеброй SU (3) × SU (3) × SU (3). Другие максимальные подалгебры, которые имеют важное значение в физике (см. Ниже) и могут быть прочитаны с диаграммы Дынкина, - это алгебры SO (10) × U (1) и SU (6) × SU (2).

Помимо 78-мерного присоединенного представления, есть два двойственных 27-мерные "векторные" представления.

Характеры конечномерных представлений вещественных и комплексных алгебр Ли и групп Ли задаются Формула характера Вейля. Размерности наименьших неприводимых представлений равны (последовательность A121737 в OEIS ):

1, 27 (дважды), 78, 351 (четыре раза), 650, 1728 г. (дважды), 2430, 2925, 3003 (дважды), 5824 (дважды), 7371 (дважды), 7722 (дважды), 17550 (дважды), 19305 (четыре раза), 34398 (дважды), 34749, 43758, 46332 (дважды), 51975 (дважды), 54054 (дважды), 61425 (дважды), 70070, 78975 (дважды), 85293, 100386 (дважды), 105600, 112320 (дважды), 146432 (дважды), 252252 (дважды), 314496 (дважды), 359424 (четыре раза), 371800 (дважды), 386100 (дважды), 393822 (дважды), 412776 (дважды), 442442 (дважды)…

Подчеркнутые члены в приведенной выше последовательности - это размерности тех неприводимых представлений, которыми обладает присоединенная форма E₆ (эквивалентно, те, веса которых принадлежат решетке корней E₆), а полная последовательность дает размерности неприводимых представлений односвязной формы E₆.

Симметрия диаграммы Дынкина E₆ объясняет, почему многие измерения встречаются дважды, причем соответствующие представления связаны нетривиальным внешним автоморфизмом; однако иногда существует даже больше представлений, чем это, например, четыре размера 351, два из которых являются фундаментальными, а два - нет.

В фундаментальные представления имеют размеры 27, 351, 2925, 351, 27 и 78 (соответствуют шести узлам в Диаграмма Дынкина в порядке, выбранном для Матрица Картана выше, т.е. узлы считываются первыми в цепочке из пяти узлов, причем последний узел подключается к среднему).

Многогранник E6

В E₆ многогранник это выпуклый корпус корней E₆. Следовательно, он существует в шести измерениях; это группа симметрии содержит Группа Коксетера для E₆ как индекс 2 подгруппа.

Группы Шевалле и Стейнберга типа E₆ и ²E₆

Группы типа E₆ над произвольными полями (в частности, конечными полями) были введены Диксоном (1901, 1908 ).

Точки над конечное поле с q элементы (расщепленной) алгебраической группы E₆ (видеть над ), будь то сопряженной (бесцентровой) или односвязной формы (ее алгебраическое универсальное покрытие), дают конечную Группа Шевалле. Это тесно связано с группой, написанной E₆(q), однако в этих обозначениях есть двусмысленность, которая может означать несколько вещей:

• конечная группа, состоящая из точек над F_q односвязной формы E₆ (для наглядности можно написать E_{6, сбн}(q) или реже ${ displaystyle { tilde {E}} _ {6} (q)}$ и известна как «универсальная» группа Шевалле типа E₆ над F_q),
• (редко) конечная группа, состоящая из точек над F_q присоединенной формы E₆ (для наглядности можно написать E_{6, ad}(q) и известна как «присоединенная» группа Шевалле типа E₆ над F_q), или же
• конечная группа, которая является образом естественного отображения от первого к последнему: это то, что будет обозначаться E₆(q) в дальнейшем, как это обычно бывает в текстах, посвященных конечным группам.

С точки зрения конечных групп, отношения между этими тремя группами, которые вполне аналогичны отношениям между SL (п, д), PGL (п, д) и PSL (п, д), можно резюмировать следующим образом: E₆(q) прост для любого q, E_{6, сбн}(q) это его Обложка Schur, а E_{6, ad}(q) лежит в своей группе автоморфизмов; кроме того, когда q−1 не делится на 3, все три совпадают, иначе (когда q сравнимо с 1 mod 3), множитель Шура E₆(q) равно 3 и E₆(q) имеет индекс 3 в E_{6, ad}(q), что объясняет, почему E_{6, сбн}(q) и E_{6, ad}(q) часто записываются как 3 · E₆(q) и E₆(q) · 3. С точки зрения алгебраической группы, для E₆(q) для обозначения конечной простой группы, поскольку последняя не является естественным образом множеством точек алгебраической группы над F_q в отличие от E_{6, сбн}(q) и E_{6, ad}(q).

Помимо этой «расщепленной» (или «раскрученной») формы E₆, существует еще одна форма E₆ над конечным полем F_q, известный как ²E₆, который получается скручиванием на нетривиальный автоморфизм диаграммы Дынкина E₆. Конкретно, ²E₆(q), известную как группа Стейнберга, можно рассматривать как подгруппу в E₆(q²) фиксируется композицией нетривиального диаграммного автоморфизма и нетривиального полевого автоморфизма F_q². Скручивание не меняет того факта, что алгебраическая фундаментальная группа ²E_{6, ad} является Z/3Z, но это меняет q для чего покрытие ²E_{6, ad} к ²E_{6, сбн} нетривиальна на F_q-точки. Именно так: ²E_{6, сбн}(q) является покрытием ²E₆(q), и ²E_{6, ad}(q) лежит в своей группе автоморфизмов; когда q+1 не делится на 3, все три совпадают, в противном случае (когда q конгруэнтно 2 mod 3), степень ²E_{6, сбн}(q) над ²E₆(q) равно 3 и ²E₆(q) имеет индекс 3 в ²E_{6, ad}(q), что объясняет, почему ²E_{6, сбн}(q) и ²E_{6, ad}(q) часто записываются как 3 ·²E₆(q) и ²E₆(q)·3.

В отношении групп следует поднять два вопроса об обозначениях. ²E₆(q). Во-первых, это иногда пишут ²E₆(q²), преимущество которой заключается в том, что ее легче транспонировать в группы Сузуки и Ри, но есть недостаток в том, что она отличается от записи для F_q-точки алгебраической группы. Другое дело, что ²E_{6, сбн}(q) и ²E_{6, ad}(q) являются F_q-точки алгебраической группы, рассматриваемая группа также зависит от q (например, точки над F_q² той же группы - раскрученные E_{6, сбн}(q²) и E_{6, ad}(q²)).

Группы E₆(q) и ²E₆(q) просты для любых q,^[5][6] и составляют два из бесконечных семейств в классификация конечных простых групп. Их порядок задается следующей формулой (последовательность A008872 в OEIS ):

${ displaystyle | E_ {6} (q) | = { frac {1} { mathrm {gcd} (3, q-1)}} q ^ {36} (q ^ {12} -1) (q ^ {9} -1) (q ^ {8} -1) (q ^ {6} -1) (q ^ {5} -1) (q ^ {2} -1)}$

${ displaystyle | {} ^ {2} ! E_ {6} (q) | = { frac {1} { mathrm {gcd} (3, q + 1)}} q ^ {36} (q ^ {12} -1) (q ^ {9} +1) (q ^ {8} -1) (q ^ {6} -1) (q ^ {5} +1) (q ^ {2} -1 )}$

(последовательность A008916 в OEIS ). Порядок E_{6, сбн}(q) или E_{6, ad}(q) (оба равны) можно получить, удалив коэффициент деления gcd (3,q−1) из первой формулы (последовательность A008871 в OEIS ), а порядок ²E_{6, сбн}(q) или же ²E_{6, ad}(q) (оба равны) можно получить, удалив коэффициент деления gcd (3,q+1) со второй (последовательность A008915 в OEIS ).

Множитель Шура для E₆(q) всегда gcd (3,q−1) (т.е. E_{6, сбн}(q) его покрытие Шура). Множитель Шура ²E₆(q) является gcd (3,q+1) (т.е. ²E_{6, сбн}(q) - его покрытие Шура) вне исключительного случая q= 2, где это 2²· 3 (т.е. есть еще 2²-складная крышка). Группа внешних автоморфизмов E₆(q) - произведение группы диагональных автоморфизмов Z/ gcd (3,q−1)Z (задается действием E_{6, ad}(q)), группа Z/2Z диаграммных автоморфизмов и группу полевых автоморфизмов (т. е. циклических ж если q=п^ж куда п простое). Группа внешних автоморфизмов ²E₆(q) - произведение группы диагональных автоморфизмов Z/ gcd (3,q+1)Z (дается действием ²E_{6, ad}(q)) и группу полевых автоморфизмов (т. е. циклических порядка ж если q=п^ж куда п простое).

Важность в физике

Образец слабый изоспин, W, более слабый изоспин, W′, сильный грамм3 и грамм8, а барион минус лептон, B, заряды для частиц в ТАК (10) Теория Великого Объединения, повернут, чтобы показать вложение в E₆.

N = 8 супергравитация в пяти измерениях, что является уменьшение размеров из 11 размерная супергравитация, допускает E₆ бозонная глобальная симметрия и Sp (8) бозонный локальная симметрия. Фермионы находятся в представлениях Sp (8), калибровочные поля находятся в представлении E₆, а скаляры являются представлением обоих (гравитоны майки по отношению к обоим). Физические состояния в представлениях смежного класса E₆/ Sp (8).

В теории великого объединения, E₆ появляется как возможная калибровочная группа, которая после своего ломка, рождает SU (3) × SU (2) × U (1) группа датчиков из стандартная модель. Один из способов добиться этого - взломать ТАК (10) × U (1). Смежный 78 представление разбивается, как объяснялось выше, на присоединенный 45, спинор 16 и 16 а также синглет ТАК (10) подалгебра. В том числе U (1) заряд у нас есть

${ displaystyle 78 rightarrow 45_ {0} oplus 16 _ {- 3} oplus { overline {16}} _ {3} + 1_ {0}.}$

Где нижний индекс обозначает U (1) обвинять.

Точно так же фундаментальное представление 27 и его сопряженный 27 разбить на скаляр 1, вектор 10 и спинор, либо 16 или же 16:

${ displaystyle 27 rightarrow 1_ {4} oplus 10 _ {- 2} oplus 16_ {1},}$

${ displaystyle { bar {27}} rightarrow 1 _ {- 4} oplus 10_ {2} oplus { overline {16}} _ {- 1}.}$

Таким образом, можно получить элементарные фермионы Стандартной модели и бозон Хиггса.

Смотрите также

• En (алгебра Ли)
• Классификация ADE
• Магический квадрат Фройденталя

Рекомендации

• Адамс, Дж. Франк (1996), Лекции об исключительных группах Ли, Чикагские лекции по математике, Издательство Чикагского университета, ISBN  978-0-226-00526-3, МИСТЕР  1428422.
• Баэз, Джон (2002). "Октонионы, Раздел 4.4: E₆". Бык. Амер. Математика. Soc. 39 (2): 145–205. arXiv:математика / 0105155. Дои:10.1090 / S0273-0979-01-00934-X. ISSN  0273-0979. Онлайн-версия HTML по адресу [1].
• Cremmer, E .; Дж. Шерк; Дж. Х. Шварц (1979). «Спонтанно нарушенная N = 8 супергравитация». Phys. Lett. B. 84 (1): 83–86. Bibcode:1979ФЛБ ... 84 ... 83С. Дои:10.1016/0370-2693(79)90654-3. Отсканированная онлайн-версия по адресу [2]^{[постоянная мертвая ссылка ]}.
• Диксон, Леонард Юджин (1901), «Класс групп в произвольной области, связанный с конфигурацией 27 линий на кубической поверхности», Ежеквартальный журнал чистой и прикладной математики, 33: 145–173, перепечатано в томе V его собрания сочинений.
• Диксон, Леонард Юджин (1908), «Класс групп в произвольной области, связанный с конфигурацией 27 линий на кубической поверхности (вторая статья)», Ежеквартальный журнал чистой и прикладной математики, 39: 205–209, ISBN  9780828403061, перепечатанный в томе VI его собрания сочинений.
• Ичиро, Йокота (2009). «Исключительные группы Ли». arXiv:0902.0431 [math.DG ].