Теория представлений группы Лоренца - Representation theory of the Lorentz group

Хендрик Антун Лоренц (справа) после кого Группа Лоренца назван и Альберт Эйнштейн чей специальная теория относительности является основным источником приложения. Фотография сделана Поль Эренфест 1921.

В Группа Лоренца это Группа Ли симметрий пространство-время из специальная теория относительности. Эта группа может быть реализована как совокупность матрицы, линейные преобразования, или же унитарные операторы на некоторых Гильбертово пространство; он имеет множество представления.^{[nb 1]} Эта группа значима, потому что специальная теория относительности вместе с квантовая механика это две наиболее тщательно обоснованные физические теории,^{[nb 2]} и соединение этих двух теорий - изучение бесконечномерных унитарных представлений группы Лоренца. Они имеют как историческое значение для основной физики, так и связаны с более спекулятивными современными теориями.

Разработка

Полная теория конечномерных представлений Алгебра Ли группы Лоренца выводится с использованием общих рамок теории представлений полупростые алгебры Ли. Конечномерные представления связной компоненты ${ Displaystyle { текст {SO}} (3; 1) ^ {+}}$ полной группы Лоренца $О (3; 1)$ получаются за счет использования Ложная переписка и матрица экспонента. Полная конечномерная теория представлений универсальная группа покрытий (а также вращательная группа, двойная крышка) ${ displaystyle { text {SL}} (2, mathbb {C})}$ из ${ Displaystyle { текст {SO}} (3; 1) ^ {+}}$ получается и явно задается в терминах действия на функциональном пространстве в представления ${ displaystyle { text {SL}} (2, mathbb {C})}$ и ${ Displaystyle { mathfrak {sl}} (2, mathbb {C})}$ . Представители разворот времени и космическая инверсия даны в пространственная инверсия и обращение времени, завершая конечномерную теорию для полной группы Лоренца. Генерал свойства (м, п) представления очерчены. Действие над функциональными пространствами считается, с действием на сферические гармоники и P-функции Римана появляясь в качестве примеров. Бесконечномерный случай неприводимых унитарных представлений реализуется для ${ displaystyle { text {SL}} (2, mathbb {C})}$ основная серия и дополнительная серия. Наконец, Формула планшереля за ${ displaystyle { text {SL}} (2, mathbb {C})}$ дано, и представления $ТАК (3, 1)$ находятся классифицированный и реализован для алгебр Ли.

Развитие теории представлений исторически следовало за развитием более общей теории теории представлений полупростые группы, во многом благодаря Эли Картан и Герман Вейль, но группа Лоренца также получила особое внимание из-за ее важности в физике. Известные участники - физики Э. П. Вигнер и математик Валентин Баргманн с их Программа Баргманна – Вигнера,^[1] один вывод из которого, грубо говоря, Классификация всех унитарных представлений неоднородной группы Лоренца сводится к классификации всех возможных релятивистских волновых уравнений.^[2] Классификация неприводимых бесконечномерных представлений группы Лоренца была установлена Поль Дирак докторант теоретической физики, Хариш-Чандра, позже ставший математиком,^{[№ 3]} в 1947 г. Соответствующая классификация для ${ Displaystyle mathrm {SL} (2, mathbb {C})}$ был опубликован независимо Баргманном и Израиль Гельфанд вместе с Марк Наймарк в том же году.

Приложения

Многие представления, как конечномерные, так и бесконечномерные, важны в теоретической физике. Представления появляются в описании полей в классическая теория поля, самое главное электромагнитное поле, и из частицы в релятивистская квантовая механика, а также частиц и квантовых полей в квантовая теория поля и различных объектов в теория струн и дальше. Теория представлений также обеспечивает теоретическое обоснование концепции вращение. Теория входит в общая теория относительности в том смысле, что в достаточно малых областях пространства-времени физика относится к специальной теории относительности.^[3]

Конечномерные неприводимые неунитарные представления вместе с неприводимыми бесконечномерными унитарными представлениями неоднородный Группа Лоренца, группа Пуанкаре - это представления, которые имеют прямое физическое значение.^[4]^[5]

Бесконечномерные унитарные представления группы Лоренца появляются следующим образом: ограничение неприводимых бесконечномерных унитарных представлений группы Пуанкаре, действующих на Гильбертовы пространства из релятивистская квантовая механика и квантовая теория поля. Но они также представляют математический интерес и потенциал прямая физическая релевантность в других ролях, кроме простого ограничения.^[6] Были спекулятивные теории,^[7]^[8] (тензоры и спиноры имеют бесконечные аналоги в экспансоры Дирака и экспиноры Хариш-Чандры) в соответствии с теорией относительности и квантовой механикой, но они не нашли доказанного физического применения. Современные спекулятивные теории потенциально имеют аналогичные ингредиенты, как показано ниже.

Классическая теория поля

В то время как электромагнитное поле вместе с гравитационное поле являются единственными классическими полями, обеспечивающими точное описание природы, другие типы классических полей также важны. В подходе к квантовая теория поля (QFT) называемый второе квантование, отправной точкой является одно или несколько классических полей, где, например, волновые функции, решающие Уравнение Дирака считаются классическими полями прежний к (второму) квантованию.^[9] В то время как второе квантование и Лагранжев формализм связанный с этим не является фундаментальным аспектом QFT,^[10] дело в том, что до сих пор все квантовые теории поля можно подходить таким образом, включая стандартная модель.^[11] В этих случаях существуют классические версии уравнений поля, следующие из Уравнения Эйлера – Лагранжа. полученный из лагранжиана с помощью принцип наименьшего действия. Эти уравнения поля должны быть релятивистски инвариантными, а их решения (которые будут квалифицироваться как релятивистские волновые функции в соответствии с определением ниже) должны преобразовываться в соответствии с некоторым представлением группы Лоренца.

Действие группы Лоренца на пространстве конфигурации поля (конфигурация поля - это пространственно-временная история конкретного решения, например, электромагнитное поле во всем пространстве за все время один конфигурация поля) напоминает действие в гильбертовых пространствах квантовой механики, за исключением того, что кронштейны коммутатора заменены теоретико-полевыми Скобки Пуассона.^[9]

Релятивистская квантовая механика

Для настоящих целей дается следующее определение:^[12] А релятивистская волновая функция это набор $п$ функции $ψ α$ на пространстве-времени, которое преобразуется при произвольном собственном преобразовании Лоренца $Λ$ в качестве

{ Displaystyle psi '^ { alpha} (x) = D {[ Lambda] ^ { alpha}} _ { beta} psi ^ { beta} left ( Lambda ^ {- 1} x верно),}

куда $D [Λ]$ является $п$ -мерная матрица, представляющая $Λ$ принадлежащий некоторой прямой сумме $(м, п)$ представления, которые будут введены ниже.

Самая полезная релятивистская квантовая механика одночастичный теории (полностью согласованных таких теорий нет) являются Уравнение Клейна – Гордона^[13] и Уравнение Дирака^[14] в исходной обстановке. Они релятивистски инвариантны, и их решения преобразуются под действием группы Лоренца как Скаляры Лоренца ( $(м, п) = (0, 0)$ ) и биспиноры соответственно ( $(0, 1 / 2) \oplus (1 / 2, 0)$ ). Согласно этому определению, электромагнитное поле является релятивистской волновой функцией, преобразующейся при $(1, 0) \oplus (0, 1)$ .^[15]

Бесконечномерные представления могут быть использованы при анализе рассеяния.^[16]

Квантовая теория поля

В квантовая теория поля, требование релятивистской инвариантности входит, среди прочего, в то, что S-матрица обязательно должен быть инвариантом Пуанкаре.^[17] Отсюда следует, что существует одно или несколько бесконечномерных представлений группы Лоренца, действующих на Пространство фока.^{[№ 4]} Один из способов гарантировать существование таких представлений - это наличие лагранжевого описания (с наложенными скромными требованиями, см. Ссылку) системы с использованием канонического формализма, из которого может быть выведена реализация генераторов группы Лоренца.^[18]

Преобразования полевых операторов иллюстрируют дополнительную роль, которую играют конечномерные представления группы Лоренца и бесконечномерные унитарные представления группы Пуанкаре, свидетельствуя о глубоком единстве между математикой и физикой.^[19] Для иллюстрации рассмотрим определение $п$ -компонент полевой оператор:^[20] Оператор релятивистского поля - это набор $п$ операторнозначные функции в пространстве-времени, которые преобразуются при соответствующих преобразованиях Пуанкаре $(Λ, а)$ в соответствии с^[21]^[22]

{ Displaystyle Psi ^ { alpha} (x) to Psi '^ { alpha} (x') = U [ Lambda, a] Psi ^ { alpha} (x) U ^ {- 1 } left [ Lambda, a right] = D { left [ Lambda ^ {- 1} right] ^ { alpha}} _ { beta} Psi ^ { beta} ( Lambda x + а)}

Здесь $U [Λ, а]$ унитарный оператор, представляющий $(Λ, а)$ на гильбертовом пространстве, на котором $Ψ$ определяется и $D$ является $п$ -мерное представление группы Лоренца. Правило трансформации - это вторая аксиома Вайтмана квантовой теории поля.

Из соображений дифференциальных связей, которым должен быть наложен оператор поля, чтобы описать одиночную частицу с определенной массой $м$ и вращать $s$ (или спиральность), делается вывод, что^[23]^{[№ 5]}

{ Displaystyle Psi ^ { alpha} (x) = sum _ { sigma} int dp left (a ( mathbf {p}, sigma) u ^ { alpha} ( mathbf {p} , sigma) e ^ {ip cdot x} + a ^ { dagger} ( mathbf {p}, sigma) v ^ { alpha} ( mathbf {p}, sigma) e ^ {- ip cdot x} right),}

(X1)

куда $а †, а$ интерпретируются как операторы создания и уничтожения соответственно. Оператор создания $а †$ трансформируется в соответствии с^[23]^[24]

{ displaystyle a ^ { dagger} ( mathbf {p}, sigma) rightarrow a '^ { dagger} left ( mathbf {p}', sigma right) = U [ Lambda] a ^ { dagger} ( mathbf {p}, sigma) U left [ Lambda ^ {- 1} right] = a ^ { dagger} ( Lambda mathbf {p}, rho) D ^ {(s)} { left [R ( Lambda, mathbf {p}) ^ {- 1} right] ^ { rho}} _ { sigma},}

и аналогично для оператора уничтожения. Следует отметить, что оператор поля преобразуется в соответствии с конечномерным неунитарным представлением группы Лоренца, в то время как оператор рождения преобразуется в соответствии с бесконечномерным унитарным представлением группы Пуанкаре, характеризуемой массой и спином $(м, s)$ частицы. Связь между ними - это волновые функции, также называемый коэффициентные функции

{ Displaystyle и ^ { альфа} ( mathbf {p}, sigma) е ^ {ip cdot x}, quad v ^ { alpha} ( mathbf {p}, sigma) e ^ {- ip cdot x}}

которые несут обе индексы $(Икс, α)$ с помощью преобразований Лоренца и индексов $(п, σ)$ оперируется преобразованиями Пуанкаре. Это можно назвать связностью Лоренца – Пуанкаре.^[25] Чтобы продемонстрировать связь, подчините обе части уравнения (X1) преобразованию Лоренца, приводящему, например, к $ты$ ,

{ displaystyle {D [ Lambda] ^ { alpha}} _ { alpha '} u ^ { alpha'} ( mathbf {p}, lambda) = {D ^ {(s)} [R ( Lambda, mathbf {p})] ^ { lambda '}} _ { lambda} u ^ { alpha} left ( Lambda mathbf {p}, lambda' right),}

куда $D$ является неунитарной группой Лоренца, представляющей $Λ$ и $D (s)$ является унитарным представителем так называемых Вигнер вращение $р$ связано с $Λ$ и $п$ которое происходит из представления группы Пуанкаре, и $s$ - спин частицы.

Все приведенные выше формулы, включая определение оператора поля в терминах операторов рождения и уничтожения, а также дифференциальные уравнения, которым удовлетворяет оператор поля для частицы с заданной массой, спином и $(м, п)$ представление, под которое предполагается преобразовать,^{[№ 6]} а также волновая функция, может быть получена только из теоретико-групповых соображений после того, как будут даны основы квантовой механики и специальной теории относительности.^{[№ 7]}

Спекулятивные теории

В теориях, в которых пространство-время может иметь больше, чем $D = 4$ размерности, обобщенные группы Лоренца $O (D - 1; 1)$ соответствующего размера занимают место $О (3; 1)$ .^{[№ 8]}

Требование лоренц-инвариантности проявляет, пожалуй, наиболее драматический эффект в теория струн. Классический релятивистские строки могут быть обработаны в лагранжевой структуре с помощью Действие Намбу – Гото.^[26] Это приводит к релятивистски инвариантной теории в любом измерении пространства-времени.^[27] Но, как выясняется, теория открыто и закрыто бозонные струны (простейшая теория струн) невозможно квантовать так, чтобы группа Лоренца была представлена в пространстве состояний (a Гильбертово пространство ), если размерность пространства-времени не равна 26.^[28] Соответствующий результат для теория суперструн снова выводится с требованием лоренц-инвариантности, но теперь с суперсимметрия. В этих теориях Алгебра Пуанкаре заменяется на алгебра суперсимметрии который является $Z 2$ -градуированная алгебра Ли расширение алгебры Пуанкаре. Структура такой алгебры в значительной степени определяется требованиями лоренц-инвариантности. В частности, фермионные операторы (степень $1$ ) принадлежат $(0, 1 / 2)$ или же $(1 / 2, 0)$ пространство представления (обычной) алгебры Лоренца Ли.^[29] Единственное возможное измерение пространства-времени в таких теориях - 10.^[30]

Конечномерные представления

Теория представлений групп вообще и групп Ли в частности - очень богатый предмет. Группа Лоренца обладает некоторыми свойствами, которые делают ее «приятной», а другие - «не очень приемлемой» в контексте теории представлений; группа просто и поэтому полупростой, но не связаны, и ни один из его компонентов не односвязный. Кроме того, группа Лоренца не является компактный.^[31]

Для конечномерных представлений наличие полупростоты означает, что с группой Лоренца можно работать так же, как с другими полупростыми группами, используя хорошо разработанную теорию. Кроме того, все представления построены из несводимый единицы, поскольку алгебра Ли обладает свойство полной сводимости.^{[№ 9]}^[32] Но некомпактность группы Лоренца в сочетании с отсутствием простой связности не может рассматриваться во всех аспектах, как в простой структуре, которая применяется к односвязным компактным группам. Некомпактность влечет для связной простой группы Ли отсутствие нетривиальных конечномерных унитарный представления существуют.^[33] Отсутствие простой связности порождает спиновые представления группы.^[34] Несвязность означает, что для представлений полной группы Лоренца разворот времени и космическая инверсия нужно разбираться отдельно.^[35]^[36]

История

Развитие теории конечномерных представлений группы Лоренца в основном следует развитию предмета в целом. Теория лжи возникла с Софус Ли в 1873 г.^[37]^[38] К 1888 г. классификация простых алгебр Ли был в основном завершен Вильгельм Киллинг.^[39]^[40] В 1913 г. теорема наивысшего веса для представлений простых алгебр Ли путь, по которому мы пойдем здесь, был завершен Эли Картан.^[41]^[42] Ричард Брауэр 1935–1938 гг. в значительной степени ответственны за развитие Матрицы Вейля-Брауэра описывающий, как спиновые представления алгебры Лоренца могут быть вложены в Алгебры Клиффорда.^[43]^[44] Группа Лоренца также исторически привлекала особое внимание в теории представлений, см. История бесконечномерных унитарных представлений ниже, в связи с его исключительной важностью для физики. Математики Герман Вейль^[41]^[45]^[37]^[46]^[47] и Хариш-Чандра^[48]^[49] и физики Юджин Вигнер^[50]^[51] и Валентин Баргманн^[52]^[53]^[54] внес существенный вклад как в общую теорию представлений, так и в группу Лоренца в частности.^[55] Физик Поль Дирак был, пожалуй, первым, кто явно связал все вместе в практическом применении, имеющем большое непреходящее значение, с Уравнение Дирака в 1928 г.^[56]^[57]^{[№ 10]}

Алгебра Ли

Вильгельм Киллинг, Независимый первооткрыватель Алгебры Ли. Простые алгебры Ли были впервые классифицированы им в 1888 году.

Согласно стратегия, неприводимые комплексные линейные представления комплексирование, ${ displaystyle { mathfrak {so}} (3; 1) _ { mathbb {C}}}$ алгебры Ли ${ displaystyle { mathfrak {so}} (3; 1)}$ группы Лоренца. Удобная основа для ${ displaystyle { mathfrak {so}} (3; 1)}$ дается тремя генераторы $J я$ из вращения и три генератора $K я$ из повышает. Они явно указаны в соглашения и основы алгебры Ли.

Алгебра Ли усложненный, и базис заменяется на компоненты двух его идеалов^[58]

{ displaystyle mathbf {A} = { frac { mathbf {J} + i mathbf {K}} {2}}, quad mathbf {B} = { frac { mathbf {J} -i mathbf {K}} {2}}.}

Компоненты $А = (А 1, А 2, А 3)$ и $B = (B 1, B 2, B 3)$ отдельно удовлетворить коммутационные отношения алгебры Ли ${ Displaystyle { mathfrak {су}} (2)}$ и, кроме того, они ездят друг с другом,^[59]

{ displaystyle left [A_ {i}, A_ {j} right] = i varepsilon _ {ijk} A_ {k}, quad left [B_ {i}, B_ {j} right] = i varepsilon _ {ijk} B_ {k}, quad left [A_ {i}, B_ {j} right] = 0,}

куда $я, j, k$ индексы, каждый из которых принимает значения $1, 2, 3$ , и $ε ijk$ это трехмерный Символ Леви-Чивита. Позволять ${ displaystyle mathbf {A} _ { mathbb {C}}}$ и ${ displaystyle mathbf {B} _ { mathbb {C}}}$ обозначим комплекс линейный пролет из $А$ и $B$ соответственно.

Есть изоморфизмы^[60]^{[№ 11]}

{ displaystyle { begin {align} { mathfrak {so}} (3; 1) hookrightarrow { mathfrak {so}} (3; 1) _ { mathbb {C}} & cong mathbf {A } _ { mathbb {C}} oplus mathbf {B} _ { mathbb {C}} cong { mathfrak {su}} (2) _ { mathbb {C}} oplus { mathfrak { su}} (2) _ { mathbb {C}} [5pt] & cong { mathfrak {sl}} (2, mathbb {C}) oplus { mathfrak {sl}} (2, mathbb {C}) [5pt] & cong { mathfrak {sl}} (2, mathbb {C}) oplus i { mathfrak {sl}} (2, mathbb {C}) = { mathfrak {sl}} (2, mathbb {C}) _ { mathbb {C}} hookleftarrow { mathfrak {sl}} (2, mathbb {C}), end {выровнено}}}

(A1)

куда ${ Displaystyle { mathfrak {sl}} (2, mathbb {C})}$ усложнение ${ displaystyle { mathfrak {su}} (2) cong mathbf {A} cong mathbf {B}.}$

Полезность этих изоморфизмов заключается в том, что все неприводимые представления ${ Displaystyle { mathfrak {су}} (2)}$ , а значит (см. стратегия ) все неприводимые комплексные линейные представления ${ Displaystyle { mathfrak {sl}} (2, mathbb {C}),}$ известны. Согласно окончательному заключению в стратегия, неприводимое комплексное линейное представление ${ Displaystyle { mathfrak {sl}} (2, mathbb {C})}$ изоморфен одному из представления наивысшего веса. Они явно указаны в комплексные линейные представления ${ displaystyle { mathfrak {sl}} (2, mathbb {C}).}$

Унитарный трюк

Герман Вейль, изобретатель унитарный трюк. В теории представлений имени Вейля существует несколько концепций и формул, например то Группа Вейля и Формула характера Вейля.

Фото любезно предоставлено ETH-Bibliothek Zürich, Bildarchiv^{[постоянная мертвая ссылка ]}

Алгебра Ли ${ Displaystyle { mathfrak {sl}} (2, mathbb {C}) oplus { mathfrak {sl}} (2, mathbb {C})}$ является алгеброй Ли ${ displaystyle { text {SL}} (2, mathbb {C}) times { text {SL}} (2, mathbb {C}).}$ Он содержит компактную подгруппу $СУ (2) \times СУ (2)$ с алгеброй Ли ${ displaystyle { mathfrak {su}} (2) oplus { mathfrak {su}} (2).}$ Последний представляет собой компактную действительную форму ${ displaystyle { mathfrak {sl}} (2, mathbb {C}) oplus { mathfrak {sl}} (2, mathbb {C}).}$ Таким образом, из первое заявление унитарного трюка, представления $СУ (2) \times СУ (2)$ находятся во взаимно однозначном соответствии с голоморфными представлениями ${ displaystyle { text {SL}} (2, mathbb {C}) times { text {SL}} (2, mathbb {C}).}$

По компактности, Теорема Питера – Вейля относится к $СУ (2) \times СУ (2)$ ,^[61] и, следовательно, ортонормированность неприводимые персонажи можно обжаловать. Неприводимые унитарные представления $СУ (2) \times СУ (2)$ точно тензорные произведения неприводимых унитарных представлений $SU (2)$ .^[62]

Обращаясь к простой связности, второе заявление применяется унитарный трюк. Объекты в следующем списке находятся во взаимно однозначном соответствии:

Голоморфные представления ${ displaystyle { text {SL}} (2, mathbb {C}) times { text {SL}} (2, mathbb {C})}$
Гладкие представления $СУ (2) \times СУ (2)$
Реальные линейные представления ${ Displaystyle { mathfrak {су}} (2) oplus { mathfrak {су}} (2)}$
Комплексные линейные представления ${ Displaystyle { mathfrak {sl}} (2, mathbb {C}) oplus { mathfrak {sl}} (2, mathbb {C})}$

Тензорные произведения представлений появляются на уровне алгебры Ли как одно из^{[№ 12]}

{ displaystyle { begin {align} pi _ {1} otimes pi _ {2} (X) & = pi _ {1} (X) otimes mathrm {Id} _ {V} + mathrm {Id} _ {U} otimes pi _ {2} (X) && X in { mathfrak {g}} pi _ {1} otimes pi _ {2} (X, Y) & = pi _ {1} (X) otimes mathrm {Id} _ {V} + mathrm {Id} _ {U} otimes pi _ {2} (Y) && (X, Y) в { mathfrak {g}} oplus { mathfrak {g}} end {align}}}

(A0)

куда $Идентификатор$ - тождественный оператор. Здесь последняя интерпретация, вытекающая из (G6), предназначен. Представления наивысшего веса ${ Displaystyle { mathfrak {sl}} (2, mathbb {C})}$ индексируются $μ$ за $μ = 0, 1/2, 1, ...$ . (На самом деле самые высокие веса $2 μ = 0, 1, 2, ...$ , но здесь обозначения адаптированы к ${ displaystyle { mathfrak {so}} (3; 1).}$ ) Тензорные произведения двух таких комплексных линейных множителей затем образуют неприводимые комплексные линейные представления ${ displaystyle { mathfrak {sl}} (2, mathbb {C}) oplus { mathfrak {sl}} (2, mathbb {C}).}$

Наконец, ${ Displaystyle mathbb {R}}$ -линейные представления реальные формы крайнего левого, ${ displaystyle { mathfrak {so}} (3; 1)}$ , и крайний правый, ${ Displaystyle { mathfrak {sl}} (2, mathbb {C}),}$ ^{[№ 13]} в (A1) получены из ${ displaystyle mathbb {C}}$ -линейные представления ${ Displaystyle { mathfrak {sl}} (2, mathbb {C}) oplus { mathfrak {sl}} (2, mathbb {C})}$ охарактеризовано в предыдущем абзаце.

(μ, ν) -представления sl (2, C)

Комплексные линейные представления комплексификации ${ displaystyle { mathfrak {sl}} (2, mathbb {C}), { mathfrak {sl}} (2, mathbb {C}) _ { mathbb {C}},}$ получаются изоморфизмами в (A1), находятся во взаимно однозначном соответствии с действительными линейными представлениями ${ displaystyle { mathfrak {sl}} (2, mathbb {C}).}$ ^[63] Набор всех реальный линейный неприводимые представления ${ Displaystyle { mathfrak {sl}} (2, mathbb {C})}$ таким образом индексируются парой $(μ, ν)$ . Комплексные линейные, точно соответствующие комплексификации действительных линейных ${ Displaystyle { mathfrak {су}} (2)}$ представления, имеют вид $(μ, 0)$ , а сопряженные линейные - $(0, ν)$ .^[63] Все остальные только линейные. Свойства линейности следуют из канонической инъекции, крайнего правого в (A1), из ${ Displaystyle { mathfrak {sl}} (2, mathbb {C})}$ в его усложнение. Представления на форме $(ν, ν)$ или же $(μ, ν) \oplus (ν, μ)$ даны настоящий матрицы (последние не являются неприводимыми). Явно реальная линейная $(μ, ν)$ -представления ${ Displaystyle { mathfrak {sl}} (2, mathbb {C})}$ находятся

{ displaystyle varphi _ { mu, nu} (X) = left ( varphi _ { mu} otimes { overline { varphi _ { nu}}} right) (X) = varphi _ { mu} (X) otimes operatorname {Id} _ { nu +1} + operatorname {Id} _ { mu +1} otimes { overline { varphi _ { nu} ( X)}}, qquad X in { mathfrak {sl}} (2, mathbb {C})}

куда ${ displaystyle varphi _ { mu}, mu = 0, { tfrac {1} {2}}, 1, { tfrac {3} {2}}, ldots}$ - комплексные линейные неприводимые представления ${ Displaystyle { mathfrak {sl}} (2, mathbb {C})}$ и ${ displaystyle { overline { varphi _ { nu}}}, nu = 0, { tfrac {1} {2}}, 1, { tfrac {3} {2}}, ldots}$ их комплексно сопряженные представления. (Обозначение обычно в математической литературе $0, 1, 2, \dots$ , но здесь выбраны полуцелые числа, чтобы соответствовать разметке для ${ displaystyle { mathfrak {so}} (3,1)}$ Алгебра Ли.) Здесь тензорное произведение интерпретируется в прежнем смысле (A0). Эти представления конкретно реализованный ниже.

(м, п) -представления so (3; 1)

Через отображаемые изоморфизмы в (A1) и знание сложных линейных неприводимых представлений ${ Displaystyle { mathfrak {sl}} (2, mathbb {C}) oplus { mathfrak {sl}} (2, mathbb {C})}$ после решения для $J$ и $K$ , все неприводимые представления ${ displaystyle { mathfrak {so}} (3; 1) _ { mathbb {C}},}$ и, по ограничению, ${ displaystyle { mathfrak {so}} (3; 1)}$ получены. Представления ${ displaystyle { mathfrak {so}} (3; 1)}$ полученные таким образом, являются вещественно-линейными (а не комплексными или сопряженными линейными), поскольку алгебра не замкнута при сопряжении, но они по-прежнему неприводимы.^[60] С ${ displaystyle { mathfrak {so}} (3; 1)}$ является полупростой,^[60] все его представления могут быть построены как прямые суммы неприводимых.

Таким образом, конечномерные неприводимые представления алгебры Лоренца классифицируются упорядоченной парой полуцелых чисел $м = μ$ и $п = ν$ , условно записываемый как один из

{ Displaystyle (м, п) эквив пи _ {(м, п)}: { mathfrak {so}} (3; 1) к { mathfrak {gl}} (V),}

куда $V$ - конечномерное векторное пространство. Это, до преобразование подобия, однозначно заданный^{[№ 14]}

{ displaystyle { begin {align} pi _ {(m, n)} (J_ {i}) & = 1 _ {(2m + 1)} иногда J_ {i} ^ {(n)} + J_ { i} ^ {(m)} otimes 1 _ {(2n + 1)} pi _ {(m, n)} (K_ {i}) & = i left (1 _ {(2m + 1)} otimes J_ {i} ^ {(n)} - J_ {i} ^ {(m)} otimes 1 _ {(2n + 1)} right), end {align}}}

(A2)

куда $1 п$ это $п$ -размерный единичная матрица и

{ Displaystyle mathbf {J} ^ {(n)} = left (J_ {1} ^ {(n)}, J_ {2} ^ {(n)}, J_ {3} ^ {(n)} верно)}

являются $(2 п + 1)$ -мерная неприводимая представления ${ displaystyle { mathfrak {so}} (3) cong { mathfrak {su}} (2)}$ также называется спиновые матрицы или же матрицы углового момента. Они явно указаны как^[64]

{ displaystyle { begin {align} left (J_ {1} ^ {(j)} right) _ {a'a} & = { frac {1} {2}} left ({ sqrt { (ja) (j + a + 1)}} delta _ {a ', a + 1} + { sqrt {(j + a) (j-a + 1)}} delta _ {a', a -1} right) left (J_ {2} ^ {(j)} right) _ {a'a} & = { frac {1} {2i}} left ({ sqrt {( ja) (j + a + 1)}} delta _ {a ', a + 1} - { sqrt {(j + a) (j-a + 1)}} delta _ {a', a- 1} right) left (J_ {3} ^ {(j)} right) _ {a'a} & = a delta _ {a ', a} end {выровнено}}}

куда $δ$ обозначает Дельта Кронекера. В компонентах, с $- м \leq а, а ' \leq м$ , $- п \leq б, б ' \leq п$ , представления имеют вид^[65]

{ displaystyle { begin {align} left ( pi _ {(m, n)} left (J_ {i} right) right) _ {a'b ', ab} & = delta _ { b'b} left (J_ {i} ^ {(m)} right) _ {a'a} + delta _ {a'a} left (J_ {i} ^ {(n)} right ) _ {b'b} left ( pi _ {(m, n)} left (K_ {i} right) right) _ {a'b ', ab} & = i left ( delta _ {a'a} left (J_ {i} ^ {(n)} right) _ {b'b} - delta _ {b'b} left (J_ {i} ^ {(m )} right) _ {a'a} right) end {align}}}

Общие представления

Неприводимые представления для малых $(м, п)$ . Размер в скобках.
	$м = 0$	$1 / 2$	$1$	$3 / 2$
$п = 0$	Скалярный (1)	Левша Спинор Вейля (2)	Самодвойственный 2 формы (3)	(4)
$1 / 2$	Правша Спинор Вейля (2)	4-вектор (4)	(6)	(8)
$1$	Анти-самодвойственный 2 формы (3)	(6)	Бесследный симметричный тензор (9)	(12)
$3 / 2$	(4)	(8)	(12)	(16)

В $(0, 0)$ представление является одномерным тривиальным представлением и переносится релятивистскими скалярное поле теории.
Фермионный суперсимметрия генераторы преобразуются по одному из $(0, 1 / 2)$ или же $(1 / 2, 0)$ представления (спиноры Вейля).^[29]
В четырехимпульсный из частица (безмассовые или массивный ) преобразуется при $(1 / 2, 1 / 2)$ представление, четырехвекторное.
Физический пример (1,1) бесследного симметричный тензорное поле бесследный^{[№ 15]} часть тензор энергии-импульса $Т μν$ .^[66]^{[№ 16]}

Внедиагональные прямые суммы

Поскольку для любого неприводимого представления, для которого $м \neq п$ важно работать в области сложные числа, то прямая сумма представлений $(м, п)$ и $(п, м)$ имеют особое отношение к физике, так как позволяют использовать линейные операторы над действительные числа.

$(1 / 2, 0) \oplus (0, 1 / 2)$ это биспинор представление. Смотрите также Спинор Дирака и Спиноры и биспиноры Вейля ниже.
$(1, 1 / 2) \oplus (1 / 2, 1)$ это Рарита-Швингер представительство на местах.
$(3 / 2, 0) \oplus (0, 3 / 2)$ будет симметрией гипотезы Gravitino.^{[№ 17]} Его можно получить из $(1, 1 / 2) \oplus (1 / 2, 1)$ представление.^[67]
$(1, 0) \oplus (0, 1)$ является представлением паритет -инвариантный 2-форма поле (также известное как форма кривизны ). В тензор электромагнитного поля преобразуется под этим представлением.

Группа

Подход в этом разделе основан на теоремах, которые, в свою очередь, основаны на фундаментальных Ложная переписка.^[68] Соответствие Ли - это, по сути, словарь между связными группами Ли и алгебрами Ли.^[69] Связь между ними - это экспоненциальное отображение из алгебры Ли в группу Ли, обозначенную ${ displaystyle exp: { mathfrak {g}} to G.}$ Общая теория изложена в техническое введение в теорию конечномерных представлений.

Если ${ displaystyle pi: { mathfrak {g}} to { mathfrak {gl}} (V)}$ для некоторого векторного пространства $V$ это представление, представление $Π$ связной компоненты $грамм$ определяется

{ Displaystyle { begin {align} Pi (g = e ^ {iX}) & Equiv e ^ {i pi (X)}, && X in { mathfrak {g}}, quad g = e ^ {iX} in mathrm {im} ( exp), Pi (g = g_ {1} g_ {2} cdots g_ {n}) & Equiv Pi (g_ {1}) Pi (g_ {2}) cdots Pi (g_ {n}), && g notin mathrm {im} ( exp), quad g_ {1}, g_ {2}, ldots, g_ {n} in mathrm {im} ( exp). end {выравнивается}}}

(G2)

Это определение применяется независимо от того, является ли полученное представление проективным или нет.

Сюръективность экспоненциального отображения для SO (3, 1)

С практической точки зрения важно, будет ли первая формула в (G2) может использоваться для всех элементов группа. Это касается всех ${ displaystyle X in { mathfrak {g}}}$ однако в общем случае, например за ${ displaystyle { text {SL}} (2, mathbb {C})}$ , не все $грамм \in грамм$ находятся в образе $exp$ .

Но ${ displaystyle exp: { mathfrak {so}} (3; 1) to { text {SO}} (3; 1) ^ {+}}$ является сюръективный. Один из способов показать это - использовать изоморфизм ${ displaystyle { text {SO}} (3; 1) ^ {+} cong { text {PGL}} (2, mathbb {C}),}$ последний является Группа Мебиуса. Это частное от ${ Displaystyle { текст {GL}} (п, mathbb {C})}$ (см. статью по ссылке). Фактор-карта обозначается ${ displaystyle p: { text {GL}} (n, mathbb {C}) to { text {PGL}} (2, mathbb {C}).}$ Карта ${ displaystyle exp: { mathfrak {gl}} (n, mathbb {C}) to { text {GL}} (n, mathbb {C})}$ находится на.^[70] Подать заявление (Ложь) с $π$ будучи дифференциалом $п$ при тож. потом

{ displaystyle forall X in { mathfrak {gl}} (n, mathbb {C}): quad p ( exp (iX)) = exp (i pi (X)).}

Поскольку левая часть сюръективна (оба $exp$ и $п$ являются), правая часть сюръективна и, следовательно, ${ displaystyle exp: { mathfrak {pgl}} (2, mathbb {C}) to { text {PGL}} (2, mathbb {C})}$ сюръективно.^[71] Наконец, повторите аргумент еще раз, но теперь с известным изоморфизмом между $ТАК (3; 1) +$ и ${ displaystyle { text {PGL}} (2, mathbb {C})}$ найти это $exp$ для связной компоненты группы Лоренца.

Фундаментальная группа

Группа Лоренца есть двусвязный, я. е. $π 1 (ТАК (3; 1))$ группа с двумя классами эквивалентности петель в качестве ее элементов.

Доказательство

Выставить фундаментальная группа из $ТАК (3; 1) +$ , топология его группа покрытия ${ displaystyle { text {SL}} (2, mathbb {C})}$ Считается. Посредством теорема о полярном разложении, любая матрица ${ displaystyle lambda in { text {SL}} (2, mathbb {C})}$ может быть однозначно выражается как^[72]

{ displaystyle lambda = ue ^ {h},}

куда $ты$ является унитарный с детерминант один, следовательно, в $SU (2)$ , и $час$ является Эрмитский с след нуль. В след и детерминант условия подразумевают:^[73]

{ displaystyle { begin {align} h & = { begin {pmatrix} c & a-ib a + ibc & -c end {pmatrix}} && (a, b, c) in mathbb {R} ^ { 3} [4pt] u & = { begin {pmatrix} d + ie & f + ig - f + ig & d-ie end {pmatrix}} && (d, e, f, g) in mathbb {R } ^ {4} { text {при условии}} d ^ {2} + e ^ {2} + f ^ {2} + g ^ {2} = 1. конец {выровнено}}}

Явно непрерывное взаимно однозначное отображение - это гомеоморфизм с непрерывным обратным, задаваемым (геометрическое место $ты$ отождествляется с ${ Displaystyle mathbb {S} ^ {3} subset mathbb {R} ^ {4}}$ )

{ displaystyle { begin {cases} mathbb {R} ^ {3} times mathbb {S} ^ {3} to { text {SL}} (2, mathbb {C}) ( r, s) mapsto u (s) e ^ {h (r)} end {case}}}

явно демонстрируя, что ${ displaystyle { text {SL}} (2, mathbb {C})}$ просто связано. Но ${ displaystyle { text {SO}} (3; 1) cong { text {SL}} (2, mathbb {C}) / { pm I },}$ куда ${ displaystyle { pm I }}$ это центр ${ displaystyle { text {SL}} (2, mathbb {C})}$ . Идентификация $λ$ и $- λ$ сводится к выявлению $ты$ с $- ты$ , что, в свою очередь, сводится к выявлению противоположные точки на ${ displaystyle mathbb {S} ^ {3}.}$ Таким образом, топологически^[73]

{ displaystyle { text {SO}} (3; 1) cong mathbb {R} ^ {3} times ( mathbb {S} ^ {3} / mathbb {Z} _ {2}), }

где последний фактор не просто связан: геометрически он виден (в целях визуализации ${ Displaystyle mathbb {S} ^ {3}}$ может быть заменен на ${ Displaystyle mathbb {S} ^ {2}}$ ) что путь от $ты$ к $- ты$ в ${ Displaystyle СУ (2) cong mathbb {S} ^ {3}}$ является петля в ${ Displaystyle mathbb {S} ^ {3} / mathbb {Z} _ {2}}$ поскольку $ты$ и $- ты$ являются антиподальными точками и не стягиваются с точкой. Но путь от $ты$ к $- ты$ , оттуда в $ты$ снова петля в ${ Displaystyle mathbb {S} ^ {3}}$ и двойная петля (учитывая $п (уэ час) = п (- уэ час)$ , куда ${ displaystyle p: { text {SL}} (2, mathbb {C}) to { text {SO}} (3; 1)}$ покрывающая карта) в ${ Displaystyle mathbb {S} ^ {3} / mathbb {Z} _ {2}}$ который является стягиваемый до точки (непрерывно удаляться от $- ты$ "наверху" в ${ Displaystyle mathbb {S} ^ {3}}$ и сократите путь туда до точки $ты$ ).^[73] Таким образом $π 1 (ТАК (3; 1))$ группа с двумя классами эквивалентности петель в качестве ее элементов, или, проще говоря, $ТАК (3; 1)$ является двусвязный.

Проективные представления

С $π 1 (ТАК (3; 1) +)$ имеет два элемента, некоторые представления алгебры Ли дадут проективные представления.^[74]^{[№ 18]} Как только становится известно, проективно ли представление, формула (G2) применяется ко всем элементам группы и всем представлениям, включая проективные, - с пониманием того, что представитель элемента группы будет зависеть от того, какой элемент в алгебре Ли ( $Икс$ в (G2)) используется для представления элемента группы в стандартном представлении.

Для группы Лоренца $(м, п)$ -представление проективно, когда $м + п$ является полуцелым числом. См. Раздел спиноры.

Для проективного представления $Π$ из $ТАК (3; 1) +$ , считается, что^[73]

{ displaystyle left [ Pi ( Lambda _ {1}) Pi ( Lambda _ {2}) Pi ^ {- 1} ( Lambda _ {1} Lambda _ {2}) right] ^ {2} = 1 Rightarrow Pi ( Lambda _ {1} Lambda _ {2}) = pm Pi ( Lambda _ {1}) Pi ( Lambda _ {2}), quad Lambda _ {1}, Lambda _ {2} in mathrm {SO} (3; 1),}

(G5)

так как любой цикл в $ТАК (3; 1) +$ пройденный дважды в силу двойной связности стягиваемый в точку, так что его гомотопический класс является классом постоянного отображения. Следует, что $Π$ - двузначная функция. Невозможно последовательно выбрать знак, чтобы получить непрерывное представление всех $ТАК (3; 1) +$ , но это возможно локально вокруг любой точки.^[33]

Накрывающая группа SL (2, C)

Учитывать ${ Displaystyle { mathfrak {sl}} (2, mathbb {C})}$ как настоящий Алгебра Ли с базисом

{ displaystyle left ({ frac {1} { sqrt {2}}} sigma _ {1}, { frac {1} { sqrt {2}}} sigma _ {2}, { frac {1} { sqrt {2}}} sigma _ {3}, { frac {i} { sqrt {2}}} sigma _ {1}, { frac {i} { sqrt { 2}}} sigma _ {2}, { frac {i} { sqrt {2}}} sigma _ {3} right) Equiv (j_ {1}, j_ {2}, j_ {3 }, k_ {1}, k_ {2}, k_ {3}),}

где сигмы Матрицы Паули. От отношений

{ displaystyle [ sigma _ {i}, sigma _ {j}] = 2i epsilon _ {ijk} sigma _ {k}}

(J1)

получается

{ displaystyle [j_ {i}, j_ {j}] = i epsilon _ {ijk} j_ {k}, quad [j_ {i}, k_ {j}] = i epsilon _ {ijk} k_ { k}, quad [k_ {i}, k_ {j}] = - i epsilon _ {ijk} j_ {k},}

(J2)

которые точно по форме $3$ -мерный вариант коммутационных соотношений для ${ displaystyle { mathfrak {so}} (3; 1)}$ (видеть соглашения и основы алгебры Ли ниже). Таким образом, карта $J я \leftrightarrow j я$ , $K я \leftrightarrow k я$ , расширенный по линейности, является изоморфизмом. С ${ displaystyle { text {SL}} (2, mathbb {C})}$ односвязно, это универсальная группа покрытий из $ТАК (3; 1) +$ .

Подробнее о группах покрытий в целом и

{ displaystyle { text {SL}} (2, mathbb {C})}

покрытие группы Лоренца, в частности

Геометрический вид

E.P. Вигнер глубоко исследовал группу Лоренца и известен Уравнения Баргмана-Вигнера. Приведенная здесь реализация покрывающей группы взята из его статьи 1939 года.

Позволять $п грамм (т), 0 \leq т \leq 1$ быть путем от $1 \in SO (3; 1) +$ к $грамм \in SO (3; 1) +$ , обозначим его гомотопический класс через $[п грамм]$ и разреши $π грамм$ - множество всех таких гомотопических классов. Определить набор

{ displaystyle G = {(g, [p_ {g}]): g in mathrm {SO} (3; 1) ^ {+}, [p_ {g}] in pi _ {g} }}

(C1)

и наделим его операцией умножения

{ displaystyle (g_ {1}, [p_ {1}]) (g_ {2}, [p_ {2}]) = (g_ {1} g_ {2}, [p_ {12}]),}

(C2)

куда ${ displaystyle p_ {12}}$ это умножение пути из ${ displaystyle p_ {1}}$ и ${ displaystyle p_ {2}}$ :

{ displaystyle p_ {12} (t) = (p_ {1} * p_ {2}) (t) = { begin {cases} p_ {1} (2t) & 0 leqslant t leqslant { tfrac {1 }{2}}p_{2}(2t-1)&{ frac {1}{2}}leqslant tleqslant 1end{cases}}}

With this multiplication, $грамм$ становится группа изоморфен ${displaystyle { ext{SL}}(2,mathbb {C} ),}$ ^[75] the universal covering group of $SO(3; 1) +$ . Поскольку каждый $π грамм$ has two elements, by the above construction, there is a 2:1 covering map $п : грамм \to SO(3; 1) +$ . В соответствии с группа покрытия theory, the Lie algebras ${displaystyle {mathfrak {so}}(3;1),{mathfrak {sl}}(2,mathbb {C} )}$ и ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ из $грамм$ are all isomorphic. The covering map $п : грамм \to SO(3; 1) +$ просто дается $п (грамм, [п грамм]) = грамм$ .

An algebraic view

For an algebraic view of the universal covering group, let ${ displaystyle { text {SL}} (2, mathbb {C})}$ act on the set of all Hermitian 2×2 матрицы ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ by the operation^[73]

{displaystyle {egin{cases}mathbf {P} (A):{mathfrak {h}} o {mathfrak {h}}Xmapsto A^{dagger }XAend{cases}}qquad Ain mathrm {SL} (2,mathbb {C} )}

(C3)

The action on ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ линейно. Элемент ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ may be written in the form

{displaystyle X={egin{pmatrix}xi _{4}+xi _{3}&xi _{1}+ixi _{2}xi _{1}-ixi _{2}&xi _{4}-xi _{3}end{pmatrix}}qquad xi _{1},ldots ,xi _{4}in mathbb {R} .}

(C4)

Карта $п$ is a group homomorphism into ${displaystyle { ext{GL}}({mathfrak {h}})subset { ext{End}}({mathfrak {h}}).}$ Таким образом ${displaystyle mathbf {P} :{ ext{SL}}(2,mathbb {C} ) o { ext{GL}}({mathfrak {h}})}$ is a 4-dimensional representation of ${ displaystyle { text {SL}} (2, mathbb {C})}$ . Its kernel must in particular take the identity matrix to itself, $А † Я = А † А = я$ и поэтому $А † = А -1$ . Таким образом $ТОПОР = XA$ за $А$ in the kernel so, by Лемма Шура,^{[№ 19]} $А$ is a multiple of the identity, which must be $\pm я$ поскольку $Det А = 1$ .^[76] Космос ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ is mapped to Пространство Минковского $M 4$ , через

{displaystyle X=(xi _{1},xi _{2},xi _{3},xi _{4})leftrightarrow {overrightarrow {(xi _{1},xi _{2},xi _{3},xi _{4})}}=(x,y,z,t)={overrightarrow {X}}.}

(C5)

Действие $п (А)$ на ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ preserves determinants. The induced representation $п$ из ${ displaystyle { text {SL}} (2, mathbb {C})}$ на ${ displaystyle mathbb {R} ^ {4},}$ via the above isomorphism, given by

{displaystyle mathbf {p} (A){overrightarrow {X}}={overrightarrow {AXA^{dagger }}}}

(C6)

preserves the Lorentz inner product since

{displaystyle -det X=xi _{1}^{2}+xi _{2}^{2}+xi _{3}^{2}-xi _{4}^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}-t^{2}.}

Это означает, что $п (А)$ belongs to the full Lorentz group $SO(3; 1)$ . Посредством main theorem of connectedness, поскольку ${ displaystyle { text {SL}} (2, mathbb {C})}$ is connected, its image under $п$ в $SO(3; 1)$ is connected, and hence is contained in $SO(3; 1) +$ .

It can be shown that the Карта лжи из ${displaystyle mathbf {p} :{ ext{SL}}(2,mathbb {C} ) o { ext{SO}}(3;1)^{+},}$ is a Lie algebra isomorphism: ${displaystyle pi :{mathfrak {sl}}(2,mathbb {C} ) o {mathfrak {so}}(3;1).}$ ^{[№ 20]} Карта $п$ is also onto.^{[№ 21]}

Таким образом ${ displaystyle { text {SL}} (2, mathbb {C})}$ , since it is simply connected, is the universal covering group of $SO(3; 1) +$ , isomorphic to the group $грамм$ of above.

Non-surjectiveness of exponential mapping for SL(2, C)

This diagram shows the web of maps discussed in the text. Здесь

V

is a finite-dimensional vector space carrying representations of

{displaystyle {mathfrak {sl}}(2,mathbb {C} ),{mathfrak {so}}(3;1),}

{ displaystyle { text {SL}} (2, mathbb {C})}

и

{displaystyle { ext{SO}}(3;1)^{+}.}

{displaystyle exp }

is the exponential mapping,

п

is the covering map from

{displaystyle { ext{SL}}(2,mathbb {C} ),}

на

SO(3; 1) +

и

σ

is the Lie algebra isomorphism induced by it. The maps

Π, π

и два

Φ

are representations. the picture is only partially true when

Π

is projective.

Экспоненциальное отображение ${displaystyle exp :{mathfrak {sl}}(2,mathbb {C} ) o { ext{SL}}(2,mathbb {C} )}$ is not onto.^[77] Матрица

{displaystyle q={egin{pmatrix}-1&1�&-1end{pmatrix}}}

(S6)

в ${displaystyle { ext{SL}}(2,mathbb {C} ),}$ but there is no ${displaystyle Qin {mathfrak {sl}}(2,mathbb {C} )}$ такой, что $q = ехр (Q)$ .^{[№ 22]}

В общем, если $грамм$ is an element of a connected Lie group $грамм$ с алгеброй Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}},}$ then, by (Lie),

{displaystyle g=exp(X_{1})cdots exp(X_{n}),qquad X_{1},ldots X_{n}in {mathfrak {g}}.}

(S7)

Матрица $q$ can be written

{displaystyle {egin{aligned}exp(-X)exp(ipi H)&=exp left({egin{pmatrix}0&-1�&0end{pmatrix}} ight)exp left(ipi {egin{pmatrix}1&0�&-1end{pmatrix}} ight)[6pt]&={egin{pmatrix}1&-1�&1end{pmatrix}}{egin{pmatrix}-1&0�&-1end{pmatrix}}[6pt]&={egin{pmatrix}-1&1�&-1end{pmatrix}}=q.end{aligned}}}

(S8)

Realization of representations of $SL(2, C)$ и $sl(2, C)$ and their Lie algebras

The complex linear representations of ${displaystyle {mathfrak {sl}}(2,mathbb {C} )}$ и ${ displaystyle { text {SL}} (2, mathbb {C})}$ are more straightforward to obtain than the ${displaystyle {mathfrak {so}}(3;1)^{+}}$ представления. They can be (and usually are) written down from scratch. В голоморфный group representations (meaning the corresponding Lie algebra representation is complex linear) are related to the complex linear Lie algebra representations by exponentiation. The real linear representations of ${displaystyle {mathfrak {sl}}(2,mathbb {C} )}$ точно $(μ, ν)$ -представительства. They can be exponentiated too. В $(μ, 0)$ -representations are complex linear and are (isomorphic to) the highest weight-representations. These are usually indexed with only one integer (but half-integers are used here).

The mathematics convention is used in this section for convenience. Lie algebra elements differ by a factor of $я$ and there is no factor of $я$ in the exponential mapping compared to the physics convention used elsewhere. Let the basis of ${displaystyle {mathfrak {sl}}(2,mathbb {C} )}$ быть^[78]

{displaystyle H={egin{pmatrix}1&0�&-1end{pmatrix}},quad X={egin{pmatrix}0&1�&0end{pmatrix}},quad Y={egin{pmatrix}0&01&0end{pmatrix}}.}

(S1)

This choice of basis, and the notation, is standard in the mathematical literature.

Complex linear representations

The irreducible holomorphic $(п + 1)$ -dimensional representations ${displaystyle { ext{SL}}(2,mathbb {C} ),ngeqslant 2,}$ can be realized on the space of однородный многочлен из степень $п$ in 2 variables ${displaystyle mathbf {P} _{n}^{2},}$ ^[79]^[80] the elements of which are

{displaystyle P{egin{pmatrix}z_{1}z_{2}end{pmatrix}}=c_{n}z_{1}^{n}+c_{n-1}z_{1}^{n-1}z_{2}+cdots +c_{0}z_{2}^{n},quad c_{0},c_{1},ldots ,c_{n}in mathbb {Z} .}

Действие ${ displaystyle { text {SL}} (2, mathbb {C})}$ дан кем-то^[81]^[82]

{displaystyle (phi _{n}(g)P){egin{pmatrix}z_{1}z_{2}end{pmatrix}}=left[phi _{n}{egin{pmatrix}a&bc&dend{pmatrix}}P ight]{egin{pmatrix}z_{1}z_{2}end{pmatrix}}=Pleft({egin{pmatrix}a&bc&dend{pmatrix}}^{-1}{egin{pmatrix}z_{1}z_{2}end{pmatrix}} ight),qquad Pin mathbf {P} _{n}^{2}.}

(S2)

Связанный ${displaystyle {mathfrak {sl}}(2,mathbb {C} )}$ -action is, using (G6) and the definition above, for the basis elements of ${displaystyle {mathfrak {sl}}(2,mathbb {C} ),}$ ^[83]

{displaystyle phi _{n}(H)=-z_{1}{frac {partial }{partial z_{1}}}+z_{2}{frac {partial }{partial z_{2}}},quad phi _{n}(X)=-z_{2}{frac {partial }{partial z_{1}}},quad phi _{n}(Y)=-z_{1}{frac {partial }{partial z_{2}}}.}

(S5)

With a choice of basis for ${displaystyle Pin mathbf {P} _{n}^{2}}$ , these representations become matrix Lie algebras.

Real linear representations

В $(μ, ν)$ -representations are realized on a space of polynomials ${displaystyle mathbf {P} _{mu , u }^{2}}$ в ${displaystyle z_{1},{overline {z_{1}}},z_{2},{overline {z_{2}}},}$ homogeneous of degree $μ$ в ${ displaystyle z_ {1}, z_ {2}}$ and homogeneous of degree $ν$ в ${displaystyle {overline {z_{1}}},{overline {z_{2}}}.}$ ^[80] The representations are given by^[84]

{displaystyle (phi _{mu , u }(g)P){egin{pmatrix}z_{1}z_{2}end{pmatrix}}=left[phi _{mu , u }{egin{pmatrix}a&bc&dend{pmatrix}}P ight]{egin{pmatrix}z_{1}z_{2}end{pmatrix}}=Pleft({egin{pmatrix}a&bc&dend{pmatrix}}^{-1}{egin{pmatrix}z_{1}z_{2}end{pmatrix}} ight),quad Pin mathbf {P} _{mu , u }^{2}.}

(S6)

Используя (G6) again it is found that

{displaystyle {egin{aligned}phi _{mu , u }(E)P=&-{frac {partial P}{partial z_{1}}}left(E_{11}z_{1}+E_{12}z_{2} ight)-{frac {partial P}{partial z_{2}}}left(E_{21}z_{1}+E_{22}z_{2} ight)&-{frac {partial P}{partial {overline {z_{1}}}}}left({overline {E_{11}}}{overline {z_{1}}}+{overline {E_{12}}}{overline {z_{2}}} ight)-{frac {partial P}{partial {overline {z_{2}}}}}left({overline {E_{21}}}{overline {z_{1}}}+{overline {E_{22}}}{overline {z_{2}}} ight)end{aligned}},quad Ein {mathfrak {sl}}(2,mathbf {C} ).}

(S7)

In particular for the basis elements,

{displaystyle {egin{aligned}phi _{mu , u }(H)&=-z_{1}{frac {partial }{partial z_{1}}}+z_{2}{frac {partial }{partial z_{2}}}-{overline {z_{1}}}{frac {partial }{partial {overline {z_{1}}}}}+{overline {z_{2}}}{frac {partial }{partial {overline {z_{2}}}}}phi _{mu , u }(X)&=-z_{2}{frac {partial }{partial z_{1}}}-{overline {z_{2}}}{frac {partial }{partial {overline {z_{1}}}}}phi _{mu , u }(Y)&=-z_{1}{frac {partial }{partial z_{2}}}-{overline {z_{1}}}{frac {partial }{partial {overline {z_{2}}}}}end{aligned}}}

(S8)

Properties of the (м, п) representations

В $(м, п)$ representations, defined above via (A1) (as restrictions to the real form ${displaystyle {mathfrak {sl}}(3,1)}$ ) of tensor products of irreducible complex linear representations $π м = μ$ и $π п = ν$ из ${displaystyle {mathfrak {sl}}(2,mathbb {C} ),}$ are irreducible, and they are the only irreducible representations.^[61]

Irreducibility follows from the unitarian trick^[85] and that a representation $Π$ из $SU(2) \times SU(2)$ is irreducible if and only if $Π = Π μ \otimes Π ν$ ,^{[№ 23]} куда $Π μ, Π ν$ are irreducible representations of $SU (2)$ .
Uniqueness follows from that the $Π м$ are the only irreducible representations of $SU (2)$ , which is one of the conclusions of the theorem of the highest weight.^[86]

Измерение

В $(м, п)$ representations are $(2 м + 1)(2 п + 1)$ -размерный.^[87] This follows easiest from counting the dimensions in any concrete realization, such as the one given in представления ${ displaystyle { text {SL}} (2, mathbb {C})}$ и ${displaystyle {mathfrak {sl}}(2,mathbb {C} )}$ . For a Lie general algebra ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ то Weyl dimension formula,^[88]

{displaystyle dim pi _{ ho }={frac {Pi _{alpha in R^{+}}langle alpha , ho +delta angle }{Pi _{alpha in R^{+}}langle alpha ,delta angle }},}

applies, where $р +$ is the set of positive roots, $ρ$ is the highest weight, and $δ$ is half the sum of the positive roots. Внутренний продукт ${ Displaystyle langle cdot, cdot rangle}$ is that of the Lie algebra ${ displaystyle { mathfrak {g}},}$ invariant under the action of the Weyl group on ${displaystyle {mathfrak {h}}subset {mathfrak {g}},}$ то Cartan subalgebra. The roots (really elements of ${ displaystyle { mathfrak {h}} ^ {*}}$ are via this inner product identified with elements of ${displaystyle {mathfrak {h}}.}$ За ${displaystyle {mathfrak {sl}}(2,mathbb {C} ),}$ the formula reduces to $тусклый π μ = 2 μ + 1 = 2 м + 1$ , where the present notation must be taken into account. The highest weight is $2 μ$ .^[89] By taking tensor products, the result follows.

Верность

If a representation $Π$ группы Ли $грамм$ is not faithful, then $N = ker Π$ is a nontrivial normal subgroup.^[90] There are three relevant cases.

$N$ is non-discrete and абелевский.
$N$ is non-discrete and non-abelian.
$N$ is discrete. В этом случае $N \subset Z$ , куда $Z$ это центр $грамм$ .^{[№ 24]}

В случае $SO(3; 1) +$ , the first case is excluded since $SO(3; 1) +$ is semi-simple.^{[№ 25]} The second case (and the first case) is excluded because $SO(3; 1) +$ это просто.^{[№ 26]} For the third case, $SO(3; 1) +$ is isomorphic to the quotient ${displaystyle { ext{SL}}(2,mathbb {C} )/{pm I}.}$ Но ${displaystyle {pm I}}$ это центр ${displaystyle { ext{SL}}(2,mathbb {C} ).}$ It follows that the center of $SO(3; 1) +$ is trivial, and this excludes the third case. The conclusion is that every representation $Π : SO(3; 1) + \to GL (V)$ and every projective representation $Π : SO(3; 1) + \to PGL(W)$ за $V, W$ finite-dimensional vector spaces are faithful.

By using the fundamental Lie correspondence, the statements and the reasoning above translate directly to Lie algebras with (abelian) nontrivial non-discrete normal subgroups replaced by (one-dimensional) nontrivial ideals in the Lie algebra,^[91] and the center of $SO(3; 1) +$ replaced by the center of ${displaystyle {mathfrak {sl}}(3;1)^{+}}$ The center of any semisimple Lie algebra is trivial^[92] и ${displaystyle {mathfrak {so}}(3;1)}$ is semi-simple and simple, and hence has no non-trivial ideals.

С этим связан факт, что если соответствующее представление ${ displaystyle { text {SL}} (2, mathbb {C})}$ верно, то представление проективно. Наоборот, если представление непроективно, то соответствующее ${ displaystyle { text {SL}} (2, mathbb {C})}$ представление не является верным, но $2:1$ .

Неунитарность

В $(м, п)$ Представление алгебры Ли не Эрмитский. Соответственно, соответствующее (проективное) представление группы никогда не является унитарный.^{[nb 27]} Это связано с некомпактностью группы Лоренца. На самом деле связная простая некомпактная группа Ли не может иметь любой нетривиальные унитарные конечномерные представления.^[33] Этому есть топологическое доказательство.^[93] Позволять $ты : грамм \to GL (V)$ , куда $V$ конечномерно, - непрерывное унитарное представление некомпактной связной простой группы Ли $грамм$ . потом $ты (грамм) \subset U (V) \subset GL (V)$ куда $U (V)$ компактная подгруппа в $GL (V)$ состоящий из унитарных преобразований $V$ . В ядро из $ты$ это нормальная подгруппа из $грамм$ . С $грамм$ это просто, $кер ты$ либо все из $грамм$ , в таком случае $ты$ тривиально, или $кер ты$ тривиально, и в этом случае $ты$ является верный. В последнем случае $ты$ это диффеоморфизм на свой образ,^[94] $ты (грамм) ≅ грамм$ и $ты (грамм)$ группа Ли. Это означало бы, что $ты (грамм)$ является встроенный некомпактная подгруппа Ли компактной группы $U (V)$ . Это невозможно с топологией подпространств на $ты (грамм) \subset U (V)$ так как все встроенный Подгруппы Ли группы Ли замкнуты^[95] Если $ты (грамм)$ были закрыты, было бы компактно,^{[№ 28]} а потом $грамм$ будет компактно,^{[№ 29]} вопреки предположению.^{[№ 30]}

В случае группы Лоренца это также видно непосредственно из определений. Представления $А$ и $B$ в конструкции использованы эрмитские. Это означает, что $J$ эрмитово, но $K$ является антиэрмитский.^[96] Неунитарность не является проблемой в квантовой теории поля, поскольку рассматриваемые объекты не обязаны иметь лоренц-инвариантную положительно определенную норму.^[97]

Ограничение до SO (3)

В $(м, п)$ представление, однако, унитарно, когда оно ограничено подгруппой вращения $ТАК (3)$ , но эти представления не являются неприводимыми как представления SO (3). А Разложение Клебша – Гордана может применяться, показывая, что $(м, п)$ представление есть $ТАК (3)$ -инвариантные подпространства старшего веса (спин) $м + п, м + п - 1, \dots , | м - п |$ ,^[98] где каждый возможный максимальный вес (спин) встречается ровно один раз. Весовое подпространство наибольшего веса (спин) $j$ является $(2 j + 1)$ -размерный. Так, например, (1/2, 1/2) представление имеет подпространства спина 1 и спина 0 размерности 3 и 1 соответственно.

Поскольку угловой момент оператор задается $J = А + B$ , наивысший спин в квантовой механике под-представления вращения будет $(м + п) ℏ$ и «обычные» правила сложения угловых моментов и формализм 3-j символы, 6-j символы и т. д. применяется.^[99]

Спиноры

Это $ТАК (3)$ -инвариантные подпространства неприводимых представлений, которые определяют, есть ли у представления спин. Из приведенного выше абзаца видно, что $(м, п)$ представление имеет спин, если $м + п$ полуцелое. Самые простые из них $(1 / 2, 0)$ и $(0, 1 / 2)$ , спиноры Вейля размерности $2$ . Тогда, например, $(0, 3 / 2)$ и $(1, 1 / 2)$ представляют собой спиновые представления измерений $2 3 / 2 + 1 = 4$ и $(2 + 1)(2 1 / 2 + 1) = 6$ соответственно. Согласно предыдущему абзацу, существуют подпространства со спином как $3 / 2$ и $1 / 2$ в последних двух случаях, поэтому эти представления не могут представлять Один физическая частица, которая должна хорошо себя вести при $ТАК (3)$ . Однако в целом нельзя исключать, что представления с несколькими $ТАК (3)$ субпредставления с различным спином могут представлять физические частицы с четко определенным спином. Возможно, существует подходящее релятивистское волновое уравнение, которое проецирует нефизические компоненты, оставляя только одно вращение.^[100]

Построение чистого спина $п / 2$ представительства для любых $п$ (под $ТАК (3)$ ) из неприводимых представлений включает взятие тензорных произведений представления Дирака на неспиновое представление, выделение подходящего подпространства и, наконец, наложение дифференциальных ограничений.^[101]

Двойные представления

В корневая система

А 1 \times А 1

из

{ displaystyle { mathfrak {sl}} (2, mathbb {C}) oplus { mathfrak {sl}} (2, mathbb {C}).}

Следующие теоремы применяются для проверки того, двойное представительство неприводимого представления изоморфный к исходному представлению:

Набор веса из двойное представительство неприводимого представления полупростой алгебры Ли является, включая кратности, отрицанием множества весов исходного представления.^[102]
Два неприводимых представления изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые самый высокий вес.^{[№ 31]}
Для каждой полупростой алгебры Ли существует единственный элемент $ш 0$ из Группа Вейля так что если $μ$ является доминантным целым весом, то $ш 0 \cdot (- μ)$ снова является доминирующим целым весом.^[103]
Если ${ displaystyle pi _ { mu _ {0}}}$ неприводимое представление со старшим весом $μ 0$ , тогда ${ displaystyle pi _ { mu _ {0}} ^ {*}}$ имеет наибольший вес $ш 0 \cdot (- μ)$ .^[103]

Здесь элементы группы Вейля рассматриваются как ортогональные преобразования, действующие путем умножения матриц на вещественное векторное пространство корни. Если $- я$ является элементом Группа Вейля полупростой алгебры Ли, то $ш 0 = - я$ . В случае ${ Displaystyle { mathfrak {sl}} (2, mathbb {C}),}$ группа Вейля $W = {я, - я}$ .^[104] Отсюда следует, что каждый $π μ, μ = 0, 1, \dots$ изоморфна своему двойственному ${ displaystyle pi _ { mu} ^ {*}.}$ Корневая система ${ Displaystyle { mathfrak {sl}} (2, mathbb {C}) oplus { mathfrak {sl}} (2, mathbb {C})}$ показан на рисунке справа.^{[№ 32]} Группа Вейля порождается ${ Displaystyle {ш _ { gamma} }}$ куда ${ displaystyle w _ { gamma}}$ есть отражение в плоскости, ортогональной $γ$ в качестве $γ$ распространяется по всем корням.^{[№ 33]} Осмотр показывает, что $ш α \cdot ш β = - я$ так $- я \in W$ . Используя тот факт, что если $π, σ$ являются представлениями алгебры Ли и $π ≅ σ$ , тогда $Π ≅ Σ$ ,^[105] заключение для $ТАК (3; 1) +$ является

{ displaystyle pi _ {m, n} ^ {*} cong pi _ {m, n}, quad Pi _ {m, n} ^ {*} cong Pi _ {m, n} , quad 2m, 2n in mathbf {N}.}

Комплексно сопряженные представления

Если $π$ является представлением алгебры Ли, то ${ displaystyle { overline { pi}}}$ - представление, где черта обозначает комплексное сопряжение по элементам в репрезентативных матрицах. Это следует из того, что комплексное сопряжение коммутирует со сложением и умножением.^[106] В общем, каждое неприводимое представление $π$ из ${ Displaystyle { mathfrak {sl}} (п, mathbb {C})}$ можно записать однозначно как $π = π + + π -$ , куда^[107]

{ displaystyle pi ^ { pm} (X) = { frac {1} {2}} left ( pi (X) pm я pi left (i ^ {- 1} X right) верно),}

с ${ displaystyle pi ^ {+}}$ голоморфный (комплексный линейный) и ${ displaystyle pi ^ {-}}$ антиголоморфный (сопряженные линейные). За ${ Displaystyle { mathfrak {sl}} (2, mathbb {C}),}$ поскольку ${ displaystyle pi _ { mu}}$ голоморфен, ${ displaystyle { overline { pi _ { mu}}}}$ антиголоморфно. Непосредственное рассмотрение явных выражений для ${ displaystyle pi _ { mu, 0}}$ и ${ displaystyle pi _ {0, nu}}$ в уравнении (S8) ниже показано, что они голоморфны и антиголоморфны соответственно. Более внимательное изучение выражения (S8) также позволяет идентифицировать ${ displaystyle pi ^ {+}}$ и ${ displaystyle pi ^ {-}}$ за ${ displaystyle pi _ { mu, nu}}$ в качестве

{ displaystyle pi _ { mu, nu} ^ {+} = pi _ { mu} ^ { oplus _ { nu +1}}, qquad pi _ { mu, nu} ^ {-} = { overline { pi _ { nu} ^ { oplus _ { mu +1}}}}.}.

Используя указанные выше тождества (интерпретируемые как поточечное сложение функций), для $ТАК (3; 1) +$ дает

{ displaystyle { begin {align} { overline { pi _ {m, n}}} & = { overline { pi _ {m, n} ^ {+} + pi _ {m, n} ^ {-}}} = { overline { pi _ {m} ^ { oplus _ {2n + 1}}}} + { overline {{ overline { pi _ {n}}} ^ { oplus _ {2m + 1}}} & = pi _ {n} ^ { oplus _ {2m + 1}} + { overline { pi _ {m}}} ^ { oplus _ { 2n + 1}} = pi _ {n, m} ^ {+} + pi _ {n, m} ^ {-} = pi _ {n, m} &&& 2m, 2n in mathbb { N} { overline { Pi _ {m, n}}} & = Pi _ {n, m} end {align}}}

где утверждения для представлений групп следуют из $ехр (Икс)$ = $ехр (Икс)$ . Отсюда следует, что неприводимые представления $(м, п)$ иметь вещественные матричные представители тогда и только тогда, когда $м = п$ . Приводимые представления на форме $(м, п) \oplus (п, м)$ есть и реальные матрицы.

Присоединенное представление, алгебра Клиффорда и спинорное представление Дирака

Ричард Брауэр и жена Ильзе 1970. Брауэр обобщил спиновые представления алгебр Ли, сидящих внутри Алгебры Клиффорда крутить выше чем 1/2.

Фото любезно предоставлено MFO.

В общей теории представлений, если $(π, V)$ является представлением алгебры Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}},}$ тогда существует ассоциированное представление ${ displaystyle { mathfrak {g}},}$ на $Конец (V)$ , также обозначается $π$ , данный

{ displaystyle pi (X) (A) = [ pi (X), A], qquad A in operatorname {End} (V), X in { mathfrak {g}}.}

(I1)

Точно так же представление $(Π, V)$ группы $грамм$ дает представление $Π$ на $Конец(V)$ из $грамм$ , все еще обозначается $Π$ , данный^[108]

{ Displaystyle Pi (g) (A) = Pi (g) A Pi (g) ^ {- 1}, qquad A in operatorname {End} (V), g in G.}

(I2)

Если $π$ и $Π$ стандартные представления на ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {4}}$ и если действие ограничено ${ displaystyle { mathfrak {so}} (3,1) subset { text {End}} ( mathbb {R} ^ {4}),}$ тогда два приведенных выше представления являются присоединенное представление алгебры Ли и присоединенное представление группы соответственно. Соответствующие представления (некоторые ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ или же ${ displaystyle mathbb {C} ^ {n}}$ ) всегда существуют для любой матричной группы Ли и имеют первостепенное значение для исследования теории представлений в целом и для любой данной группы Ли в частности.

Применяя это к группе Лоренца, если $(Π, V)$ является проективным представлением, то прямое вычисление с использованием (G5) показывает, что индуцированное представление на $Конец(V)$ - собственное представление, т.е. представление без фазовых множителей.

В квантовой механике это означает, что если $(π, ЧАС)$ или же $(Π, ЧАС)$ - представление, действующее в некотором гильбертовом пространстве $ЧАС$ , то соответствующее индуцированное представление действует на множестве линейных операторов на $ЧАС$ . Например, индуцированное представление проективного спина $(1 / 2, 0) \oplus (0, 1 / 2)$ представление на $Конец(ЧАС)$ - непроективный 4-вектор (1/2, 1/2) представление.^[109]

Для простоты рассмотрим только «дискретную часть» $Конец(ЧАС)$ , то есть дано основание для $ЧАС$ , набор постоянных матриц различной размерности, в том числе, возможно, бесконечной размерности. Выведенное выше индуцированное 4-векторное представление на этом упрощенном $Конец(ЧАС)$ имеет инвариантное 4-мерное подпространство, натянутое на четыре гамма-матрицы.^[110] (Метрическое соглашение отличается в связанной статье.) Таким образом, полная версия Клиффорда алгебра пространства-времени, ${ Displaystyle { mathcal {Cl}} _ {3,1} ( mathbb {R}),}$ чья комплексификация ${ displaystyle { text {M}} (4, mathbb {C}),}$ порожденная гамма-матрицами, разлагается как прямая сумма пространства представления из скаляр неприводимое представление (неприводимое), $(0, 0)$ , а псевдоскалярный репа, а также $(0, 0)$ , но с собственным значением обращения четности $-1$ см. следующий раздел ниже уже упомянутые вектор невоспитанный, $(1 / 2, 1 / 2)$ , а псевдовектор невоспитанный, $(1 / 2, 1 / 2)$ с собственным значением обращения четности +1 (не −1), и тензор невоспитанный, $(1, 0) \oplus (0, 1)$ .^[111] Размеры в сумме составляют $1 + 1 + 4 + 4 + 6 = 16$ . Другими словами,

{ Displaystyle { mathcal {Cl}} _ {3,1} ( mathbb {R}) = (0,0) oplus left ({ frac {1} {2}}, { frac {1 } {2}} right) oplus [(1,0) oplus (0,1)] oplus left ({ frac {1} {2}}, { frac {1} {2}} right) _ {p} oplus (0,0) _ {p},}

(I3)

где как есть обычный, представление путают с его пространством представления.

В $(1 / 2, 0) \oplus (0, 1 / 2)$ представление вращения

Шестимерное пространство представления тензора $(1, 0) \oplus (0, 1)$ -представительство внутри ${ Displaystyle { mathcal {Cl}} _ {3,1} ( mathbb {R})}$ имеет две роли. В^[112]

{ displaystyle sigma ^ { mu nu} = - { frac {i} {4}} left [ gamma ^ { mu}, gamma ^ { nu} right],}

(I4)

куда ${ Displaystyle gamma ^ {0}, ldots, gamma ^ {3} in { mathcal {Cl}} _ {3,1} ( mathbb {R})}$ гамма-матрицы, сигмы, только $6$ из которых отличны от нуля из-за антисимметрии скобки, покрывают пространство тензорного представления. Более того, они обладают коммутационными соотношениями алгебры Лоренца Ли:^[113]

{ displaystyle left [ sigma ^ { mu nu}, sigma ^ { rho tau} right] = я left ( eta ^ { tau mu} sigma ^ { rho nu } + eta ^ { nu tau} sigma ^ { mu rho} - eta ^ { rho mu} sigma ^ { tau nu} - eta ^ { nu rho} сигма ^ { mu tau} right),}

(I5)

и, следовательно, составляют представление (в дополнение к пространству представления), сидящее внутри ${ Displaystyle { mathcal {Cl}} _ {3,1} ( mathbb {R}),}$ то $(1 / 2, 0) \oplus (0, 1 / 2)$ представление вращения. Подробнее см. биспинор и Алгебра Дирака.

Вывод таков: каждый элемент сложного ${ Displaystyle { mathcal {Cl}} _ {3,1} ( mathbb {R})}$ в $Конец(ЧАС)$ (т.е. каждый комплекс 4×4 матрица) имеет хорошо определенные свойства преобразования Лоренца. Кроме того, у него есть спин-представление алгебры Лоренца Ли, которое после возведения в степень становится спиновым представлением группы, действующей на ${ displaystyle mathbb {C} ^ {4},}$ превращая его в пространство биспиноров.

Приводимые представления

Существует множество других представлений, которые можно вывести из неприводимых, например, полученные путем взятия прямых сумм, тензорных произведений и частных неприводимых представлений. Другие методы получения представлений включают ограничение представления большей группы, содержащей группу Лоренца, например ${ Displaystyle { текст {GL}} (п, mathbb {R})}$ и группа Пуанкаре. Эти представления, вообще говоря, не являются неприводимыми.

Группа Лоренца и ее алгебра Ли имеют свойство полной сводимости. Это означает, что каждое представление сводится к прямой сумме неприводимых представлений. Поэтому приводимые представления обсуждаться не будут.

Инверсия пространства и обращение времени

(Возможно, проективный) $(м, п)$ представление неприводимо как представление $ТАК (3; 1) +$ , составляющая тождества группы Лоренца, в терминологии физики правильный ортохронный Группа Лоренца. Если $м = п$ его можно расширить до представления всех $О (3; 1)$ , полная группа Лоренца, включая пространственная инверсия четности и разворот времени. Представления $(м, п) \oplus (п, м)$ может быть расширен аналогичным образом.^[114]

Инверсия пространственной четности

Для пространственной инверсии четности сопряженное действие $Объявление п$ из $п \in SO (3; 1)$ на ${ displaystyle { mathfrak {so}} (3; 1)}$ считается, где $п$ является стандартным представителем пространственной инверсии четности, $п = diag (1, -1, -1, -1)$ , данный

{ displaystyle mathrm {Ad} _ {P} (J_ {i}) = PJ_ {i} P ^ {- 1} = J_ {i}, qquad mathrm {Ad} _ {P} (K_ {i }) = PK_ {i} P ^ {- 1} = - K_ {i}.}

(F1)

Именно эти свойства $K$ и $J$ под $п$ которые мотивируют условия вектор за $K$ и псевдовектор или же осевой вектор за $J$ . Аналогично, если $π$ любое представление ${ displaystyle { mathfrak {so}} (3; 1)}$ и $Π$ является его ассоциированным представлением группы, то $Π (SO (3; 1) +)$ действует по представительству $π$ сопряженным действием, $π (Икс) \mapsto Π (грамм) π (Икс) Π (грамм) -1$ за ${ displaystyle X in { mathfrak {so}} (3; 1),}$ $g \in SO (3; 1) +$ . Если $п$ должен быть включен в $Π$ , то соответствие с (F1) требует, чтобы

{ displaystyle Pi (P) pi (B_ {i}) Pi (P) ^ {- 1} = pi (A_ {i})}

(F2)

держит, где $А$ и $B$ определены как в первом разделе. Это может иметь место, только если $А я$ и $B я$ имеют одинаковые размеры, т.е. только если $м = п$ . Когда $м \neq п$ тогда $(м, п) \oplus (п, м)$ можно продолжить до неприводимого представления $ТАК (3; 1) +$ , ортохронная группа Лоренца. Представитель разворота паритета $Π (п)$ не приходит автоматически с общей конструкцией $(м, п)$ представления. Его нужно указывать отдельно. Матрица $β = я γ 0$ (или кратное модулю -1, умноженному на него) может использоваться в $(1 / 2, 0) \oplus (0, 1 / 2)$ ^[115] представление.

Если четность поставлена со знаком минус ( $1\times1$ матрица $[-1]$ ) в $(0,0)$ представление, это называется псевдоскалярный представление.

Обратное время

Обратное время $Т = diag (-1, 1, 1, 1)$ аналогично действует на ${ displaystyle { mathfrak {so}} (3; 1)}$ к^[116]

{ displaystyle mathrm {Ad} _ {T} (J_ {i}) = TJ_ {i} T ^ {- 1} = - J_ {i}, qquad mathrm {Ad} _ {T} (K_ { i}) = TK_ {i} T ^ {- 1} = K_ {i}.}

(F3)

Явно включив представителя $Т$ , а также один для $п$ , представление полной группы Лоренца $О (3; 1)$ получается. Однако в применении к физике, в частности квантовой механике, возникает тонкая проблема. При рассмотрении полной Группа Пуанкаре, еще четыре генератора, $п μ$ , в добавок к $J я$ и $K я$ сгенерируйте группу. Они интерпретируются как генераторы переводов. Временная составляющая $п 0$ гамильтониан $ЧАС$ . Оператор $Т$ удовлетворяет соотношению^[117]

{ displaystyle mathrm {Ad} _ {T} (iH) = TiHT ^ {- 1} = - iH}

(F4)

по аналогии с отношениями выше с ${ displaystyle { mathfrak {so}} (3; 1)}$ заменен полным Алгебра Пуанкаре. Просто отменив $я$ s, результат $THT -1 = - ЧАС$ означало бы, что для каждого штата $Ψ$ с положительной энергией $E$ в гильбертовом пространстве квантовых состояний с инвариантностью относительно обращения времени было бы состояние $Π (Т -1) Ψ$ с отрицательной энергией $- E$ . Таких государств не существует. Оператор $Π (Т)$ поэтому выбран антилинейный и антиунитарный, так что это антикоммуты с $я$ , в результате чего $THT -1 = ЧАС$ , и его действие в гильбертовом пространстве также становится антилинейным и антиунитарным.^[118] Это может быть выражено как состав комплексное сопряжение с умножением на унитарную матрицу.^[119] Это математически верно, см. Теорема Вигнера, но с очень строгими требованиями к терминологии, $Π$ это не представление.

При построении теорий типа QED который инвариантен относительно четности пространства и обращения времени, спиноры Дирака могут использоваться, в то время как теории, которые этого не делают, такие как электрослабая сила, должны быть сформулированы в терминах спиноров Вейля. Представление Дирака, (1/2, 0) ⊕ (0, 1/2), обычно считается, что включает как пространственную четность, так и инверсию времени. Без обращения пространственной четности это не является неприводимым представлением.

Третья дискретная симметрия, входящая в CPT теорема вместе с $п$ и $Т$ , симметрия зарядового сопряжения $C$ , не имеет прямого отношения к лоренц-инвариантности.^[120]

Действие над функциональными пространствами

Если $V$ - векторное пространство функций конечного числа переменных $п$ , то действие на скалярную функцию ${ displaystyle f in V}$ данный

{ displaystyle ( Pi (g) f) (x) = f left ( Pi _ {x} (g) ^ {- 1} x right), qquad x in mathbb {R} ^ { n}, f in V}

(H1)

производит другую функцию $Π ж \in V$ . Здесь $Π Икс$ является $п$ -мерное представление, и $Π$ возможно бесконечномерное представление. Частный случай этой конструкции - когда $V$ - пространство функций, определенных на линейной группе $грамм$ сама, рассматриваемая как $п$ -размерный многообразие встроенный в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {м ^ {2}}}$ (с $м$ размерность матриц).^[121] Это настройка, в которой Теорема Питера – Вейля и Теорема Бореля – Вейля. сформулированы. Первый демонстрирует существование разложения Фурье функций на компактной группе на символы конечномерных представлений.^[61] Последняя теорема, предоставляя более явные представления, использует унитарный трюк для получения представлений комплексных некомпактных групп, например ${ displaystyle { text {SL}} (2, mathbb {C}).}$

Следующее иллюстрирует действие группы Лоренца и подгруппы вращения на некоторых функциональных пространствах.

Евклидовы вращения

Подгруппа $ТАК (3)$ трехмерных евклидовых вращений имеет бесконечномерное представление в гильбертовом пространстве

{ Displaystyle L ^ {2} left ( mathbb {S} ^ {2} right) = operatorname {span} left {Y_ {m} ^ {l}, l in mathbb {N} ^ {+}, - l leqslant m leqslant l right },}

куда ${ displaystyle Y_ {m} ^ {l}}$ являются сферические гармоники. Произвольная квадратично интегрируемая функция $ж$ один единичная сфера можно выразить как^[122]

{ Displaystyle е ( тета, varphi) = сумма _ {l = 1} ^ { infty} sum _ {m = -l} ^ {l} f_ {lm} Y_ {m} ^ {l} ( theta, varphi),}

(H2)

где $ж lm$ обобщены Коэффициенты Фурье.

Действие группы Лоренца ограничивается действием $ТАК (3)$ и выражается как

{ Displaystyle { begin {align} ( Pi (R) f) ( theta (x), varphi (x)) & = sum _ {l = 1} ^ { infty} sum _ {m , = - l} ^ {l} sum _ {m '= - l} ^ {l} D_ {mm'} ^ {(l)} (R) f_ {lm '} Y_ {m} ^ {l} left ( theta left (R ^ {- 1} x right), varphi left (R ^ {- 1} x right) right), [5pt] & R in mathrm {SO } (3), x in mathbb {S} ^ {2}, end {align}}}

(H4)

где $D л$ получаются из представителей нечетной размерности генераторов вращения.

Группа Мебиуса

Компонент единицы группы Лоренца изоморфен Группа Мебиуса $M$ . Эту группу можно представить как конформные отображения либо из комплексная плоскость или через стереографическая проекция, то Сфера Римана. Таким образом, можно думать, что сама группа Лоренца действует конформно на комплексной плоскости или на сфере Римана.

На плоскости преобразование Мёбиуса, характеризуемое комплексными числами $а, б, c, d$ действует на самолете согласно^[123]

{ displaystyle f (z) = { frac {az + b} {cz + d}}, qquad ad-bc neq 0}

.

(M1)

и могут быть представлены комплексными матрицами

{ displaystyle Pi _ {f} = { begin {pmatrix} A&B C&D end {pmatrix}} = lambda { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}}, qquad lambda in mathbb {C} - {0 }, operatorname {det} Pi _ {f} = 1,}

(M2)

поскольку умножение на ненулевой комплексный скаляр не меняет $ж$ . Это элементы ${ displaystyle { text {SL}} (2, mathbb {C})}$ и уникальны с точностью до знака (поскольку $\pm Π ж$ дать то же самое $ж$ ), следовательно ${ displaystyle { text {SL}} (2, mathbb {C}) / { pm I } cong { text {SO}} (3; 1) ^ {+}.}$

P-функции Римана

В P-функции Римана, решения дифференциального уравнения Римана, являются примером набора функций, которые трансформируются между собой под действием группы Лоренца. P-функции Римана выражаются как^[124]

{ displaystyle { begin {align} w (z) & = P left {{ begin {matrix} a & b & c & alpha & beta & gamma & ; z alpha '& beta' & gamma '& end {matrix}} right } & = left ({ frac {za} {zb}} right) ^ { alpha} left ({ frac {zc} { zb}} right) ^ { gamma} P left {{ begin {matrix} 0 & infty & 1 & 0 & alpha + beta + gamma & 0 & ; { frac {(za) (cb) } {(zb) (ca)}} alpha '- alpha & alpha + beta' + gamma & gamma '- gamma & end {matrix}} right } end {выровнено }},}

(Т1)

где $а, б, c, α, β, γ, α ', β ', γ '$ - комплексные константы. P-функция в правой части может быть выражена с помощью стандартных гипергеометрические функции. Связь^[125]

{ displaystyle P left {{ begin {matrix} 0 & infty & 1 & 0 & a & 0 & ; z 1-c & b & c-a-b & end {matrix}} right } = {} _ {2} F_ {1} (a, , b; , c; , z).}

(Т2)

Набор констант $0, \infty, 1$ в верхнем ряду слева находятся регулярные особые точки из Гипергеометрическое уравнение Гаусса.^[126] Его экспоненты, я. е. решения указательное уравнение, для разложения вокруг особой точки $0$ находятся $0$ и $1 - c$ , соответствующие двум линейно независимым решениям,^{[№ 34]} а для разложения вокруг особой точки $1$ они есть $0$ и $c - а - б$ .^[127] Аналогичным образом показатели для $\infty$ находятся $а$ и $б$ для двух решений.^[128]

Таким образом

{ displaystyle w (z) = left ({ frac {za} {zb}} right) ^ { alpha} left ({ frac {zc} {zb}} right) ^ { gamma} {} _ {2} F_ {1} left ( alpha + beta + gamma, , alpha + beta '+ gamma; , 1+ alpha - alpha'; , { frac {(za) (cb)} {(zb) (ca)}} right),}

(Т3)

где условие (иногда называемое тождеством Римана)^[129]

{ Displaystyle альфа + альфа '+ бета + бета' + гамма + гамма '= 1}

на показателях решений дифференциального уравнения Римана использовалась для определения $γ'$ .

Первый набор констант слева в (Т1), $а, б, c$ обозначает регулярные особые точки дифференциального уравнения Римана. Второй набор, $α, β, γ$ , - соответствующие показатели при $а, б, c$ для одного из двух линейно независимых решений и, соответственно, $α ', β ', γ '$ экспоненты на $а, б, c$ для второго решения.

Определите действие группы Лоренца на множестве всех P-функций Римана, сначала установив

{ displaystyle u ( Lambda) (z) = { frac {Az + B} {Cz + D}},}

(Т4)

куда $А, B, C, D$ записи в

{ displaystyle lambda = { begin {pmatrix} A&B C&D end {pmatrix}} in { text {SL}} (2, mathbb {C}),}

(Т5)

за $Λ = п (λ) \in SO (3; 1) +$ преобразование Лоренца.

Определять

{ Displaystyle [ Pi ( Lambda) P] (z) = P [U ( Lambda) (z)],}

(T6)

куда $п$ является P-функцией Римана. Результирующая функция снова является P-функцией Римана. Эффект от преобразования аргумента Мёбиуса заключается в сдвиге полюса в новые места, следовательно, меняются критические точки, но нет изменений в показателях дифференциального уравнения, которому удовлетворяет новая функция. Новая функция выражается как

{ Displaystyle [ Pi ( Lambda) P] (u) = P left {{ begin {matrix} eta & zeta & theta & alpha & beta & gamma & ; u alpha '& beta' & gamma '& end {matrix}} right },}

(T6)

куда

{ displaystyle eta = { frac {Aa + B} {Ca + D}} quad { text {and}} quad zeta = { frac {Ab + B} {Cb + D}} quad { text {and}} quad theta = { frac {Ac + B} {Cc + D}}.}

(T7)

Бесконечномерные унитарные представления

История

Группа Лоренца $ТАК (3; 1) +$ и его двойная крышка ${ displaystyle { text {SL}} (2, mathbb {C})}$ также имеют бесконечномерные унитарные представления, изученные независимо Баргманн (1947), Гельфанд и Наймарк (1947) и Хариш-Чандра (1947) по наущению Поль Дирак.^[130]^[131] Этот путь развития начался с Дирак (1936) где он разработал матрицы $U$ и $B$ необходимо для описания высшего спина (ср. Матрицы Дирака ), разработанный Фирц (1939), смотрите также Фирц и Паули (1939), и предложенные предшественники Уравнения Баргмана-Вигнера.^[132] В Дирак (1945) он предложил конкретное бесконечномерное пространство представления, элементы которого были названы экспансоры как обобщение тензоров.^{[№ 35]} Эти идеи были включены Хариш-Чандрой и расширены экспиноры как бесконечномерное обобщение спиноров в его статье 1947 года.

В Формула планшереля для этих групп была впервые получена Гельфандом и Наймарком путем сложных расчетов. Впоследствии лечение было значительно упрощено за счет Хариш-Чандра (1951) и Гельфанд и Граев (1953), основанный на аналоге для ${ displaystyle { text {SL}} (2, mathbb {C})}$ формулы интегрирования Герман Вейль за компактные группы Ли.^[133] Элементарные описания этого подхода можно найти в Рюль (1970) и Кнапп (2001).

Теория сферические функции для группы Лоренца, требуется для гармонический анализ на модель гиперболоида 3-х мерного гиперболическое пространство сидя в Пространство Минковского значительно проще, чем общая теория. Он включает только представления из сферических основная серия и может рассматриваться напрямую, поскольку в радиальных координатах Лапласиан на гиперболоиде эквивалентен лапласиану на ${ displaystyle mathbb {R}.}$ Эта теория обсуждается в Такахаши (1963), Хельгасон (1968), Хельгасон (2000) и посмертный текст Йоргенсон и Лэнг (2008).

Основная серия для SL (2, C)

В основная серия, или же унитарный главный ряд, - унитарные представления индуцированный из одномерных представлений нижнетреугольной подгруппы $B$ из ${ displaystyle G = { text {SL}} (2, mathbb {C}).}$ Поскольку одномерные представления $B$ соответствуют представлениям диагональных матриц с ненулевыми комплексными элементами $z$ и $z -1$ , таким образом, они имеют вид

{ displaystyle chi _ { nu, k} { begin {pmatrix} z ​​& 0 c & z ^ {- 1} end {pmatrix}} = r ^ {i nu} e ^ {ik theta},}

за $k$ целое число, $ν$ настоящий и с $z = повторно iθ$ . Представления несводимый; единственные повторы, т. е. изоморфизмы представлений, происходят, когда $k$ заменяется на $- k$ . По определению представления реализуются на $L 2$ разделы линейные пакеты на ${ Displaystyle G / B = mathbb {S} ^ {2},}$ который изоморфен Сфера Римана. Когда $k = 0$ эти представления составляют так называемые сферическая основная серия.

Ограничение главной серии на максимальную компактную подгруппу $K = SU (2)$ из $грамм$ также может быть реализовано как индуцированное представление $K$ используя идентификацию $грамм / B = K / Т$ , куда $Т = B \cap K$ это максимальный тор в $K$ состоящий из диагональных матриц с $| z | = 1$ . Это представление, индуцированное из одномерного представления $z k Т$ , и не зависит от $ν$ . К Взаимность Фробениуса, на $K$ они разлагаются как прямая сумма неприводимых представлений $K$ с размерами $| k | + 2 м + 1$ с $м$ неотрицательное целое число.

Используя отождествление между сферой Римана минус точка и ${ displaystyle mathbb {C},}$ основной ряд можно определить непосредственно на ${ Displaystyle L ^ {2} ( mathbb {C})}$ по формуле^[134]

{ displaystyle pi _ { nu, k} { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}} ^ {- 1} f (z) = | cz + d | ^ {- 2-i nu} left ({cz + d over | cz + d |} right) ^ {- k} f left ({az + b over cz + d} right).}

Несводимость можно проверить разными способами:

Представление неприводимо уже на $B$ . Это видно непосредственно, но это также частный случай общих результатов о неприводимости индуцированных представлений, обусловленных Франсуа Брюа и Джордж Макки, полагаясь на Разложение Брюа $грамм = B \cup BSB$ куда $s$ это Группа Вейля элемент^[135]

{ displaystyle { begin {pmatrix} 0 & -1 1 & 0 end {pmatrix}}}

.

Действие алгебры Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ из $грамм$ можно вычислить на алгебраической прямой сумме неприводимых подпространств $K$ можно вычислить явно, и можно непосредственно проверить, что подпространство наименьшей размерности порождает эту прямую сумму как ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ -модуль.^[8]^[136]

Дополнительная серия для SL (2, C)

Для $0 < т < 2$ дополнительный ряд определен на ${ Displaystyle L ^ {2} ( mathbb {C})}$ для внутреннего продукта^[137]

{ displaystyle (f, g) _ {t} = iint { frac {f (z) { overline {g (w)}}} {| zw | ^ {2-t}}} , dz , dw,}

с действием, данным^[138]^[139]

{ displaystyle pi _ {t} { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}} ^ {- 1} f (z) = | cz + d | ^ {- 2-t} f left ({az + b over cz + d} right).}

Представления дополнительной серии неприводимы и попарно неизоморфны. Как представление $K$ , каждое изоморфно прямой сумме гильбертова пространства всех нечетных неприводимых представлений $K = SU (2)$ . Неприводимость можно доказать, анализируя действие ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ на алгебраической сумме этих подпространств^[8]^[136] или напрямую без использования алгебры Ли.^[140]^[141]

Теорема Планшереля для SL (2, C)

Единственные неприводимые унитарные представления ${ displaystyle { text {SL}} (2, mathbb {C})}$ - основная серия, дополнительная серия и тривиальное представление. $- я$ выступает в качестве $(-1) k$ на главном ряду и тривиально на остатке они дадут все неприводимые унитарные представления группы Лоренца при условии, что $k$ считается четным.

Чтобы разложить левое регулярное представление $грамм$ на ${ Displaystyle L ^ {2} (G)}$ требуется только основная серия. Это сразу дает разложение на подпредставления ${ Displaystyle L ^ {2} (G / { pm I }),}$ левое регулярное представление группы Лоренца, и ${ displaystyle L ^ {2} (G / K),}$ регулярное представление в трехмерном гиперболическом пространстве. (Первое включает только представления основных серий с k даже и последние только те, у кого $k = 0$ .)

Левое и правое регулярное представление $λ$ и $ρ$ определены на ${ Displaystyle L ^ {2} (G)}$ к

{ Displaystyle { begin {выровнено} ( лямбда (g) f) (x) & = f left (g ^ {- 1} x right) ( rho (g) f) (x) & = f (xg) end {выровнено}}}

Сейчас если $ж$ является элементом $C c (грамм)$ , Оператор ${ Displaystyle пи _ { ню, к} (е)}$ определяется

{ Displaystyle пи _ { ню, к} (е) = int _ {G} е (г) пи (г) , dg}

является Гильберта-Шмидта. Определить гильбертово пространство $ЧАС$ к

{ displaystyle H = bigoplus _ {k geqslant 0} { text {HS}} left (L ^ {2} ( mathbb {C}) right) otimes L ^ {2} left ( mathbb {R}, c_ {k} { sqrt { nu ^ {2} + k ^ {2}}} d nu right),}

куда

{ displaystyle c_ {k} = { begin {cases} { frac {1} {4 pi ^ {3/2}}} & k = 0 { frac {1} {(2 pi) ^ {3/2}}} & k neq 0 end {case}}}

и ${ Displaystyle { текст {HS}} влево (L ^ {2} ( mathbb {C}) right)}$ обозначает гильбертово пространство операторов Гильберта – Шмидта на ${ displaystyle L ^ {2} ( mathbb {C}).}$ ^{[№ 36]} Тогда карта $U$ определено на $C c (грамм)$ к

{ Displaystyle U (е) ( ню, к) = пи _ { ню, к} (е)}

распространяется на унитарную ${ Displaystyle L ^ {2} (G)}$ на $ЧАС$ .

Карта $U$ удовлетворяет свойству переплетения

{ Displaystyle U ( лямбда (х) rho (y) f) ( nu, k) = pi _ { nu, k} (x) ^ {- 1} pi _ { nu, k} (f) pi _ { nu, k} (y).}

Если $ж 1, ж 2$ находятся в $C c (грамм)$ тогда по унитарности

{ displaystyle (f_ {1}, f_ {2}) = sum _ {k geqslant 0} c_ {k} ^ {2} int _ {- infty} ^ { infty} operatorname {Tr} left ( pi _ { nu, k} (f_ {1}) pi _ { nu, k} (f_ {2}) ^ {*} right) left ( nu ^ {2} + k ^ {2} right) , d nu.}

Таким образом, если ${ displaystyle f = f_ {1} * f_ {2} ^ {*}}$ обозначает свертка из ${ displaystyle f_ {1}}$ и ${ displaystyle f_ {2} ^ {*},}$ и ${ displaystyle f_ {2} ^ {*} (g) = { overline {f_ {2} (g ^ {- 1})}},}$ тогда^[142]

{ displaystyle f (1) = sum _ {k geqslant 0} c_ {k} ^ {2} int _ {- infty} ^ { infty} operatorname {Tr} left ( pi _ { nu, k} (f) right) left ( nu ^ {2} + k ^ {2} right) , d nu.}

Две последние отображаемые формулы обычно называются Формула планшереля и Обращение Фурье формула соответственно.

Формула Планшереля распространяется на всех ${ displaystyle f_ {i} in L ^ {2} (G).}$ По теореме Жак Диксмье и Пол Маллявин, каждая гладкая функция с компактным носителем на ${ displaystyle G}$ - конечная сумма сверток подобных функций, формула обращения верна для таких $ж$ . Его можно распространить на гораздо более широкие классы функций, удовлетворяющих умеренным условиям дифференцируемости.^[61]

Классификация представлений SO (3, 1)

Стратегия, используемая при классификации неприводимых бесконечномерных представлений, по аналогии с конечномерным случаем сводится к следующему: предполагать они существуют, и исследовать их свойства. Итак, сначала предположим, что неприводимая сильно непрерывный бесконечномерное представление $Π ЧАС$ в гильбертовом пространстве $ЧАС$ из $ТАК (3; 1) +$ под рукой.^[143] С $ТАК (3)$ подгруппа, $Π ЧАС$ это тоже его представление. Каждое неприводимое подпредставление $ТАК (3)$ конечномерна, а $ТАК (3)$ представление сводится к прямой сумме неприводимых конечномерных унитарных представлений $ТАК (3)$ если $Π ЧАС$ унитарен.^[144]

Шаги следующие:^[145]

Выберите подходящий базис из общих собственных векторов $J 2$ и $J 3$ .
Вычислить матричные элементы $J 1, J 2, J 3$ и $K 1, K 2, K 3$ .
Обеспечьте соблюдение коммутационных соотношений алгебры Ли.
Требовать унитарности вместе с ортонормированностью базиса.^{[nb 37]}

Шаг 1

Один подходящий выбор основы и маркировки дается

{ displaystyle left | j_ {0} , j_ {1}; j , m right rangle.}

Если бы это был конечномерный представление, то $j 0$ соответствует самому низкому собственному значению $j (j + 1)$ из $J 2$ в представлении равно $| м - п |$ , и $j 1$ будет соответствовать самому высокому собственному значению, равному $м + п$ . В бесконечномерном случае $j 0 \geq 0$ сохраняет это значение, но $j 1$ не.^[66] Для простоты предполагается, что данный $j$ встречается не более одного раза в данном представлении (это случай конечномерных представлений), и можно показать^[146] что предположение можно избежать (с помощью немного более сложных вычислений) с теми же результатами.

Шаг 2

Следующим шагом является вычисление матричных элементов операторов $J 1, J 2, J 3$ и $K 1, K 2, K 3$ составляющие основу алгебры Ли ${ displaystyle { mathfrak {so}} (3; 1).}$ Матричные элементы ${ displaystyle J _ { pm} = J_ {1} pm iJ_ {2}}$ и ${ displaystyle J_ {3}}$ (в усложненный Алгебра Ли) известны из теории представлений группы вращений и задаются формулами^[147]^[148]

{ Displaystyle { begin {align} left langle j , m right | J _ {+} left | j , m-1 right rangle & = left langle j , m-1 right | J _ {-} left | j , m right rangle = { sqrt {(j + m) (j-m + 1)}}, left langle j, m right | J_ {3} left | j , m right rangle & = m, end {align}}}

где этикетки $j 0$ и $j 1$ были отброшены, поскольку они одинаковы для всех базисных векторов в представлении.

Из-за коммутационных соотношений

{ displaystyle [J_ {i}, K_ {j}] = i epsilon _ {ijk} K_ {k},}

тройка $(K я, K я, K я) \equiv K$ это векторный оператор^[149] и Теорема Вигнера – Эккарта^[150] применяется для вычисления матричных элементов между состояниями, представленными выбранным базисом.^[151] Матричные элементы

{ displaystyle { begin {align} K_ {0} ^ {(1)} & = K_ {3}, K _ { pm 1} ^ {(1)} & = mp { frac {1} { sqrt {2}}} (K_ {1} pm iK_ {2}), end {align}}}

где верхний индекс $(1)$ означает, что определенные количества являются компонентами сферический тензорный оператор ранга $k = 1$ (что объясняет фактор $\sqrt 2$ а также) и нижние индексы $0, \pm1$ называются $q$ в формулах ниже даются^[152]

{ Displaystyle { begin {align} left langle j'm ' left | K_ {0} ^ {(1)} right | j , m right rangle & = left langle j' , m ', k = 1 , q = 0 | j , m right rangle left langle j left | K ^ {(1)} right | j' right rangle, left langle j'm ' left | K _ { pm 1} ^ {(1)} right | j , m right rangle & = left langle j' , m ', k = 1 , q = pm 1 | j , m right rangle left langle j left | K ^ {(1)} right | j ' right rangle. End {выравнивается} }}

Здесь первые множители в правой части: Коэффициенты Клебша – Гордана для сцепления $j'$ с $k$ получить $j$ . Второй фактор - это уменьшенные матричные элементы. Они не зависят от $м, м '$ или же $q$ , но зависят от $j, j '$ и, конечно же, $K$ . Полный список уравнений, не обращающихся в нуль, см. Хариш-Чандра (1947 г., п. 375).

Шаг 3

Следующий шаг - потребовать выполнения соотношений алгебры Ли, т. Е. Чтобы

{ displaystyle [K _ { pm}, K_ {3}] = pm J _ { pm}, quad [K _ {+}, K _ {-}] = - 2J_ {3}.}

Это приводит к системе уравнений^[153] для которых решения^[154]

{ displaystyle { begin {align} left langle j left | K ^ {(1)} right | j right rangle & = i { frac {j_ {1} j_ {0}} { sqrt {j (j + 1)}}}, left langle j left | K ^ {(1)} right | j-1 right rangle & = - B_ {j} xi _ {j} { sqrt {j (2j-1)}}, left langle j-1 left | K ^ {(1)} right | j right rangle & = B_ {j} xi _ {j} ^ {- 1} { sqrt {j (2j + 1)}}, end {выравнивается}}}

куда

{ displaystyle B_ {j} = { sqrt { frac {(j ^ {2} -j_ {0} ^ {2}) (j ^ {2} -j_ {1} ^ {2})} {j ^ {2} (4j ^ {2} -1)}}}, quad j_ {0} = 0, { tfrac {1} {2}}, 1, ldots quad { text {и}} quad j_ {1}, xi _ {j} in mathbb {C}.}

Шаг 4

Наложение требования унитарности соответствующего представления группа ограничивает возможные значения для произвольных комплексных чисел $j 0$ и $ξ j$ . Унитарность представления группы переводится к требованию, чтобы представители алгебры Ли были эрмитовыми, что означает

{ displaystyle K _ { pm} ^ { dagger} = K _ { mp}, quad K_ {3} ^ { dagger} = K_ {3}.}

Это означает^[155]

{ Displaystyle { begin {align} left langle j left | K ^ {(1)} right | j right rangle & = { overline { left langle j left | K ^ {(1)} right | j right rangle}}, left langle j left | K ^ {(1)} right | j-1 right rangle & = - { overline { left langle j-1 left | K ^ {(1)} right | j right rangle}}, end {выравнивается}}}

ведущий к^[156]

{ displaystyle { begin {align} j_ {0} left (j_ {1} + { overline {j_ {1}}} right) & = 0, left | B_ {j} right | left ( left | xi _ {j} right | ^ {2} -e ^ {- 2i beta _ {j}} right) & = 0, end {align}}}

куда $β j$ угол $B j$ на полярной форме. За $| B j | \neq 0$ следует ${displaystyle left|xi _{j} ight|^{2}=1}$ и ${displaystyle xi _{j}=1}$ is chosen by convention. There are two possible cases:

${displaystyle {underline {j_{1}+{overline {j_{1}}}=0.}}}$ В этом случае $j 1 = - iν$ , $ν$ настоящий,^[157]
${displaystyle leftlangle jleft|K^{(1)} ight|j ight angle ={frac { u j_{0}}{j(j+1)}}quad { ext{and}}quad B_{j}={sqrt {frac {(j^{2}-j_{0}^{2})(j^{2}+ u ^{2})}{4j^{2}-1}}}}$

Это основная серия. Its elements are denoted

{displaystyle (j_{0}, u ),2j_{0}in mathbb {N} , u in mathbb {R} .}

${displaystyle {underline {j_{0}=0.}}}$ Следует:^[158]
${displaystyle leftlangle jleft|K^{(1)} ight|j ight angle =0quad { ext{and}}quad B_{j}={sqrt {frac {j^{2}- u ^{2}}{4j^{2}-1}}}}$

С

B 0 = B j 0

,

B 2 j

is real and positive for

j = 1, 2, ...

, что приводит к

-1 \leq ν \leq 1

. Это дополнительная серия. Its elements are denoted

(0, ν), -1 \leq ν \leq 1

.

This shows that the representations of above are все infinite-dimensional irreducible unitary representations.

Явные формулы

Условные обозначения и основы алгебры Ли

The metric of choice is given by $η = diag(-1, 1, 1, 1)$ , and the physics convention for Lie algebras and the exponential mapping is used. These choices are arbitrary, but once they are made, fixed. One possible choice of основа for the Lie algebra is, in the 4-vector representation, given by:

{displaystyle {egin{aligned}J_{1}=J^{23}=-J^{32}&=i{egin{pmatrix}0&0&0&0�&0&0&0�&0&0&-1�&0&1&0end{pmatrix}},&K_{1}=J^{01}=-J^{10}&=i{egin{pmatrix}0&1&0&01&0&0&0�&0&0&0�&0&0&0end{pmatrix}},[8pt]J_{2}=J^{31}=-J^{13}&=i{egin{pmatrix}0&0&0&0�&0&0&1�&0&0&0�&-1&0&0end{pmatrix}},&K_{2}=J^{02}=-J^{20}&=i{egin{pmatrix}0&0&1&0�&0&0&01&0&0&0�&0&0&0end{pmatrix}},[8pt]J_{3}=J^{12}=-J^{21}&=i{egin{pmatrix}0&0&0&0�&0&-1&0�&1&0&0�&0&0&0end{pmatrix}},&K_{3}=J^{03}=-J^{30}&=i{egin{pmatrix}0&0&0&1�&0&0&0�&0&0&01&0&0&0end{pmatrix}}.[8pt]end{aligned}}}

The commutation relations of the Lie algebra ${ displaystyle { mathfrak {so}} (3; 1)}$ находятся:^[159]

{displaystyle left[J^{mu u },J^{ ho sigma } ight]=ileft(eta ^{sigma mu }J^{ ho u }+eta ^{ u sigma }J^{mu ho }-eta ^{ ho mu }J^{sigma u }-eta ^{ u ho }J^{mu sigma } ight).}

In three-dimensional notation, these are^[160]

{displaystyle left[J_{i},J_{j} ight]=iepsilon _{ijk}J_{k},quad left[J_{i},K_{j} ight]=iepsilon _{ijk}K_{k},quad left[K_{i},K_{j} ight]=-iepsilon _{ijk}J_{k}.}

The choice of basis above satisfies the relations, but other choices are possible. The multiple use of the symbol $J$ above and in the sequel should be observed.

Спиноры и биспиноры Вейля

Solutions to the Уравнение Дирака transform under the

(1 / 2, 0) \oplus (0, 1 / 2)

-представление. Dirac discovered the гамма-матрицы in his search for a relativistically invariant equation, then already known to mathematicians.^[110]

By taking, in turn, $м = 1 / 2, п = 0$ и $м = 0, п = 1 / 2$ and by setting

{displaystyle J_{i}^{left({frac {1}{2}} ight)}={frac {1}{2}}sigma _{i}}

in the general expression (G1), and by using the trivial relations $11 = 1$ и $J (0) = 0$ , следует

{displaystyle {egin{aligned}pi _{left({frac {1}{2}},0 ight)}(J_{i})&={frac {1}{2}}left(sigma _{i}otimes 1_{(1)}+1_{(2)}otimes J_{i}^{(0)} ight)={frac {1}{2}}sigma _{i}pi _{left({frac {1}{2}},0 ight)}(K_{i})&={frac {i}{2}}left(1_{(2)}otimes J_{i}^{(0)}-sigma _{i}otimes 1_{(1)} ight)=-{frac {i}{2}}sigma _{i}[6pt]pi _{left(0,{frac {1}{2}} ight)}(J_{i})&={frac {1}{2}}left(J_{i}^{(0)}otimes 1_{(2)}+1_{(1)}otimes sigma _{i} ight)={frac {1}{2}}sigma _{i}pi _{left(0,{frac {1}{2}} ight)}(K_{i})&={frac {i}{2}}left(1_{(1)}otimes sigma _{i}-J_{i}^{(0)}otimes 1_{(2)} ight)={frac {i}{2}}sigma _{i}end{aligned}}}

(W1)

These are the left-handed and right-handed Weyl spinor представления. They act by matrix multiplication on 2-dimensional complex vector spaces (with a choice of basis) $V L$ и $V р$ , whose elements $Ψ L$ и $Ψ р$ are called left- and right-handed Weyl spinors respectively. Данный

{displaystyle left(pi _{left({frac {1}{2}},0 ight)},V_{ ext{L}} ight)quad { ext{and}}quad left(pi _{left(0,{frac {1}{2}} ight)},V_{ ext{R}} ight)}

their direct sum as representations is formed,^[161]

{displaystyle {egin{aligned}pi _{left({frac {1}{2}},0 ight)oplus left(0,{frac {1}{2}} ight)}left(J_{i} ight)&={frac {1}{2}}{egin{pmatrix}sigma _{i}&0�&sigma _{i}end{pmatrix}}[8pt]pi _{left({frac {1}{2}},0 ight)oplus left(0,{frac {1}{2}} ight)}left(K_{i} ight)&={frac {i}{2}}{egin{pmatrix}sigma _{i}&0�&-sigma _{i}end{pmatrix}}end{aligned}}}

(D1)

This is, up to a similarity transformation, the $(1 / 2,0) \oplus (0, 1 / 2)$ Спинор Дирака представление ${ displaystyle { mathfrak {so}} (3; 1).}$ It acts on the 4-component elements $(Ψ L, Ψ р)$ из $(V L \oplus V р)$ , называется биспиноры, by matrix multiplication. The representation may be obtained in a more general and basis independent way using Алгебры Клиффорда. These expressions for bispinors and Weyl spinors all extend by linearity of Lie algebras and representations to all of ${ displaystyle { mathfrak {so}} (3; 1).}$ Expressions for the group representations are obtained by exponentiation.

Открытые проблемы

The classification and characterization of the representation theory of the Lorentz group was completed in 1947. But in association with the Bargmann–Wigner programme, there are yet unresolved purely mathematical problems, linked to the infinite-dimensional unitary representations.

The irreducible infinite-dimensional unitary representations may have indirect relevance to physical reality in speculative modern theories since the (generalized) Lorentz group appears as the маленькая группа of the Poincaré group of spacelike vectors in higher spacetime dimension. The corresponding infinite-dimensional unitary representations of the (generalized) Poincaré group are the so-called tachyonic representations. Тахионы appear in the spectrum of бозонные струны and are associated with instability of the vacuum.^[162]^[163] Even though tachyons may not be realized in nature, these representations must be mathematically понял in order to understand string theory. This is so since tachyon states turn out to appear in теории суперструн too in attempts to create realistic models.^[164]

One open problem is the completion of the Bargmann–Wigner programme for the isometry group $ТАК(D - 2, 1)$ из de Sitter spacetime $dS D -2$ . Ideally, the physical components of wave functions would be realized on the hyperboloid $dS D -2$ радиуса $μ > 0$ встроенный в ${displaystyle mathbb {R} ^{D-2,1}}$ и соответствующие $O (D -2, 1)$ covariant wave equations of the infinite-dimensional unitary representation to be known.^[163]

Смотрите также

Замечания

^ The way in which one represents the spacetime symmetries may take many shapes depending on the theory at hand. While not being the present topic, some details will be provided in footnotes labeled "nb", and in the section Приложения.
^ Вайнберг 2002, п. 1 "If it turned out that a system could not be described by a quantum field theory, it would be a sensation; if it turned out it did not obey the rules of quantum mechanics and relativity, it would be a cataclysm."
^ In 1945 Harish-Chandra came to see Dirac in Cambridge. He became convinced that he was not suitable for theoretical physics. Harish-Chandra had found an error in a proof by Dirac in his work on the Lorentz group. Dirac said "I am not interested in proofs but only interested in what nature does."
Harish-Chandra later wrote "This remark confirmed my growing conviction that I did not have the mysterious sixth sense which one needs in order to succeed in physics and I soon decided to move over to mathematics."
Dirac did however suggest the topic of his thesis, the classification of the irreducible infinite-dimensional representations of the Lorentz group.
Видеть Dalitz & Peierls 1986
^ See formula (1) in S-matrix#From free particle states for how free multi-particle states transform.
^ Вайнберг 2002, Equations 5.1.4–5. Weinberg deduces the necessity of creation and annihilation operators from another consideration, the cluster decomposition principle, Weinberg (2002, Chapter 4.)
^ A prescription for how the particle should behave under CPT symmetry may be required as well.
^ For instance, there are versions (free field equations, i.e. without interaction terms) of the Уравнение Клейна – Гордона, то Уравнение Дирака, то Уравнения Максвелла, то Уравнение Прока, то Rarita–Schwinger equation, а Уравнения поля Эйнштейна that can systematically be deduced by starting from a given representation of the Lorentz group. In general, these are collectively the quantum field theory versions of the Уравнения Баргмана – Вигнера.
Видеть Weinberg (2002, Chapter 5), Tung (1985, Section 10.5.2) and references given in these works.
It should be remarked that high spin theories ( $s > 1$ ) encounter difficulties. Видеть Weinberg (2002, Section 5.8), on general $(м, п)$ fields, where this is discussed in some depth, and references therein. High spin particles do without a doubt существовать, например nuclei, the known ones are just not элементарный.
^ For part of their representation theory, see Bekaert & Boulanger (2006), which is dedicated to representation theory of the Poincare group. These representations are obtained by the method of индуцированные представления or, in physics parlance, the method of the маленькая группа, pioneered by Wigner in 1939 for this type of group and put on firm mathematical footing by Джордж Макки in the fifties.
^ Hall (2015, Section 4.4.)
One says that a group has the свойство полной сводимости if every representation decomposes as a direct sum of irreducible representations.
^ Dirac suggested the topic of Wigner (1939) as early as 1928 (as acknowledged in Wigner's paper). He also published one of the first papers on explicit infinite-dimensional unitary representations in Dirac (1945) (Langlands 1985 ), and suggested the topic for Harish-Chandra's thesis classifying irreducible infinite-dimensional representations (Dalitz & Peierls 1986 ).
^ Knapp 2001 The rather mysterious looking third isomorphism is proved in chapter 2, paragraph 4.
^ Tensor products of representations, $π грамм \otimes π час$ из ${displaystyle {mathfrak {g}}oplus {mathfrak {h}}}$ can, when both factors come from the same Lie algebra ${displaystyle {mathfrak {h}}={mathfrak {g}},}$ either be thought of as a representation of ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ или же ${displaystyle {mathfrak {g}}oplus {mathfrak {g}}}$ .
^ When complexifying a сложный Lie algebra, it should be thought of as a настоящий Lie algebra of real dimension twice its complex dimension. Likewise, a real form may actually also be complex as is the case here.
^ Объединить Weinberg (2002, Equations 5.6.7–8, 5.6.14–15) with Hall (2015, Proposition 4.18) about Lie algebra representations of group tensor product representations.
^ The "traceless" property can be expressed as $S αβ грамм αβ = 0$ , или же $S α α = 0$ , или же $S αβ грамм αβ = 0$ depending on the presentation of the field: covariant, mixed, and contravariant respectively.
^ This doesn't necessarily come symmetric directly from the Lagrangian by using Теорема Нётер, but it can be symmetrized as the Belinfante–Rosenfeld stress–energy tensor.
^ This is provided parity is a symmetry. Else there would be two flavors, $(3 / 2, 0)$ и $(0, 3 / 2)$ по аналогии с нейтрино.
^ The terminology differs between mathematics and physics. In the linked article term projective representation has a slightly different meaning than in physics, where a projective representation is thought of as a local section (a local inverse) of the covering map from the covering group onto the group being covered, composed with a proper representation of the covering group. Since this can be done (locally) continuously in two ways in the case at hand as explained below, the terminology of a double-valued or two-valued representation is natural.
^ Особенно, $А$ commutes with the Матрицы Паули, hence with all of $SU (2)$ making Schur's lemma applicable.
^ Meaning the kernel is trivial, to see this recall that the kernel of a Lie algebra homomorphism is an идеальный and hence a subspace. С $п$ является $2:1$ и оба ${ displaystyle { text {SL}} (2, mathbb {C})}$ и $ТАК (3; 1) +$ находятся $6$ -размерный, the kernel must be $0$ -размерный, следовательно ${0}.$
^ The exponential map is one-to-one in a neighborhood of the identity in ${displaystyle { ext{SL}}(2,mathbb {C} ),}$ hence the composition ${displaystyle exp circ sigma circ log :{ ext{SL}}(2,mathbb {C} ) o { ext{SO}}(3;1)^{+},}$ куда $σ$ is the Lie algebra isomorphism, is onto an open neighborhood $U \subset SO(3; 1) +$ containing the identity. Such a neighborhood generates the connected component.
^ Россманн 2002 From Example 4 in section 2.1 : This can be seen as follows. Матрица $q$ имеет собственные значения ${-1, -1}$ , но это не так диагонализуемый. Если $q = ехр (Q)$ , тогда $Q$ имеет собственные значения $λ, - λ$ с $λ = я + 2 πik$ для некоторых $k$ потому что элементы ${ Displaystyle { mathfrak {sl}} (2, mathbb {C})}$ бесследны. Но потом $Q$ диагонализуема, следовательно $q$ диагонализуема; противоречие.
^ Россманн 2002, Предложение 10, п. 6.3. Это проще всего проверить с помощью теория характера.
^ Любая дискретная нормальная подгруппа группы путь подключен группа $грамм$ содержится в центре $Z$ из $грамм$ .
Зал 2015, Упражнение 11, глава 1.
^ В полупростой группе Ли нет недискретных нормальных абелевы подгруппы. Это можно принять за определение полупростоты.
^ В простой группе нет недискретных нормальных подгрупп.
^ Напротив, есть прием, также называемый унитарным приемом Вейля, но не связанный с унитарным приемом, показанным выше, показывающим, что все конечномерные представления являются или могут быть сделаны унитарными. Если $(Π, V)$ конечномерное представление компактный Группа Ли $грамм$ и если $(\cdot, \cdot)$ есть ли внутренний продукт на $V$ , определите новый внутренний продукт $(\cdot, \cdot) Π$ к $(Икс, у) Π = \int грамм (Π (грамм) Икс, Π (грамм) у dμ (грамм)$ , куда $μ$ является Мера Хаара на $грамм$ . потом $Π$ унитарен относительно $(\cdot, \cdot) Π$ . Видеть Холл (2015 г., Теорема 4.28.)
Другое следствие состоит в том, что каждая компактная группа Ли имеет свойство полной сводимости, что означает, что все его конечномерные представления распадаются как прямая сумма несводимый представления. Холл (2015 г., Определение 4.24., Теорема 4.28.)
Верно также и то, что не существует бесконечномерных несводимый унитарные представления компактных групп Ли, сформулированные, но не доказанные в Грейнер и Мюллер (1994 г., Раздел 15.2.).
^ Ли 2003 Лемма A.17 (c). Замкнутые подмножества компактов компактны.
^ Ли 2003 Лемма A.17 (a). Если $ж : Икс \to Y$ непрерывно, $Икс$ компактно, то $ж (Икс)$ компактный.
^ Неунитарность - жизненно важный ингредиент в доказательстве Теорема Коулмана – Мандулы, что подразумевает, что, в отличие от нерелятивистских теорий, не может существовать обычный симметрия, связывающая частицы разного спина. Видеть Вайнберг (2000)
^ Это один из выводов Теорема Картана, теорема старшего веса.
Холл (2015 г., Теоремы 9.4–5.)
^ Зал 2015, Раздел 8.2 Корневая система - это объединение двух копий $А 1$ , где каждая копия находится в своих измерениях в векторном пространстве внедрения.
^ Россманн 2002 Это определение эквивалентно определению в терминах связной группы Ли, алгебра Ли которой является алгеброй Ли рассматриваемой системы корней.
^ Видеть Симмонс (1972), Раздел 30.) для точных условий, при которых два Метод Фробениуса дает два линейно независимых решения. Если показатели не отличаются на целое число, это всегда так.
^ «Это настолько близко, насколько близко к истокам теории бесконечномерных представлений полупростых и редуктивных групп ...», Ленглендс (1985, п. 204.), ссылаясь на вводный отрывок из статьи Дирака 1945 года.
^ Отметим, что для гильбертова пространства $ЧАС$ , $HS (ЧАС)$ можно канонически отождествить с тензорным произведением гильбертова пространства $ЧАС$ и его сопряженное пространство.
^ Если требуется конечномерность, результатом будет $(м, п)$ представления, см. Дун (1985), Проблема 10.8.) Если ни то, ни другое не требуется, тогда более широкая классификация все получены неприводимые представления, в том числе конечномерные и унитарные. Такой подход используется в Хариш-Чандра (1947).

Примечания

^ Баргманн и Вигнер 1948
^ Бекаерт и Буланже 2006
^ Миснер, Торн и Уиллер, 1973
^ Вайнберг 2002, Раздел 2.5, Глава 5.
^ Дун 1985, Разделы 10.3, 10.5.
^ Дун 1985, Раздел 10.4.
^ Дирак 1945
^ ^а ^б ^c Хариш-Чандра 1947
^ ^а ^б Грейнер и Райнхардт, 1996 г., Глава 2.
^ Вайнберг 2002, Предисловие и введение к главе 7.
^ Вайнберг 2002, Введение в главу 7.
^ Дун 1985, Определение 10.11.
^ Грейнер и Мюллер (1994 г., Глава 1)
^ Грейнер и Мюллер (1994 г., Глава 2)
^ Дун 1985, п. 203.
^ Дельбурго, Салам и Стратди 1967
^ Вайнберг (2002 г., Раздел 3.3)
^ Вайнберг (2002 г., Раздел 7.4.)
^ Дун 1985, Введение в главу 10.
^ Дун 1985, Определение 10.12.
^ Дун 1985, Уравнение 10.5-2.
^ Вайнберг 2002, Уравнения 5.1.6–7.
^ ^а ^б Дун 1985, Уравнение 10.5–18.
^ Вайнберг 2002, Уравнения 5.1.11–12.
^ Дун 1985, Раздел 10.5.3.
^ Цвибах 2004, Раздел 6.4.
^ Цвибах 2004, Глава 7.
^ Цвибах 2004, Раздел 12.5.
^ ^а ^б Вайнберг 2000, Раздел 25.2.
^ Цвибах 2004, Последний абзац, раздел 12.6.
^ Эти факты можно найти в большинстве вводных текстов по математике и физике. См. Например Россманн (2002), Холл (2015) и Дун (1985).
^ Холл (2015 г., Теорема 4.34 и последующее обсуждение.)
^ ^а ^б ^c Вигнер 1939
^ Зал 2015, Приложение D2.
^ Грейнер и Райнхардт, 1996 г.
^ Вайнберг 2002, Раздел 2.6 и Глава 5.
^ ^а ^б Коулман 1989, п. 30.
^ Ложь 1888, 1890, 1893. Первоисточник.
^ Коулман 1989, п. 34.
^ Убийство 1888 Основной источник.
^ ^а ^б Россманн 2002, Исторические лакомые кусочки, разбросанные по тексту.
^ Картан 1913 Основной источник.
^ Зеленый 1998, р = 76.
^ Брауэр и Вейль, 1935 г. Основной источник.
^ Дун 1985, Вступление.
^ Вейль 1931 Основной источник.
^ Вейль 1939 Основной источник.
^ Ленглендс 1985, стр. 203–205
^ Хариш-Чандра 1947 Основной источник.
^ Дун 1985, Вступление
^ Вигнер 1939 Основной источник.
^ Клаудер 1999
^ Баргманн 1947 Основной источник.
^ Баргманн также был математик. Он работал как Альберт Эйнштейн помощник в Институт перспективных исследований в Принстоне (Клаудер (1999) ).
^ Баргманн и Вигнер 1948 Основной источник.
^ Далитц и Пайерлс 1986
^ Дирак 1928 Основной источник.
^ Вайнберг 2002, Уравнения 5.6.7–8.
^ Вайнберг 2002, Уравнения 5.6.9–11.
^ ^а ^б ^c Зал 2003, Глава 6.
^ ^а ^б ^c ^d Кнапп 2001
^ Это приложение Россманн 2002, Раздел 6.3, предложение 10.
^ ^а ^б Кнапп 2001, п. 32.
^ Вайнберг 2002, Уравнения 5.6.16–17.
^ Вайнберг 2002, Раздел 5.6. Уравнения следуют из уравнений 5.6.7–8 и 5.6.14–15.
^ ^а ^б Дун 1985
^ Вайнберг 2002 См. Сноску на стр. 232.
^ Ложь 1888
^ Россманн 2002, Раздел 2.5.
^ Зал 2015, Теорема 2.10.
^ Бурбаки 1998, п. 424.
^ Вайнберг 2002, Раздел 2.7 стр.88.
^ ^а ^б ^c ^d ^е Вайнберг 2002, Раздел 2.7.
^ Зал 2015, Приложение C.3.
^ Вигнер 1939, п. 27.
^ Гельфанд, Минлос и Шапиро, 1963 г. Эта конструкция покрывающей группы рассматривается в параграфе 4 раздела 1 главы 1 Части II.
^ Россманн 2002, Раздел 2.1.
^ Зал 2015, Впервые отобразились уравнения в разделе 4.6.
^ Зал 2015, Пример 4.10.
^ ^а ^б Кнапп 2001, Глава 2.
^ Кнапп 2001 Уравнение 2.1.
^ Зал 2015, Уравнение 4.2.
^ Зал 2015, Уравнение перед 4.5.
^ Кнапп 2001 Уравнение 2.4.
^ Кнапп 2001, Раздел 2.3.
^ Зал 2015, Теоремы 9.4–5.
^ Вайнберг 2002, Глава 5.
^ Зал 2015, Теорема 10.18.
^ Зал 2003, п. 235.
^ См. Любой текст по основам теории групп.
^ Россманн 2002 Предложения 3 и 6 пункта 2.5.
^ Зал 2003 См. Упражнение 1, Глава 6.
^ Бекаерт и Буланже 2006 стр.4.
^ Зал 2003 Предложение 1.20.
^ Ли 2003, Теорема 8.30.
^ Вайнберг 2002, Раздел 5.6, с. 231.
^ Вайнберг 2002, Раздел 5.6.
^ Вайнберг 2002, п. 231.
^ Вайнберг 2002, Разделы 2.5, 5.7.
^ Дун 1985, Раздел 10.5.
^ Вайнберг 2002 Это изложено (очень кратко) на странице 232, не более чем сноской.
^ Зал 2003, Предложение 7.39.
^ ^а ^б Зал 2003, Теорема 7.40.
^ Зал 2003, Раздел 6.6.
^ Зал 2003, Второй пункт предложения 4.5.
^ Зал 2003, п. 219.
^ Россманн 2002, Упражнение 3 в п. 6.5.
^ Зал 2003 См. Приложение D.3.
^ Вайнберг 2002, Уравнение 5.4.8.
^ ^а ^б Вайнберг 2002, Раздел 5.4.
^ Вайнберг 2002 С. 215–216.
^ Вайнберг 2002, Уравнение 5.4.6.
^ Вайнберг 2002 Раздел 5.4.
^ Вайнберг 2002, Раздел 5.7, стр. 232–233.
^ Вайнберг 2002, Раздел 5.7, с. 233.
^ Вайнберг 2002 Уравнение 2.6.5.
^ Вайнберг 2002 Уравнение, следующее за 2.6.6.
^ Вайнберг 2002, Раздел 2.6.
^ Для подробного обсуждения спина 0, 1/2 и 1 случаев, см. Грейнер и Райнхардт, 1996 г..
^ Вайнберг 2002, Глава 3.
^ Россманн 2002 См. Раздел 6.1 для получения дополнительных примеров, как конечномерных, так и бесконечномерных.
^ Гельфанд, Минлос и Шапиро, 1963 г.
^ Черчилль и Браун 2014, Глава 8 с. 307–310.
^ Гонсалес, П. А .; Васкес, Ю. (2014). «Квазинормальные моды Дирака черных дыр нового типа в новой массивной гравитации». Евро. Phys. J. C. 74:2969 (7): 3. arXiv:1404.5371. Bibcode:2014EPJC ... 74.2969G. Дои:10.1140 / epjc / s10052-014-2969-1. ISSN 1434-6044. S2CID 118725565.
^ Абрамовиц и Стегун, 1965 г., Уравнение 15.6.5.
^ Симмонс 1972, Разделы 30, 31.
^ Симмонс 1972, Разделы 30.
^ Симмонс 1972, Раздел 31.
^ Симмонс 1972, Уравнение 11 в приложении E, глава 5.
^ Ленглендс 1985, п. 205.
^ Варадараджан 1989, Разделы 3.1. 4.1.
^ Ленглендс 1985, п. 203.
^ Варадараджан 1989, Раздел 4.1.
^ Гельфанд, Граев и Пятецкий-Шапиро 1969
^ Кнапп 2001, Глава II.
^ ^а ^б Тейлор 1986
^ Кнапп 2001 Глава 2. Уравнение 2.12.
^ Баргманн 1947
^ Гельфанд и Граев 1953
^ Гельфанд и Наймарк 1947 г.
^ Такахаши 1963, п. 343.
^ Кнапп 2001, Уравнение 2.24.
^ Фолланд 2015, Раздел 3.1.
^ Фолланд 2015, Теорема 5.2.
^ Дун 1985, Раздел 10.3.3.
^ Хариш-Чандра 1947, Сноска стр. 374.
^ Дун 1985, Уравнения 7.3–13, 7.3–14.
^ Хариш-Чандра 1947, Уравнение 8.
^ Зал 2015, Предложение C.7.
^ Зал 2015, Приложение C.2.
^ Дун 1985, Шаг II, раздел 10.2.
^ Дун 1985, Уравнения 10.3–5. Обозначения Тунга для коэффициентов Клебша – Гордана отличаются от используемых здесь.
^ Дун 1985, Уравнение VII-3.
^ Дун 1985, Уравнения 10.3–5, 7, 8.
^ Дун 1985, Уравнение VII-9.
^ Дун 1985, Уравнения VII-10, 11.
^ Дун 1985, Уравнения VII-12.
^ Дун 1985, Уравнения VII-13.
^ Вайнберг 2002, Уравнение 2.4.12.
^ Вайнберг 2002, Уравнения 2.4.18–2.4.20.
^ Вайнберг 2002, Уравнения 5.4.19, 5.4.20.
^ Цвибах 2004, Раздел 12.8.
^ ^а ^б Бекаерт и Буланже 2006, п. 48.
^ Цвибах 2004, Раздел 18.8.

Свободно доступные онлайн-ссылки

Bekaert, X .; Буланже, Н. (2006). «Унитарные представления группы Пуанкаре в любом измерении пространства-времени». arXiv:hep-th / 0611263. Расширенная версия лекций, прочитанных на второй летней школе математической физики в Модаве (Бельгия, август 2006 г.).
Кертрайт, Т.; Фэрли, D B; Захос, К. К. (2014), «Компактная формула для вращений как спиновых матричных многочленов», СИГМА, 10: 084, arXiv:1402.3541, Bibcode:2014SIGMA..10..084C, Дои:10.3842 / SIGMA.2014.084, S2CID 18776942 Групповые элементы SU (2) выражаются в замкнутой форме как конечные многочлены от генераторов алгебры Ли для всех определенных спиновых представлений группы вращений.

Теория представлений группы Лоренца - Representation theory of the Lorentz group

Разработка

Приложения

Классическая теория поля

Релятивистская квантовая механика

Квантовая теория поля

Спекулятивные теории

Конечномерные представления

История

Алгебра Ли

Унитарный трюк

(μ, ν) -представления sl (2, C)

(м, п) -представления so (3; 1)

Общие представления

Внедиагональные прямые суммы

Группа

Сюръективность экспоненциального отображения для SO (3, 1)

Фундаментальная группа

Проективные представления

Накрывающая группа SL (2, C)

Геометрический вид

An algebraic view

Non-surjectiveness of exponential mapping for SL(2, C)

Realization of representations of SL(2, C) и sl(2, C) and their Lie algebras

Complex linear representations

Real linear representations

Properties of the (м, п) representations

Измерение

Верность

Неунитарность

Ограничение до SO (3)

Спиноры

Двойные представления

Комплексно сопряженные представления

Присоединенное представление, алгебра Клиффорда и спинорное представление Дирака

В (1/2, 0) ⊕ (0, 1/2) представление вращения

Приводимые представления

Инверсия пространства и обращение времени

Инверсия пространственной четности

Обратное время

Действие над функциональными пространствами

Евклидовы вращения

Группа Мебиуса

P-функции Римана

Бесконечномерные унитарные представления

История

Основная серия для SL (2, C)

Дополнительная серия для SL (2, C)

Теорема Планшереля для SL (2, C)

Классификация представлений SO (3, 1)

Шаг 1

Шаг 2

Шаг 3

Шаг 4

Явные формулы

Условные обозначения и основы алгебры Ли

Спиноры и биспиноры Вейля

Открытые проблемы

Смотрите также

Замечания

Примечания

Свободно доступные онлайн-ссылки

Рекомендации

Realization of representations of $SL(2, C)$ и $sl(2, C)$ and their Lie algebras

В $(1 / 2, 0) \oplus (0, 1 / 2)$ представление вращения