Форма кривизны - Википедия - Curvature form

В дифференциальная геометрия, то форма кривизны описывает кривизна из связь на основной пакет. Его можно рассматривать как альтернативу или обобщение тензор кривизны в Риманова геометрия.

Определение

Позволять грамм быть Группа Ли с Алгебра Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$, и п → B быть главный грамм-пучок. Пусть ω - Связь Эресманна на п (что является ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$-значен однотипный на п).

Тогда форма кривизны это ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$-значная 2-форма на п определяется

${ displaystyle Omega = d omega + {1 over 2} [ omega wedge omega].}$

Здесь ${ displaystyle d}$ означает внешняя производная и ${ Displaystyle [ cdot клин cdot]}$ определено в статье "Алгебразначная форма Ли ". Другими словами,^[1]

${ Displaystyle , Omega (X, Y) = d omega (X, Y) + [ omega (X), omega (Y)]}$

куда Икс, Y являются касательными векторами к п.

Есть еще одно выражение для Ω: если Икс, Y горизонтальные векторные поля на п, тогда^[2]

${ Displaystyle sigma Omega (X, Y) = - omega ([X, Y]) = - [X, Y] + h [X, Y]}$

куда Гц означает горизонтальную составляющую Z, справа мы отождествили вертикальное векторное поле и порождающий его элемент алгебры Ли (фундаментальное векторное поле ), и ${ displaystyle sigma in {1,2 }}$ является обратной величиной коэффициента нормализации, используемого по соглашению в формуле для внешняя производная.

Связь называется плоский если его кривизна равна нулю: Ω = 0. Аналогично, соединение является плоским, если структурная группа может быть сведена к той же основной группе, но с дискретной топологией. Смотрите также: плоский векторный набор.

Форма кривизны в векторном расслоении

Если E → B является векторным расслоением, то можно также рассматривать ω как матрицу 1-форм, и приведенная выше формула становится структурным уравнением Э. Картана:

${ Displaystyle , Омега = д омега + омега клин омега,}$

куда ${ displaystyle wedge}$ это клин. Точнее, если ${ displaystyle omega _ { j} ^ {i}}$ и ${ displaystyle Omega _ { j} ^ {i}}$ обозначим компоненты ω и Ω соответственно (так что каждый ${ displaystyle omega _ { j} ^ {i}}$ обычная 1-форма и каждая ${ displaystyle Omega _ { j} ^ {i}}$ обычная 2-форма), то

${ displaystyle Omega _ { j} ^ {i} = d omega _ { j} ^ {i} + sum _ {k} omega _ { k} ^ {i} клин omega _ { j} ^ {k}.}$

Например, для касательный пучок из Риманово многообразие, структурная группа - это O (п), а Ω - 2-форма со значениями в алгебре Ли O (п), т.е. антисимметричные матрицы. В этом случае форма Ω является альтернативным описанием тензор кривизны, т.е.

${ Displaystyle , R (X, Y) = Omega (X, Y),}$

используя стандартные обозначения тензора римановой кривизны.

Бьянки идентичности

Если ${ displaystyle theta}$ - каноническая векторнозначная 1-форма на расслоении реперов, кручение ${ displaystyle Theta}$ из форма подключения${ displaystyle omega}$ - векторная 2-форма, определяемая структурным уравнением

${ Displaystyle Theta = d theta + omega wedge theta = D theta,}$

где как указано выше D обозначает внешняя ковариантная производная.

Первая идентичность Бьянки принимает форму

${ Displaystyle D Theta = Omega wedge theta.}$

Вторая идентичность Бьянки принимает вид

${ displaystyle , D Omega = 0}$

и действительно для любого связь в основной пакет.

Примечания

Рекомендации

• Шошичи Кобаяси и Кацуми Номидзу (1963) Основы дифференциальной геометрии, Том I, Глава 2.5 Форма кривизны и уравнение структуры, стр. 75, Wiley Interscience.

Смотрите также

• Подключение (основной комплект)
• Базовое введение в математику искривленного пространства-времени
• Форма Черна-Саймонса
• Кривизна римановых многообразий
• Калибровочная теория