Подключение (основной комплект) - Connection (principal bundle)

В математика, и особенно дифференциальная геометрия и калибровочная теория, а связь это устройство, которое определяет понятие параллельный транспорт на пачке; то есть способ «соединить» или идентифицировать волокна в близлежащих точках. А главный г-связь на основной G-пучок п через гладкое многообразие M это особый тип подключения, совместимый с действие группы г.

Принципиальную связь можно рассматривать как частный случай понятия Связь Ehresmann, и иногда его называют основная связь Ehresmann. Это порождает (Ehresmann) связи на любом пучок волокон связано с п через связанный пакет строительство. В частности, на любом связанный векторный пучок основная связь индуцирует ковариантная производная, оператор, который может различать разделы этого пучка вместе касательные направления в базовом коллекторе. Основные связи обобщают на произвольные главные расслоения понятие линейное соединение на комплект кадров из гладкое многообразие.

Формальное определение

Позволять ${ displaystyle pi: P to M}$ быть гладким главный г-пучок через гладкое многообразие ${ displaystyle M}$ . Потом главный ${ displaystyle G}$ -связь на ${ displaystyle P}$ является дифференциальной 1-формой на ${ displaystyle P}$ со значениями в алгебре Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ из ${ displaystyle G}$ который ${ displaystyle G}$ -эквивариантный и воспроизводит то Генераторы алгебры Ли из фундаментальные векторные поля на ${ displaystyle P}$ .

Другими словами, это элемент ω из ${ displaystyle Omega ^ {1} (P, { mathfrak {g}}) cong C ^ { infty} (P, T ^ {*} P otimes { mathfrak {g}})}$ такой, что

${ displaystyle { hbox {Ad}} _ {g} (R_ {g} ^ {*} omega) = omega}$ где ${ displaystyle R_ {g}}$ обозначает правое умножение на ${ displaystyle g}$ , и ${ displaystyle operatorname {Ad} _ {g}}$ это присоединенное представительство на ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ (явно ${ displaystyle operatorname {Ad} _ {g} X = { frac {d} {dt}} g exp (tX) g ^ {- 1} { bigl |} _ {t = 0}}$ );
если ${ displaystyle xi in { mathfrak {g}}}$ и ${ Displaystyle X _ { xi}}$ является векторное поле на п связано с ξ путем дифференцирования г действие на п, тогда ${ Displaystyle омега (Х _ { xi}) = xi}$ (идентично на ${ displaystyle P}$ ).

Иногда термин основное G-соединение относится к паре ${ displaystyle (P, omega)}$ и ${ displaystyle omega}$ сам называется форма подключения или соединение 1-форма основного подключения.

Вычислительные замечания

Наиболее известные нетривиальные вычисления главных G-связей выполняются с помощью однородные пространства из-за тривиальности (ко) касательного расслоения. (Например, пусть $от { displaystyle G до H до H / G}$ , - главное G-расслоение над ${ displaystyle H / G}$ ) Это означает, что 1-формы на тотальном пространстве канонически изоморфны ${ Displaystyle С ^ { infty} (Н, { mathfrak {g}} ^ {*})}$ , где ${ Displaystyle { mathfrak {g}} ^ {*}}$ является двойственной алгеброй Ли, следовательно, G-связности биективны с ${ displaystyle C ^ { infty} (H, { mathfrak {g}} ^ {*} otimes { mathfrak {g}}) ^ {G}}$ .

Отношение к связям Ehresmann

Основное G-соединение ω на п определяет Связь Ehresmann на п следующим образом. Прежде всего отметим, что фундаментальные векторные поля, порождающие г действие на п обеспечивают изоморфизм расслоения (покрывающий тождество п) от связка Вице-президент к ${ displaystyle P times { mathfrak {g}}}$ , где Вице-президент = ker (dπ) является ядром касательное отображение ${ Displaystyle { mathrm {d}} pi двоеточие TP to TM}$ который называется вертикальный пучок из п. Это следует из того ω однозначно определяет карту связки v:TP→V что является тождеством на V. Такая проекция v однозначно определяется своим ядром, которое представляет собой гладкое подрасслоение ЧАС из TP (называется горизонтальный пучок ) такие, что TP=V⊕ЧАС. Это связь Эресмана.

И наоборот, связь Эресмана ЧАС⊂TP (или же v:TP→V) на п определяет основной г-связь ω если и только если это г-эквивариантно в том смысле, что ${ Displaystyle H_ {pg} = mathrm {d} (R_ {g}) _ {p} (H_ {p})}$ .

Отступите через раздел тривиализации

Тривиализирующее сечение главного расслоения п дается разделом s из п над открытым подмножеством U из M. Тогда откат s^*ω главной связности является 1-формой на U со значениями в ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ .Если раздел s заменяется новым разделом sg, определяется (sg)(Икс) = s(Икс)грамм(Икс), где грамм:M→г - гладкое отображение, то ${ displaystyle (sg) ^ {*} omega = operatorname {Ad} (g) ^ {- 1} s ^ {*} omega + g ^ {- 1} dg}$ . Основная связь однозначно определяется этим семейством ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ -значные 1-формы, и эти 1-формы также называются формы подключения или соединение 1-форм, особенно в более старой или более ориентированной на физику литературе.

Связка основных подключений

Группа г действует на касательный пучок TP по правильному переводу. В факторное пространство TP/г также является многообразием и наследует структуру пучок волокон над TM который будет обозначаться dπ:TP/г→TM. Пусть ρ:TP/г→M быть проекцией на M. Волокна пучка TP/г под проекцией ρ несут аддитивную структуру.

Пакет TP/г называется связка основных подключений (Кобаяши 1957 ). А раздел Γ элемента dπ:TP/г→TM такое, что Γ: TM → TP/г является линейным морфизмом векторных расслоений над M, можно отождествить с основной связью в п. И наоборот, основная связь, как определено выше, порождает такое сечение Γ TP/г.

Наконец, пусть Γ - главная связность в этом смысле. Позволять q:TP→TP/г - фактор-карта. Горизонтальное распределение соединения - жгут

{ displaystyle H = q ^ {- 1} Gamma (TM) subset TP.}

Мы снова видим ссылку на горизонтальное расслоение и, следовательно, связь Эресмана.

Аффинное свойство

Если ω и ω ' главные связи на главном расслоении п, то разница ω ' - ω это ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ -значная 1-форма на п что не только г-эквивариантно, но горизонтальный в том смысле, что он обращается в нуль на любом участке вертикального расслоения V из п. Следовательно, это базовый и так определяется 1-форма на M со значениями в сопряженный пучок

{ displaystyle { mathfrak {g}} _ {P}: = P times ^ {G} { mathfrak {g}}.}

И наоборот, любая такая форма определяет (через откат) a г-эквивариантной горизонтальной 1-формы на п, а пространство главных г-connections - это аффинное пространство для этого пространства 1-форм.

Индуцированные ковариантные и внешние производные

Для любого линейное представление W из г существует связанный векторный пучок ${ Displaystyle P times ^ {G} W}$ над M, а главная связь индуцирует ковариантная производная на любом таком векторном расслоении. Эту ковариантную производную можно определить, используя тот факт, что пространство сечений ${ Displaystyle P times ^ {G} W}$ над M изоморфно пространству г-эквивариантный W-значные функции на п. В более общем плане пространство k-формы со значениями в ${ Displaystyle P times ^ {G} W}$ отождествляется с пространством г-эквивариантный и горизонтальный W-ценный k-форма на п. Если α такой k-form, то его внешняя производная dα, несмотря на то что г-эквивариантный, больше не горизонтальный. Однако комбинация dα+ωΛα является. Это определяет внешняя ковариантная производная d^ω из ${ Displaystyle P times ^ {G} W}$ -ценный k-форма на M к ${ Displaystyle P times ^ {G} W}$ -значный (k+1) -форма на M. В частности, когда k= 0, получаем ковариантную производную на ${ Displaystyle P times ^ {G} W}$ .

Форма кривизны

В форма кривизны директора г-связь ω это ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ -значная 2-форма Ω, определяемая

{ displaystyle Omega = d omega + { tfrac {1} {2}} [ omega wedge omega].}

это г-эквивариантный и горизонтальный, следовательно, соответствует 2-форме на M со значениями в ${ Displaystyle { mathfrak {g}} _ {P}}$ . Отождествление кривизны с помощью этой величины иногда называют Второе структурное уравнение (Картана).^[1] Исторически возникновение структурных уравнений связано с развитием Картановое соединение. При переносе в контекст Группы Ли, структурные уравнения известны как Уравнения Маурера – Картана: это те же уравнения, но в другой обстановке и в другой записи.

Соединения на пучках рам и кручение

Если основной пучок п это комплект кадров, или (в более общем смысле) если у него есть форма припоя, то соединение является примером аффинная связь, и кривизна - не единственный инвариант, поскольку дополнительная структура припоя формирует θ, что является эквивариантным р^п-значная 1-форма на п, следует учитывать. В частности, форма кручения на п, является р^п-значная 2-форма Θ, определяемая

{ displaystyle Theta = mathrm {d} theta + omega wedge theta.}

Θ это г-эквивариантный и горизонтальный, поэтому он спускается к касательной 2-форме на M, называется кручение. Это уравнение иногда называют (Картана) первое структурное уравнение.