Параллельный транспорт - Parallel transport

Параллельная транспортировка вектора по замкнутому контуру (от A к N, к B и обратно к A) на сфере. Угол, на который он крутится,

{ displaystyle alpha}

, пропорциональна площади внутри петли.

В геометрия, параллельный транспорт это способ передачи геометрических данных по гладким кривым в многообразие. Если коллектор оборудован аффинная связь (а ковариантная производная или же связь на касательный пучок ), то эта связь позволяет переносить векторы многообразия по кривым так, чтобы они оставались параллельно что касается связи.

Таким образом, параллельный перенос соединения обеспечивает в некотором смысле способ перемещения локальной геометрии многообразия вдоль кривой, то есть соединение геометрии близлежащих точек. Может быть доступно множество понятий параллельного переноса, но определение одного - одного из способов соединения геометрии точек на кривой - равносильно предоставлению связь. Фактически, обычное понятие связи - это бесконечно малый аналог параллельного транспорта. Или же, наоборот, параллельный транспорт - это локальная реализация соединения.

Поскольку параллельный транспорт обеспечивает локальную реализацию соединения, он также обеспечивает локальную реализацию соединения. кривизна известный как голономия. В Теорема Амвросия – Зингера делает явным эту связь между кривизной и голономией.

Другие понятия связь также оснащены собственными параллельными транспортными системами. Например, Кошульская связь в векторный набор также допускает параллельный перенос векторов во многом так же, как и с ковариантной производной. An Ehresmann или же Картановое соединение поставляет подъем кривых из многообразия в полное пространство основной пакет. Такой подъем кривой иногда можно рассматривать как параллельную транспортировку системы отсчета.

Параллельный транспорт на векторном расслоении

Позволять M - гладкое многообразие. Позволять E→M быть векторный набор с ковариантная производная ∇ и γ: я→M а плавная кривая параметризованный открытым интервалом я. А раздел ${ displaystyle X}$ из ${ displaystyle E}$ вдоль γ называется параллельно если

{ displaystyle nabla _ { dot { gamma}} (t)} X = 0 { text {for}} t in I. ,}

Предположим, нам дан элемент е₀ ∈ E_п в п = γ(0) ∈ M, а не раздел. В параллельный транспорт из е₀ вдоль γ является продолжением е₀ к параллельному раздел Икс на γ.Точнее, Икс это уникальный раздел E вдоль γ такой, что

${ Displaystyle набла _ { точка { gamma}} X = 0}$
${ displaystyle X _ { gamma (0)} = e_ {0}.}$

Обратите внимание, что в любом заданном координатном патче (1) определяет обыкновенное дифференциальное уравнение, с начальное состояние дается формулой (2). Таким образом Теорема Пикара – Линделёфа гарантирует существование и уникальность решения.

Таким образом, соединение ∇ определяет способ перемещения элементов волокон по кривой, что обеспечивает линейные изоморфизмы между волокнами в точках на кривой:

{ Displaystyle Gamma ( gamma) _ {s} ^ {t}: E _ { gamma (s)} rightarrow E _ { gamma (t)}}

из векторного пространства, лежащего над γ (s) к таковому над γ (т). Этот изоморфизм известен как параллельный транспорт карта, связанная с кривой. Изоморфизмы между слоями, полученные таким образом, будут, как правило, зависеть от выбора кривой: если это не так, то параллельный перенос вдоль каждой кривой можно использовать для определения параллельных участков E по всему M. Это возможно только в том случае, если кривизна равен нулю.

В частности, параллельный транспорт по замкнутой кривой, начинающийся в точке Икс определяет автоморфизм касательного пространства в точке Икс что не обязательно тривиально. Параллельные транспортные автоморфизмы, определяемые всеми замкнутыми кривыми, базирующимися в Икс сформировать группа трансформации называется группа голономии из ∇ в Икс. Между этой группой и величиной кривизны при Икс; это содержание Теорема Амброуза – Зингера о голономии.

Восстановление связи с параллельного транспорта

Для ковариантной производной параллельный перенос вдоль кривой γ получается интегрированием условия ${ Displaystyle scriptstyle { nabla _ { точка { gamma}} = 0}}$ . И наоборот, если доступно подходящее понятие параллельного транспорта, то соответствующее соединение может быть получено путем дифференцирования. Такой подход обусловлен, по сути, Кнебельман (1951); видеть Гуггенхаймер (1977). Люмисте (2001) также использует этот подход.

Рассмотрим сопоставление каждой кривой γ многообразия набор отображений

{ Displaystyle Gamma ( gamma) _ {s} ^ {t}: E _ { gamma (s)} rightarrow E _ { gamma (t)}}

такой, что

${ displaystyle Gamma ( gamma) _ {s} ^ {s} = Id}$ , преобразование идентичности E_{γ (с)}.
${ Displaystyle Gamma ( gamma) _ {u} ^ {t} circ Gamma ( gamma) _ {s} ^ {u} = Gamma ( gamma) _ {s} ^ {t}.}$
Зависимость Γ от γ, s, и т "гладко".

Понятие гладкости в условии 3 довольно сложно определить (см. Обсуждение параллельного переноса в пучках волокон ниже). В частности, современные авторы, такие как Кобаяси и Номидзу, обычно рассматривают параллельный перенос соединения как исходящий от соединения в каком-то другом смысле, где легче выразить гладкость.

Тем не менее, учитывая такое правило для параллельного транспорта, можно восстановить связанную бесконечно малую связь в E следующее. Пусть γ - дифференцируемая кривая в M с начальной точкой γ (0) и начальным касательным вектором Икс = γ ′ (0). Если V это раздел E над γ, то пусть

{ displaystyle nabla _ {X} V = lim _ {h to 0} { frac { Gamma ( gamma) _ {h} ^ {0} V _ { gamma (h)} - V _ { гамма (0)}} {h}} = left. { frac {d} {dt}} Gamma ( gamma) _ {t} ^ {0} V _ { gamma (t)} right | _ {t = 0}.}

Это определяет ассоциированную инфинитезимальную связность ∇ на E. Из этой бесконечно малой связности восстанавливается тот же параллельный перенос Γ.

Частный случай: касательный пучок

Позволять M - гладкое многообразие. Затем подключение на касательный пучок из M, называется аффинная связь, выделяет класс кривых, называемый (аффинными) геодезические (Кобаяси и Номидзу, Том 1, Глава III). Плавная кривая γ: я → M является аффинная геодезическая если ${ displaystyle { dot { gamma}}}$ параллельно транспортируется по ${ displaystyle gamma}$ , то есть

{ Displaystyle Gamma ( gamma) _ {s} ^ {t} { dot { gamma}} (s) = { dot { gamma}} (t). ,}

Взяв производную по времени, это принимает более знакомую форму

{ displaystyle nabla _ {{ dot { gamma}} (t)} { dot { gamma}} = 0. ,}

Параллельный перенос в римановой геометрии

В (псевдо ) Риманова геометрия, а метрическое соединение - любое соединение, параллельные транспортные отображения которого сохраняют метрический тензор. Таким образом, метрическая связность - это любая связность Γ такая, что для любых двух векторов Икс, Y ∈ T_{γ (с)}

{ Displaystyle langle Gamma ( gamma) _ {s} ^ {t} X, Gamma ( gamma) _ {s} ^ {t} Y rangle _ { gamma (t)} = langle X , Y rangle _ { gamma (s)}.}

Взяв производную при т = 0, ассоциированный дифференциальный оператор ∇ должен удовлетворять правилу произведения относительно метрики:

{ Displaystyle Z langle X, Y rangle = langle nabla _ {Z} X, Y rangle + langle X, nabla _ {Z} Y rangle.}

Геодезические

Если ∇ - метрическая связность, то аффинные геодезические - это обычные геодезические римановой геометрии и являются кривыми, минимизирующими локальное расстояние. Точнее, сначала отметим, что если γ: я → M, куда я - открытый интервал, - геодезическая, то норма ${ displaystyle { dot { gamma}}}$ постоянно на я. В самом деле,

{ displaystyle { frac {d} {dt}} langle { dot { gamma}} (t), { dot { gamma}} (t) rangle = 2 langle nabla _ {{ точка { gamma}} (t)} { dot { gamma}} (t), { dot { gamma}} (t) rangle = 0.}

Из применения Лемма Гаусса что если А это норма ${ Displaystyle { точка { gamma}} (т)}$ тогда расстояние, индуцированное метрикой, между двумя достаточно близко точки на кривой γ, сказать γ(т₁) и γ(т₂), дан кем-то

{ displaystyle { mbox {dist}} { big (} gamma (t_ {1}), gamma (t_ {2}) { big)} = A | t_ {1} -t_ {2} | .}

Приведенная выше формула может быть неверной для точек, которые находятся недостаточно близко, поскольку геодезическая может, например, обернуть многообразие (например, на сфере).

Обобщения

Параллельный транспорт может быть определен в большей степени для других типов соединений, а не только для тех, которые определены в векторном пакете. Одно обобщение для основные связи (Кобаяши и Номидзу 1996, Том 1, Глава II). Позволять п → M быть основной пакет над многообразием M со структурой Группа Ли грамм и главную связь ω. Как и в случае векторных расслоений, главная связность ω на п определяет для каждой кривой γ в M, отображение

{ Displaystyle Gamma ( gamma) _ {s} ^ {t}: P _ { gamma (s)} rightarrow P _ { gamma (t)}}

из слоя над γ (s) к таковому над γ (т), который является изоморфизмом однородные пространства: т.е. ${ Displaystyle Gamma _ { gamma (s)} гу = g Gamma _ { gamma (s)}}$ для каждого грамм∈грамм.

Возможны также дальнейшие обобщения параллельного транспорта. В контексте Связи Ehresmann, где связь зависит от особого понятия "горизонтальный подъем "касательных пространств, можно определить параллельная транспортировка с помощью горизонтальных подъемников. Картановые соединения - это соединения Эресмана с дополнительной структурой, которая позволяет рассматривать параллельный транспорт как карту, "катящую" определенную модельное пространство вдоль кривой в многообразии. Этот прокат называется разработка.

Приближение: лестница Шильда

Две ступени Лестница Шильда. Сегменты А₁Икс₁ и А₂Икс₂ являются приближением к первому порядку параллельного переноса А₀Икс₀ по кривой.

Параллельный транспорт можно дискретно аппроксимировать следующим образом: Лестница Шильда, который делает конечные шаги по кривой и приближаетПараллелограмоиды Леви-Чивиты по приблизительным параллелограммы.

Смотрите также

внешняя ссылка

Демонстрация сферической геометрии. Апплет, демонстрирующий параллельный перенос касательных векторов на сфере.