Псевдориманово многообразие - Pseudo-Riemannian manifold

В дифференциальная геометрия, а псевдориманово многообразие,^[1]^[2] также называется полуриманово многообразие, это дифференцируемое многообразие с метрический тензор это везде невырожденный. Это обобщение Риманово многообразие в котором требование положительная определенность расслаблен.

Каждый касательное пространство псевдориманова многообразия является псевдоевклидово векторное пространство.

Особый случай, используемый в общая теория относительности четырехмерный Лоренцево многообразие для моделирования пространство-время, где касательные векторы можно классифицировать как подобный времени, нуль и пространственноподобный.

Вступление

Коллекторы

В дифференциальная геометрия, а дифференцируемое многообразие - пространство, локально похожее на Евклидово пространство. В п-мерном евклидовом пространстве любая точка может быть задана п действительные числа. Их называют координаты точки.

An п-мерное дифференцируемое многообразие является обобщением п-мерное евклидово пространство. В коллекторе можно определить только координаты локально. Это достигается путем определения координировать патчи: подмножества многообразия, которые можно отобразить в п-мерное евклидово пространство.

Видеть Многообразие, Дифференцируемое многообразие, Координатный патч Больше подробностей.

Касательные пространства и метрические тензоры

Связано с каждой точкой ${ displaystyle p}$ в ${ displaystyle n}$ -мерное дифференцируемое многообразие ${ displaystyle M}$ это касательное пространство (обозначено ${ displaystyle T_ {p} M}$ ). Это ${ displaystyle n}$ -размерный векторное пространство элементы которого можно рассматривать как классы эквивалентности кривых, проходящих через точку ${ displaystyle p}$ .

А метрический тензор это невырожденный, гладкая, симметричная, билинейная карта который присваивает настоящий номер к парам касательных векторов в каждом касательном пространстве многообразия. Обозначая метрический тензор через ${ displaystyle g}$ мы можем выразить это как

{ displaystyle g: T_ {p} M times T_ {p} M to mathbb {R}.}

Карта симметрична и билинейна, поэтому, если ${ displaystyle X, Y, Z in T_ {p} M}$ являются касательными векторами в точке ${ displaystyle p}$ к коллектору ${ displaystyle M}$ тогда у нас есть

${ Displaystyle , г (Х, Y) = г (Y, X)}$
${ Displaystyle , г (aX + Y, Z) = ag (X, Z) + g (Y, Z)}$

для любого реального числа ${ Displaystyle а в mathbb {R}}$ .

Который ${ displaystyle g}$ является невырожденный означает, что нет ненулевых ${ displaystyle X in T_ {p} M}$ такой, что ${ Displaystyle , г (X, Y) = 0}$ для всех ${ displaystyle Y in T_ {p} M}$ .

Подписи метрики

Учитывая метрический тензор грамм на п-мерное вещественное многообразие квадратичная форма q(Икс) = грамм(Икс, Икс) связанный с метрическим тензором, применяемым к каждому вектору любого ортогональный базис производит п реальные ценности. К Закон инерции Сильвестра, количество каждого положительного, отрицательного и нулевого значений, полученных таким образом, является инвариантом метрического тензора, независимо от выбора ортогонального базиса. В подпись (п, q, р) метрического тензора дает эти числа, показанные в том же порядке. Невырожденный метрический тензор имеет р = 0 и подпись может быть обозначена (п, q), куда п + q = п.

Определение

А псевдориманово многообразие ${ displaystyle (M, g)}$ это дифференцируемое многообразие ${ displaystyle M}$ снабженный всюду невырожденным, гладким, симметричным метрический тензор ${ displaystyle g}$ .

Такая метрика называется псевдориманова метрика. Применительно к векторному полю результирующее значение скалярного поля в любой точке многообразия может быть положительным, отрицательным или нулевым.

Сигнатура псевдоримановой метрики: (п, q), где оба п и q неотрицательны. Из условия невырожденности вместе с непрерывностью следует, что п и q остаются неизменными во всем коллекторе.

Лоренцево многообразие

А Лоренцево многообразие является важным частным случаем псевдориманова многообразия, в котором подпись метрики является (1, п−1) (эквивалентно, (п−1, 1); видеть Подписать соглашение ). Такие показатели называются Лоренцевы метрики. Они названы в честь голландского физика. Хендрик Лоренц.

Приложения в физике

После римановых многообразий лоренцевы многообразия образуют наиболее важный подкласс псевдоримановых многообразий. Они важны в приложениях общая теория относительности.

Основная предпосылка общей теории относительности заключается в том, что пространство-время можно моделировать как 4-мерное лоренцево многообразие сигнатуры (3, 1) или, что то же самое, (1, 3). В отличие от римановых многообразий с положительно определенной метрикой, неопределенная сигнатура позволяет классифицировать касательные векторы на подобный времени, ноль или же космический. С подписью (п, 1) или же (1, q), многообразие также локально (и, возможно, глобально) ориентировано во времени (см. Причинная структура ).

Свойства псевдоримановых многообразий

Как только Евклидово пространство ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ можно рассматривать как модель Риманово многообразие, Пространство Минковского ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {n-1,1}}$ с квартирой Метрика Минковского - модельное лоренцево многообразие. Точно так же модельное пространство для псевдориманова многообразия сигнатуры (п, q) является ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {p, q}}$ с метрикой

{ displaystyle g = dx_ {1} ^ {2} + cdots + dx_ {p} ^ {2} -dx_ {p + 1} ^ {2} - cdots -dx_ {p + q} ^ {2} }

Некоторые основные теоремы римановой геометрии можно обобщить на псевдориманов случай. В частности, основная теорема римановой геометрии верно и для псевдоримановых многообразий. Это позволяет говорить о Леви-Чивита связь на псевдоримановом многообразии вместе с ассоциированными тензор кривизны. С другой стороны, в римановой геометрии есть много теорем, которые не верны в обобщенном случае. Например, это нет верно, что каждое гладкое многообразие допускает псевдориманову метрику данной сигнатуры; есть определенные топологический препятствия. Кроме того, подмногообразие не всегда наследует структуру псевдориманова многообразия; например, метрический тензор обращается в нуль на любом светоподобный изгиб. В Тор Клифтона – Поля дает пример псевдориманова многообразия, которое является компактным, но не полным, комбинация свойств, которые Теорема Хопфа – Ринова. запрещает для римановых многообразий.^[3]

Смотрите также

внешняя ссылка

СМИ, связанные с Лоренцевы многообразия в Wikimedia Commons

[1] Бенн и Такер (1987), п. 172.

[2] Бишоп и Голдберг (1968), п. 208

[3] О'Нил (1983), п. 193.

[1]

[2]

[3]