Условия причинности - Causality conditions

При изучении Лоренцево многообразие время существует иерархия условия причинности которые важны при доказательстве математических теорем о глобальной структуре таких многообразий. Эти условия были собраны в конце 1970-х годов.^[1]

Чем слабее условие причинности в пространстве-времени, тем больше нефизический пространство-время есть. Время с замкнутые времяподобные кривые, например, представляют собой серьезные трудности интерпретации. Увидеть дедушка парадокс.

Разумно полагать, что любое физическое пространство-время будет удовлетворять самому сильному условию причинности: глобальная гиперболичность. Для таких пространств-времени уравнения в общая теория относительности можно представить как проблема начального значения на Поверхность Коши.

Иерархия

Существует иерархия условий причинности, каждое из которых строго сильнее предыдущего. Иногда это называют причинная лестница. Условия, от самых слабых до самых сильных, следующие:

Не совсем порочный
Хронологический
Причинный
Различать
Сильно причинный
Стабильно причинно
Причинно-непрерывный
Причинно просто
Глобально гиперболический

Даны определения этих условий причинности для Лоренцево многообразие ${ displaystyle (M, g)}$ . Если даны два или более, они эквивалентны.

Обозначение:

${ displaystyle p ll q}$ обозначает хронологическая связь.
${ Displaystyle p Prec q}$ обозначает причинная связь.

(Видеть причинная структура для определений ${ Displaystyle , я ^ {+} (х)}$ , ${ Displaystyle , я ^ {-} (х)}$ и ${ Displaystyle , J ^ {+} (х)}$ , ${ Displaystyle , J ^ {-} (х)}$ .)

Не совсем порочный

По некоторым пунктам ${ displaystyle p in M}$ у нас есть ${ displaystyle p not ll p}$ .

Хронологический

Замкнутых хронологических (повременных) кривых нет.
В хронологическая связь является иррефлексивный: ${ displaystyle p not ll p}$ для всех ${ displaystyle p in M}$ .

Причинный

Замкнутых причинных (непространственноподобных) кривых нет.
Если оба ${ Displaystyle p Prec q}$ и ${ Displaystyle д пре р}$ тогда ${ displaystyle p = q}$

Различать

Прошлое различение

Две точки ${ displaystyle p, q in M}$ которые имеют одно и то же хронологическое прошлое, являются одной и той же точкой:

{ displaystyle I ^ {-} (p) = I ^ {-} (q) подразумевает p = q}

Для любого района ${ displaystyle U}$ из ${ displaystyle p in M}$ существует район ${ Displaystyle V подмножество U, p in V}$ такая, что ни одна направленная в прошлое непространственная кривая из ${ displaystyle p}$ пересекает ${ displaystyle V}$ больше чем единожды.

Будущее отличая

Две точки ${ displaystyle p, q in M}$ которые имеют одно и то же хронологическое будущее, являются одной и той же точкой:

${ displaystyle I ^ {+} (p) = I ^ {+} (q) подразумевает p = q}$

Для любого района ${ displaystyle U}$ из ${ displaystyle p in M}$ существует район ${ Displaystyle V подмножество U, p in V}$ такая, что ни одна направленная в будущее непространственная кривая из ${ displaystyle p}$ пересекает ${ displaystyle V}$ больше чем единожды.

Сильно причинный

Для любого района ${ displaystyle U}$ из ${ displaystyle p in M}$ существует район ${ Displaystyle V подмножество U, p in V}$ такой, что не существует времениподобной кривой, проходящей через ${ displaystyle V}$ больше чем единожды.
Для любого района ${ displaystyle U}$ из ${ displaystyle p in M}$ существует район ${ Displaystyle V подмножество U, p in V}$ такой, что ${ displaystyle V}$ причинно выпукло в ${ displaystyle M}$ (и, следовательно, в ${ displaystyle U}$ ).
В Топология Александрова согласуется с топологией многообразия.

Стабильно причинно

Многообразие, удовлетворяющее любому из более слабых условий причинности, определенных выше, может не справиться с этим, если метрике задана небольшая возмущение. Пространство-время стабильно причинно, если оно не может содержать закрытые причинные кривые сколь угодно малыми возмущениями метрики. Стивен Хокинг показал^[2] что это эквивалентно:

Существует функция глобального времени на ${ displaystyle M}$ . Это скаляр поле ${ displaystyle t}$ на ${ displaystyle M}$ чей градиент ${ Displaystyle набла ^ {а} т}$ повсюду похож на время и направлен в будущее. Этот функция глобального времени дает нам стабильный способ различать будущее и прошлое для каждой точки пространства-времени (и поэтому у нас нет причинных нарушений).

Глобально гиперболический

${ displaystyle , M}$ является сильно причинный и каждый набор ${ displaystyle J ^ {+} (x) cap J ^ {-} (y)}$ (для очков ${ displaystyle x, y in M}$ ) является компактный.

Роберт Герох показал^[3] что пространство-время глобально гиперболично если и только если существует Поверхность Коши за ${ displaystyle M}$ . Это означает, что:

${ displaystyle M}$ топологически эквивалентен ${ Displaystyle mathbb {R} times ! , S}$ для некоторых Поверхность Коши ${ displaystyle S}$ (Здесь ${ Displaystyle mathbb {R}}$ обозначает реальная линия ).