Глобально гиперболическое многообразие - Globally hyperbolic manifold

Эта статья может быть слишком техническим для большинства читателей, чтобы понять. Пожалуйста помогите улучшить это к сделать понятным для неспециалистов, не снимая технических деталей. (Май 2008 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В математическая физика, глобальная гиперболичность определенное условие на причинная структура из пространство-время многообразие (т. е. лоренцево многообразие). Это называется гиперболическим, потому что основное условие, порождающее лоренцево многообразие, - это

• ${displaystyle t ^ {2} -r ^ {2} = T ^ {2}}$

(t и r - обычные переменные времени и радиуса), которое является одним из обычных уравнений, представляющих гипербола. Но это выражение верно только относительно обычного происхождения; затем в этой статье излагаются основы для обобщения этой концепции на любую пару точек в пространстве-времени. Альберт Эйнштейн теория общая теория относительности, и потенциально к другим метрическим гравитационным теориям.

Определения

Есть несколько эквивалентных определений глобальной гиперболичности. Позволять M - гладкое связное лоренцево многообразие без края. Сделаем следующие предварительные определения:

• M является не совсем порочный если существует хотя бы одна точка, через которую не проходит замкнутая времениподобная кривая.
• M является причинный если у него нет замкнутых причинных кривых.
• M является не полное тюремное заключение если в компакте не содержится нерасширяемой причинной кривой. Это свойство подразумевает причинность.
• M является сильно причинный если за каждую точку п и любой район U из п существует причинно выпуклая окрестность V из п содержалась в U, где причинная выпуклость означает, что любая причинная кривая с концами в V полностью содержится в V. Это свойство предполагает не полное тюремное заключение.
• Учитывая любую точку п в M, ${displaystyle J ^ {+} (p)}$ [соотв. ${displaystyle J ^ {-} (p)}$] представляет собой набор точек, которые могут быть достигнуты ориентированным на будущее [соотв. направленная в прошлое] непрерывная причинная кривая, начиная с п.
• Учитывая подмножество S из M, то область зависимости из S это множество всех точек п в M так что каждая непродолжительная причинная кривая через п пересекает S.
• Подмножество S из M является ахрональный если времениподобная кривая не пересекается S больше чем единожды.
• А Поверхность Коши за M замкнутое ахрональное множество, область зависимости которого M.

Следующие условия эквивалентны:

1. Пространство-время причинно, и для каждой пары точек п и q в M, пространство непрерывных направленных в будущее причинных кривых из п к q компактна в ${displaystyle {mathcal {C}} ^ {0}}$ топология.
2. Пространство-время имеет поверхность Коши.
3. Пространство-время причинно, и для каждой пары точек п и q в M, подмножество ${displaystyle J ^ {-} (p) cap J ^ {+} (q)}$ компактный.
4. Пространство-время не является тотальным заключением, и для каждой пары точек п и q в M, подмножество ${displaystyle {J ^ {-} (p) cap J ^ {+} (q)}}$ содержится в компакте (т. е. его замыкание компактно).

Если любое из этих условий выполнено, мы говорим M является глобально гиперболический. Если M является гладким связным лоренцевым многообразием с краем, мы называем его глобально гиперболическим, если его внутренность глобально гиперболична.

Другие эквивалентные характеристики глобальной гиперболичности используют понятие лоренцевского расстояния. ${displaystyle d (p, q): = sup _ {gamma} l (gamma)}$ где супремум берется по всем ${displaystyle C ^ {1}}$ причинные кривые, соединяющие точки (по соглашению d = 0, если такой кривой нет). Они есть

• Сильно причинное пространство-время, для которого ${displaystyle d}$ конечнозначно.^[1]
• Пространство-время, не полностью лишенное свободы, такое, что ${displaystyle d}$ непрерывна при любом выборе метрики в конформном классе исходной метрики.

Замечания

Глобальная гиперболичность в первой приведенной выше форме была введена Лере.^[2] чтобы учесть корректность задачи Коши для волнового уравнения на многообразии. В 1970 году Героч^[3] доказал эквивалентность определений 1 и 2. Определение 3 в предположении сильной причинности и его эквивалентность первым двум было дано Хокингом и Эллисом.^[4]

Как упоминалось, в более ранней литературе условие причинности в первом и третьем определениях глобальной гиперболичности, приведенных выше, заменено более сильным условием сильная причинность. В 2007 году Берналь и Санчес^[5] показал, что условие сильной причинности может быть заменено причинностью. В частности, любое глобально гиперболическое многообразие, как определено в п. 3, является сильно причинным. Позже Хуннонкпе и Мингуцци^[6] доказал, что для вполне разумных пространств-времени, точнее тех из них размерности больше трех, которые некомпактны или не полностью порочны, «причинное» условие может быть исключено из определения 3.

В определении 3 закрытие ${displaystyle J ^ {-} (p) cap J ^ {+} (q)}$ кажется сильным (фактически, замыкания множеств ${displaystyle J ^ {pm} (p)}$ подразумевать причинная простота, уровень причинной иерархии пространств-времени^[7] который остается чуть ниже глобальной гиперболичности). Эту проблему можно решить, усилив условие причинности, как в определении 4, предложенном Мингуцци.^[8] в 2009 году. Эта версия поясняет, что глобальная гиперболичность устанавливает условие совместимости между причинным отношением и понятием компактности: каждый причинный ромб содержится в компактном множестве, и каждая нерастяжимая причинная кривая ускользает от компактов. Заметьте, что чем больше семейство компактов, тем легче каузальным алмазам содержаться в некотором компакте, но тем труднее причинным кривым избежать компактов. Таким образом, глобальная гиперболичность уравновешивает обилие компактных множеств по отношению к причинной структуре. Поскольку более тонкие топологии имеют менее компактные множества, мы также можем сказать, что баланс находится на количестве открытых множеств, заданных причинной связью. Определение 4 также устойчиво к возмущениям метрики (которые в принципе могут вводить замкнутые причинные кривые). Фактически с помощью этой версии было показано, что глобальная гиперболичность устойчива по отношению к возмущениям метрики.^[9]

В 2003 году Берналь и Санчес^[10] показал, что любое глобально гиперболическое многообразие M имеет гладкую вложенную трехмерную поверхность Коши, и, кроме того, любые две поверхности Коши для M диффеоморфны. Особенно, M диффеоморфно произведению поверхности Коши с ${displaystyle mathbb {R}}$. Ранее было хорошо известно, что любая поверхность Коши глобально гиперболического многообразия является вложенным трехмерным ${displaystyle C ^ {0}}$ подмногообразие, любые два из которых гомеоморфны и такое, что многообразие топологически расщепляется как произведение поверхности Коши и ${displaystyle mathbb {R}}$. В частности, глобально гиперболическое многообразие расслаивается поверхностями Коши.

С учетом формулировка начального значения для уравнений Эйнштейна глобальная гиперболичность рассматривается как очень естественное условие в контексте общей теории относительности в том смысле, что при произвольных начальных данных существует единственное максимальное глобально гиперболическое решение уравнений Эйнштейна.

Смотрите также

• Условия причинности
• Причинная структура
• Световой конус

Рекомендации

• Хокинг, Стивен; Эллис, Г. Ф. Р. (1973). Крупномасштабная структура пространства-времени. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-09906-4.
• Вальд, Роберт М. (1984). Общая теория относительности. Чикаго: Издательство Чикагского университета. ISBN  0-226-87033-2.