Поверхность Коши - Cauchy surface

В математической области Лоренцева геометрия, а Поверхность Коши это определенный вид подмногообразие лоренцевого многообразия. В приложении лоренцевой геометрии к физике общая теория относительности, поверхность Коши обычно интерпретируется как определяющая «момент времени»; в математике общей теории относительности поверхности Коши играют важную роль в формулировке Уравнения Эйнштейна как эволюционная проблема.

Они названы в честь французского математика. Огюстен Луи Коши (1789-1857) в связи с их актуальностью для Задача Коши общей теории относительности.

Неформальное введение

Хотя обычно это выражается в терминах общая теория относительности, формальное понятие поверхности Коши можно понять в привычных терминах. Предположим, что люди могут путешествовать с максимальной скоростью 20 миль в час. Это накладывает ограничения для каждого конкретного человека на то, чего он может достичь к определенному времени. Например, человек, который находится в Мексике в 3 часа, не может прибыть в Ливию к 4 часам; однако это возможный для человека, который находится на Манхэттене в 1 час, чтобы добраться до Бруклина к 2 часам, поскольку эти места находятся на расстоянии десяти миль друг от друга. Говоря полуформально, игнорируйте часовые пояса и трудности путешествий и предполагайте, что путешественники - бессмертные существа, которые жили вечно.

Система всевозможных способов заполнения четырех пробелов

«Человек в (местоположение 1) в (время 1) может достичь (местоположения 2) в (время 2)»

определяет понятие причинная структура. А Поверхность Коши поскольку эта причинная структура представляет собой совокупность пар местоположений и времен, так что для любого гипотетического путешественника есть ровно одна пара местоположения и времени в наборе, для которой путешественник был в указанном месте в указанное время.

Есть ряд неинтересных поверхностей Коши. Например, одна поверхность Коши для этой причинной структуры задается путем рассмотрения пары каждого местоположения со временем 1 час (в определенный заданный день), поскольку любой гипотетический путешественник должен был быть в одном конкретном месте в это время; кроме того, в это время путешественник не может находиться в нескольких местах. Напротив, не может быть никакой поверхности Коши для этой причинной структуры, которая содержит как пару (Манхэттен, 1 час), так и (Бруклин, 2 часа), поскольку есть гипотетические путешественники, которые могли бы быть на Манхэттене в 1 час. часы и Бруклин в 2 часа.

Есть также несколько более интересных поверхностей Коши, которые сложнее описать вербально. Можно определить функцию τ из набора всех местоположений в набор за все времена, так что градиент τ везде меньше 1/20 часов на милю. Другой пример поверхности Коши - это набор пар

{ displaystyle { Big {} { big (} p, tau (p) { big)}: p { text {место на Земле}} { Big }}.}

Дело в том, что для любого гипотетического путешественника должно быть какое-то место. $п$ в котором путешественник был в то время $τ (п)$ ; это следует из теорема о промежуточном значении. Кроме того, невозможно, чтобы было два места. $п$ и $q$ и что есть путешественник, который находится в $п$ вовремя $τ (п)$ и в $q$ вовремя $τ (q)$ , так как теорема о среднем значении в какой-то момент им пришлось бы ехать со скоростью $расстояние (п, q) / | τ (п) - τ (q)|$ , который должен быть больше, чем «20 миль в час» из-за градиентного условия на τ: противоречие.

Физические теории специальная теория относительности и общая теория относительности определяют причинные структуры, которые схематично относятся к вышеупомянутому типу («путешественник может или не может достичь определенной точки пространства-времени из определенной другой точки пространства-времени»), за исключением того, что местоположения и время не могут быть четко отделены друг от друга. Следовательно, можно говорить о поверхностях Коши и для этих причинных структур.

Математическое определение и основные свойства

Позволять $(M, грамм)$ - лоренцево многообразие. Один говорит, что карта $c : (а, б) \to M$ является нерастяжимая дифференцируемая времениподобная кривая в $(M, грамм)$ если:

это дифференцируемый
$c'(т)$ времяподобно для каждого $т$ в интервале $(а, б)$
$c (т)$ не приближается к пределу, поскольку $т$ увеличивается до $б$ или как $т$ уменьшается до $а$ .^[1]

Подмножество $S$ из $M$ называется Поверхность Коши если всякая нерасширяемая дифференцируемая времениподобная кривая в $(M, грамм)$ имеет ровно одну точку пересечения с $S$ ; если такое подмножество существует, то $(M, грамм)$ называется глобально гиперболический.

Для поверхности Коши автоматически выполняется следующее: $S$ :

Подмножество $S \subset M$ топологически замкнуто и является вложенным непрерывным (и даже липшицевым) подмногообразием в $M$ . Поток любого непрерывного времениподобного векторного поля определяет гомеоморфизм $S \times ℝ \to M$ . Рассматривая ограничение обратной на другую поверхность Коши, можно увидеть, что любые две поверхности Коши гомеоморфны.

Трудно сказать больше о природе поверхностей Коши в целом. Пример

{ displaystyle { Big {} (t, x, y, z): t ^ {2} = { frac {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}} {2} }{Большой }}}

как поверхность Коши для пространства Минковского $ℝ 3,1$ проясняет, что даже для "простейших" лоренцевых многообразий поверхности Коши могут не быть дифференцируемыми всюду (в данном случае в начале координат) и что гомеомофизм $S \times ℝ \to M$ может не быть даже $C 1$ -диффеоморфизм. Однако те же аргументы, что и для общей поверхности Коши, показывают, что если поверхность Коши $S$ это $C k$ -подмногообразие $M$ , то поток гладкого времениподобного векторного поля определяет $C k$ -диффеоморфизм $S \times ℝ \to M$ , и что любые две поверхности Коши, обе $C k$ -подмногообразия $M$ будет $C k$ -диффеоморфный.

Кроме того, за счет невозможности рассматривать произвольную поверхность Коши всегда можно найти гладкие поверхности Коши (Bernal & Sánchez 2003):

Для любого гладкого лоренцево многообразия $(M, грамм)$ имеющая поверхность Коши, существует поверхность Коши $S$ которое является вложенным пространственноподобным гладким подмногообразием в $M$ и такой, что $S \times ℝ$ гладко диффеоморфно $M$ .

Развитие Коши

Позволять $(M, грамм)$ - ориентированное во времени лоренцево многообразие. Один говорит, что карта $c : (а, б) \to M$ является непродолжимая дифференцируемая причинная кривая в $(M, грамм)$ если:

это дифференцируемый
$c'(т)$ является либо ориентированным на будущее подобным времени, либо направленным в будущее нулевым значением для каждого $т$ в интервале $(а, б)$
$c (т)$ не приближается к пределу, поскольку $т$ уменьшается до $а$

Один определяет нерастяжимая в будущем дифференцируемая причинная кривая по тем же критериям, с фразой "как $т$ уменьшается до $а$ "заменено" как $т$ увеличивается до $б$ ". Учитывая подмножество $S$ из $M$ , то будущее развитие Коши $D + (S)$ из $S$ определяется как состоящий из всех точек $п$ из $M$ так что если $c : (а, б) \to M$ - любая дифференцируемая причинная кривая, не имеющая продолжения в прошлом и такая, что $c (т) = п$ для некоторых $т$ в $(а, б)$ , то существует несколько $s$ в $(а, б)$ с $c (s) \in S$ . Один бросает вызов прошлое развитие Коши $D - (S)$ по тем же критериям, заменив «непродолжительное прошлое» на «непродолжительное будущее».

Неформально:

Будущее развитие Коши $S$ состоит из всех точек $п$ так что любой наблюдатель, прибывающий $п$ должно быть прошло через $S$ ; прошлое развитие Коши $S$ состоит из всех точек $п$ так что любой наблюдатель, уходящий из $п$ придется пройти через $S$ .

В Развитие Коши $D (S)$ представляет собой союз будущего развития Коши и прошлого развития Коши.

Обсуждение

Когда нет замкнутых времениподобных кривых, ${ Displaystyle D ^ {+}}$ и ${ Displaystyle D ^ {-}}$ это два разных региона. Когда временное измерение замыкается повсюду, образуя круг, будущее и прошлое ${ Displaystyle { mathcal {S}}}$ одинаковы, и оба включают ${ Displaystyle { mathcal {S}}}$ . Поверхность Коши строго определяется в терминах пересечений с нерастяжимыми кривыми, чтобы иметь дело с этим случаем кругового времени. Нерасширяемая кривая - это кривая без концов: либо она продолжается вечно, оставаясь подобна времени или нулю, либо замыкается на себя, образуя круг, замкнутую непространственноподобную кривую.

Когда есть замкнутые времяподобные кривые или даже когда есть замкнутые непространственноподобные кривые, поверхность Коши по-прежнему определяет будущее, но будущее включает в себя саму поверхность. Это означает, что начальные условия подчиняются ограничению, и поверхность Коши не того же характера, что и в случае, когда будущее и прошлое не пересекаются.

Если замкнутых времениподобных кривых нет, то с учетом ${ Displaystyle { mathcal {S}}}$ частичная поверхность Коши и если ${ Displaystyle D ^ {+} ({ mathcal {S}}) cup { mathcal {S}} cup D ^ {-} ({ mathcal {S}}) = { mathcal {M}} }$ , целиком многообразие, тогда ${ Displaystyle { mathcal {S}}}$ является поверхностью Коши. Любая поверхность постоянного ${ displaystyle t}$ в Пространство-время Минковского является поверхностью Коши.

Горизонт Коши

Если ${ Displaystyle D ^ {+} ({ mathcal {S}}) cup { mathcal {S}} cup D ^ {-} ({ mathcal {S}}) not = { mathcal {M }}}$ тогда существует Горизонт Коши между ${ Displaystyle D ^ { pm} ({ mathcal {S}})}$ и области многообразия, не полностью определяемые сведениями о ${ Displaystyle { mathcal {S}}}$ . Наглядным физическим примером горизонта Коши является второй горизонт внутри заряженной или вращающейся черной дыры. Самый дальний горизонт - это горизонт событий, за пределами которого информация не может ускользнуть, но где будущее все еще определяется внешними условиями. Внутри внутреннего горизонта, горизонта Коши, видна сингулярность, и для предсказания будущего требуются дополнительные данные о том, что выходит из сингулярности.

Поскольку горизонт Коши черной дыры образуется только в области, где исходящие геодезические, в радиальных координатах, в области, где центральная сингулярность является отталкивающей, трудно представить, как именно она образуется. По этой причине Керр и другие предполагают, что горизонт Коши никогда не формируется, вместо этого внутренний горизонт фактически является пространственно-подобной или временной сингулярностью. Внутренний горизонт соответствует неустойчивости из-за массовая инфляция.^[2]

Однородное пространство-время с горизонтом Коши есть пространство анти-де Ситтера.

Смотрите также

причинная структура