Пространство Минковского - Minkowski space

Герман Минковски (1864–1909) обнаружил, что специальная теория относительности, введенная его бывшим учеником Альберт Эйнштейн, лучше всего можно понять как четырехмерное пространство, известное как пространство-время Минковского.

В математическая физика, Пространство Минковского (или же Пространство-время Минковского) (/мɪŋˈkɔːжskя,-ˈkɒж-/^[1]) представляет собой комбинацию трехмерный Евклидово пространство и время в четырехмерный многообразие где пространственно-временной интервал между любыми двумя События не зависит от инерциальная система отсчета в котором они записаны. Хотя изначально был разработан математиком Герман Минковски за Уравнения Максвелла электромагнетизма, математическая структура пространства-времени Минковского, как было показано, подразумевается постулаты специальной теории относительности.^[2]

Пространство Минковского тесно связано с Эйнштейна теория специальная теория относительности и является наиболее распространенной математической структурой, на основе которой формулируется специальная теория относительности. Хотя отдельные компоненты в евклидовом пространстве и времени могут отличаться из-за сокращение длины и замедление времени, в пространстве-времени Минковского все системы отсчета будут согласовывать общее расстояние в пространстве-времени между событиями.^{[nb 1]} Поскольку оно рассматривает время иначе, чем 3 пространственных измерения, пространство Минковского отличается от четырехмерное евклидово пространство.

В трехмерном евклидовом пространстве (например, просто Космос в Галилея относительность ), группа изометрии (карты, сохраняющие регулярную Евклидово расстояние ) это Евклидова группа. Он создается вращения, размышления и переводы. Когда время рассматривается как четвертое измерение, дальнейшие преобразования переводов во времени и Галилеевы бусты добавляются, и группа всех этих преобразований называется Галилейская группа. Все преобразования Галилея сохраняют 3-х мерный Евклидово расстояние. Это расстояние чисто пространственное. Разница во времени раздельно также сохранились. Это меняет пространство-время специальной теории относительности, где пространство и время переплетаются.

Пространство-время оснащено неопределенным невырожденный билинейная форма, по-разному называемые Метрика Минковского,^[3] в Норма Минковского в квадрате или же Внутренний продукт Минковского в зависимости от контекста.^{[nb 2]} Внутренний продукт Минковского определяется таким образом, чтобы получить пространственно-временной интервал между двумя событиями, когда в качестве аргумента задан их вектор разности координат.^[4] Математическая модель пространства-времени, снабженная этим внутренним продуктом, называется пространством Минковского. Аналогом группы Галилея для пространства Минковского, сохраняющим пространственно-временной интервал (в отличие от пространственного евклидова расстояния), является Группа Пуанкаре.

Как многообразия, пространство-время Галилея и пространство-время Минковского суть одинаковый. Они отличаются тем, какие дальнейшие структуры определены. на их. Первый имеет функцию евклидова расстояния и временной интервал (по отдельности) вместе с инерциальными системами отсчета, координаты которых связаны преобразованиями Галилея, в то время как последний имеет метрику Минковского вместе с инерциальными системами отсчета, координаты которых связаны преобразованиями Пуанкаре.

История

Комплексное пространство-время Минковского

В своей второй статье по теории относительности в 1905–06 гг. Анри Пуанкаре показал^[5] как, потратив время на то, чтобы стать воображаемой четвертой пространство-время координировать $ИКТ$ , куда $c$ это скорость света и $я$ это мнимая единица, Преобразования Лоренца можно представить как обычные вращения четырехмерной евклидовой сферы

{ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + (ict) ^ {2} = { text {const}}.}

Множество Пуанкаре $c = 1$ для удобства. Вращения в плоскостях, охватываемых двумя пространственными единичными векторами, появляются в координатном пространстве, а также в физическом пространстве-времени как евклидовы вращения и интерпретируются в обычном смысле. «Вращение» в плоскости, охватываемой единичным вектором пространства и единичным вектором времени, хотя формально все еще вращение в координатном пространстве, является Повышение лоренца в физическом пространстве-времени с настоящий инерциальные координаты. Аналогия с евклидовыми вращениями является лишь частичной, поскольку радиус сферы на самом деле является мнимым, что превращает вращения во вращение в гиперболическом пространстве (см. гиперболическое вращение )

Эта идея, о которой очень кратко упоминал Пуанкаре, была подробно разработана Минковским в обширной и влиятельной статье на немецком языке в 1908 году под названием «Основные уравнения электромагнитных процессов в движущихся телах».^[6] Минковский, используя эту формулировку, переформулировал тогда еще недавнюю теорию относительности Эйнштейна. В частности, повторяя Уравнения Максвелла как симметричная система уравнений от четырех переменных $(Икс, у, z, ИКТ)$ в сочетании с переопределенными векторными переменными для электромагнитных величин, он смог прямо и очень просто показать их инвариантность относительно преобразования Лоренца. Он также внес другой важный вклад и впервые применил матричную нотацию в этом контексте. Из его переформулировки он пришел к выводу, что время и пространство должны рассматриваться одинаково, и так возникла его концепция событий, происходящих в едином четырехмерном пространстве. пространственно-временной континуум.

Настоящее пространство-время Минковского

В ходе дальнейшего развития в своей лекции 1908 года "Пространство и время"^[7] Минковский дал альтернативную формулировку этой идеи, в которой использовалась координата реального времени вместо мнимой, представляющая четыре переменные $(Икс, у, z, т)$ пространства и времени в координатной форме в четырехмерном реальном векторное пространство. Точки в этом пространстве соответствуют событиям в пространстве-времени. В этом пространстве есть определенный световой конус связанные с каждой точкой, а события, не относящиеся к световому конусу, классифицируются по их отношению к вершине как космический или же подобный времени. В основном этот взгляд на пространство-время является актуальным в наши дни, хотя более старый взгляд, связанный с мнимым временем, также повлиял на специальную теорию относительности.

В английском переводе статьи Минковского метрика Минковского, как определено ниже, называется метрикой Минковского. линейный элемент. Приведенный ниже внутренний продукт Минковского выглядит безымянным при обращении к ортогональности (которую он называет нормальность) определенных векторов, а квадрат нормы Минковского называется (несколько загадочно, возможно, это зависит от перевода) как «сумма».

Главный инструмент Минковского - это Диаграмма Минковского, и он использует его для определения понятий и демонстрации свойств преобразований Лоренца (например, подходящее время и сокращение длины ) и дать геометрическую интерпретацию обобщению механики Ньютона на релятивистская механика. По этим специальным темам см. Статьи, на которые даны ссылки, поскольку представленное ниже представление будет в основном ограничено математической структурой (метрика Минковского и производные от нее величины и группа Пуанкаре как группа симметрии пространства-времени) следующий от инвариантности пространственно-временного интервала на пространственно-временном многообразии как следствия постулатов специальной теории относительности, а не до конкретного приложения или происхождение инвариантности пространственно-временного интервала. Эта структура обеспечивает основу для всех существующих релятивистских теорий, исключая общую теорию относительности, для которой плоское пространство-время Минковского все еще служит трамплином, поскольку искривленное пространство-время является локально лоренцевым.

Минковский, зная о фундаментальном изложении теории, которую он сделал, сказал:

Взгляды на пространство и время, которые я хочу изложить перед вами, выросли из почвы экспериментальной физики, и в этом их сила. Они радикальны. Отныне пространство само по себе и время само по себе обречены на то, чтобы раствориться в простых тенях, и только своего рода союз этих двух может сохранить независимую реальность.
— Герман Минковский, 1908, 1909^[7]

Хотя Минковский сделал важный шаг для физики, Альберт Эйнштейн увидел его ограничение:

В то время, когда Минковский давал геометрическую интерпретацию специальной теории относительности, расширяя евклидово трёхмерное пространство до квази-евклидов В четырехмерном пространстве, включающем время, Эйнштейн уже знал, что это неверно, поскольку исключает феномен гравитация. Он был еще далек от изучения криволинейных координат и Риманова геометрия, а также тяжелый математический аппарат.^[8]

Для получения дополнительной исторической информации см. Ссылки Галисон (1979), Корри (1997) и Уолтер (1999).

Причинная структура

Подразделение пространства-времени Минковского по событию на четыре непересекающихся множества. В световой конус, то абсолютное будущее, то абсолютное прошлое, и в другом месте. Терминология взята из Сард (1970).

Где $v$ скорость, а $Икс$ , $у$ , и $z$ находятся Декартово координаты в трехмерном пространстве, и $c$ - постоянная, представляющая универсальный предел скорости, и $т$ время, четырехмерный вектор $v = (ct, Икс, у, z) = (ct, р)$ классифицируется по признаку $c 2 т 2 - р 2$ . Вектор подобный времени если $c 2 т 2 > р 2$ , космический если $c 2 т 2 < р 2$ , и ноль или же легкий если $c 2 т 2 = р 2$ . Это может быть выражено знаком $η (v, v)$ также, что зависит от подписи. Классификация любого вектора будет одинаковой во всех системах отсчета, которые связаны преобразованием Лоренца (но не общим преобразованием Пуанкаре, поскольку в этом случае начало координат может быть перемещено) из-за инвариантности интервала.

Набор всех нулевых векторов в событии^{[№ 3]} пространства Минковского составляет световой конус этого события. Учитывая времяподобный вектор $v$ , Существует мировая линия постоянной скорости, связанной с ней, представленной прямой линией на диаграмме Минковского.

Как только направление времени выбрано,^{[№ 4]} времениподобные и нулевые векторы могут быть далее разложены на различные классы. Для времениподобных векторов

ориентированные в будущее времениподобные векторы, первая компонента которых положительна (вершина вектора расположена в абсолютном будущем на рисунке) и
направленные в прошлое времениподобные векторы, первая компонента которых отрицательна (абсолютное прошлое).

Нулевые векторы делятся на три класса:

нулевой вектор, компоненты которого в любом базисе равны $(0, 0, 0, 0)$ (источник),
направленные в будущее нулевые векторы, первая компонента которых положительна (верхний световой конус), и
направленные в прошлое нулевые векторы, первая компонента которых отрицательна (нижний световой конус).

Вместе с пространственноподобными векторами всего 6 классов.

An ортонормированный базис пространства Минковского обязательно состоит из одного времениподобного и трех пространственноподобных единичных векторов. Если кто-то хочет работать с неортонормированными базами, можно использовать другие комбинации векторов. Например, можно легко построить (неортонормированный) базис, полностью состоящий из нулевых векторов, который называется нулевая основа.

Векторные поля называются времениподобными, пространственноподобными или нулевыми, если ассоциированные векторы времениподобные, пространственноподобные или нулевые в каждой точке, где определяется поле.

Свойства времениподобных векторов

Временноподобные векторы имеют особое значение в теории относительности, поскольку они соответствуют событиям, которые доступны наблюдателю в (0, 0, 0, 0) со скоростью, меньшей, чем скорость света. Наибольший интерес представляют времениподобные векторы, которые аналогично направленный т.е. все либо в передних, либо в задних конусах. Такие векторы обладают рядом свойств, не общих для пространственно-подобных векторов. Они возникают из-за того, что как передний, так и задний конусы выпуклые, тогда как пространственно-подобная область не является выпуклой.

Скалярное произведение

Скалярное произведение двух времениподобных векторов $ты 1 = (т 1, Икс 1, у 1, z 1)$ и $ты 2 = (т 2, Икс 2, у 2, z 2)$ является

{ displaystyle eta (u_ {1}, u_ {2}) = u_ {1} cdot u_ {2} = c ^ {2} t_ {1} t_ {2} -x_ {1} x_ {2} -y_ {1} y_ {2} -z_ {1} z_ {2}.}

Положительность скалярного произведения: Важным свойством является то, что скалярное произведение двух одинаково направленных времениподобных векторов всегда положительно. Это видно из обращенного ниже неравенства Коши. Отсюда следует, что если скалярное произведение двух векторов равно нулю, то по крайней мере один из них должен быть пространственным. Скалярное произведение двух пространственно-подобных векторов может быть положительным или отрицательным, что можно увидеть, рассматривая произведение двух пространственно-подобных векторов, имеющих ортогональные пространственные компоненты и времена либо разных, либо одинаковых знаков.

Используя свойство положительности времениподобных векторов, легко проверить, что линейная сумма с положительными коэффициентами одинаково направленных времениподобных векторов также одинаково направлена и подобна времени (сумма остается внутри светового конуса из-за выпуклости).

Норма и обратное неравенство Коши

Норма времениподобного вектора $ты = (ct, Икс, у, z)$ определяется как

{ displaystyle left | u right | = { sqrt { eta (u, u)}} = { sqrt {c ^ {2} t ^ {2} -x ^ {2} -y ^ {2} -z ^ {2}}}}

Обратное неравенство Коши является еще одним следствием выпуклости любого светового конуса.^[9] Для двух различных одинаково направленных времениподобных векторов $ты 1$ и $ты 2$ это неравенство

{ displaystyle eta (u_ {1}, u_ {2})> left | u_ {1} right | left | u_ {2} right |}

или алгебраически,

{ displaystyle c ^ {2} t_ {1} t_ {2} -x_ {1} x_ {2} -y_ {1} y_ {2} -z_ {1} z_ {2}> { sqrt { left (c ^ {2} t_ {1} ^ {2} -x_ {1} ^ {2} -y_ {1} ^ {2} -z_ {1} ^ {2} right) left (c ^ { 2} t_ {2} ^ {2} -x_ {2} ^ {2} -y_ {2} ^ {2} -z_ {2} ^ {2} right)}}}

Отсюда видно свойство положительности скалярного произведения.

Неравенство обратного треугольника

Для двух одинаково направленных времениподобных векторов $ты$ и $ш$ , неравенство^[10]

{ Displaystyle влево | U + вес вправо | geq влево | и вправо | + влево | ш вправо |,}

где равенство имеет место при линейной зависимости векторов.

Доказательство использует алгебраическое определение с обращенным неравенством Коши:^[11]

{ Displaystyle влево | U + вес вправо | ^ {2} = влево | и вправо | ^ {2} +2 влево (и, ш вправо) + влево | ш право | ^ {2} geq left | u right | ^ {2} +2 left | u right | left | w right | + left | w right | ^ {2} = left ( left | u right | + left | w right | right) ^ {2}}

Результат вычисляется извлечением квадратного корня с обеих сторон.

Математическая структура

Ниже предполагается, что пространство-время наделено системой координат, соответствующей инерциальная система отсчета. Это обеспечивает источник, что необходимо для того, чтобы иметь возможность рассматривать пространство-время как моделируемое как векторное пространство. Это не совсем физически мотивировано тем, что каноническое происхождение («центральное» событие в пространстве-времени) должно существовать. Можно обойтись меньшей структурой, чем у аффинное пространство, но это без нужды усложнит обсуждение и не отразит, как плоское пространство-время обычно рассматривается математически в современной вводной литературе.

Для обзора пространство Минковского - это $4$ -размерный настоящий векторное пространство оснащена невырожденным, симметричная билинейная форма на касательное пространство в каждой точке пространства-времени здесь просто называется Внутренний продукт Минковского, с метрическая подпись либо $(+ - - -)$ или же $(- + + +)$ . Касательное пространство в каждом событии представляет собой векторное пространство той же размерности, что и пространство-время, $4$ .

Касательные векторы

Графическое изображение касательного пространства в точке,

Икс

, на сфера. Это векторное пространство можно рассматривать как подпространство

ℝ 3

сам. Тогда векторы в нем будут называться геометрические касательные векторы. По тому же принципу касательное пространство в точке плоского пространства-времени можно рассматривать как подпространство пространства-времени, которое оказывается все пространства-времени.

На практике касательные пространства не касаются. Природа векторного пространства пространства Минковского позволяет канонически идентифицировать векторы в касательных пространствах в точках (событиях) с векторами (точками, событиями) в самом пространстве Минковского. См. Например Ли (2003), Предложение 3.8.) Эти отождествления обычно выполняются в математике. Формально их можно выразить в декартовых координатах как^[12]

{ displaystyle { begin {align} left (x ^ {0}, , x ^ {1}, , x ^ {2}, , x ^ {3} right) & leftrightarrow left.x ^ {0} mathbf {e} _ {0} right | _ {p} + left.x ^ {1} mathbf {e} _ {1} right | _ {p} + left.x ^ {2} mathbf {e} _ {2} right | _ {p} + left.x ^ {3} mathbf {e} _ {3} right | _ {p} & leftrightarrow left.x ^ {0} mathbf {e} _ {0} right | _ {q} + left.x ^ {1} mathbf {e} _ {1} right | _ {q} + left.x ^ {2} mathbf {e} _ {2} right | _ {q} + left.x ^ {3} mathbf {e} _ {3} right | _ {д}, конец {выровнено}}}

с базисными векторами в касательных пространствах, определяемыми

{ displaystyle left. mathbf {e} _ { mu} right | _ {p} = left. { frac { partial} { partial x ^ { mu}}} right | _ { p} { text {или}} mathbf {e} _ {0} | _ {p} = left ({ begin {matrix} 1 0 0 0 end {matrix}} справа) { text {, etc}}.}

Здесь $п$ и $q$ - любые два события, а последняя идентификация называется параллельный транспорт. Первая идентификация - это каноническая идентификация векторов в касательном пространстве в любой точке с векторами в самом пространстве. Появление базисных векторов в касательных пространствах как дифференциальных операторов первого порядка связано с этим отождествлением. Это мотивировано наблюдением, что геометрический касательный вектор может быть взаимно однозначно связан с производная по направлению оператор на множестве гладких функций. Это повышено до определение касательных векторов в многообразиях нет обязательно быть встроенным в $р п$ . Это определение касательных векторов не единственно возможное, поскольку обычное п-также можно использовать пары.

Определение касательных векторов как обычных векторов

Касательный вектор в точке $п$ может быть определен здесь специализированным для декартовых координат в лоренцевых системах отсчета, как $4 \times 1$ вектор-столбец $v$ связано с каждый Фрейм Лоренца, связанный преобразованием Лоренца $Λ$ такой, что вектор $v$ в кадре, связанном с каким-то кадром $Λ$ трансформируется в соответствии с $v \to Λ v$ . Это одно и тоже способ, которым координаты $Икс μ$ преобразовать. Явно,

{ displaystyle { begin {align} x '^ { mu} & = { Lambda ^ { mu}} _ { nu} x ^ { nu}, v' ^ { mu} & = { Lambda ^ { mu}} _ { nu} v ^ { nu}. End {align}}}

Это определение эквивалентно определению, данному выше при каноническом изоморфизме.

Для некоторых целей желательно определить касательные векторы в точке $п$ с векторы смещения в $п$ , что, конечно, допустимо при той же канонической идентификации.^[13] Идентификации векторов, упомянутых выше в математической постановке, соответственно можно найти в более физической и явно геометрической постановке в Миснер, Торн и Уиллер (1973). Они предлагают различную степень сложности (и строгости) в зависимости от того, какую часть материала вы хотите прочитать.

Подпись метрики

Метрическая подпись указывает, какой знак дает внутреннее произведение Минковского при заданном пространстве (космический чтобы быть конкретным, определенным ниже) и базисные векторы времени (подобный времени) в качестве аргументов. Дальнейшее обсуждение этого теоретически несущественного, но практически необходимого выбора с точки зрения внутренней согласованности и удобства отложено до скрытого поля ниже.

Выбор метрической подписи

В общем, за некоторыми исключениями, математики и общие релятивисты предпочитают пространственноподобные векторы, чтобы они давали положительный знак, $(- + + +)$ , в то время как физики элементарных частиц предпочитают времениподобные векторы, чтобы они давали положительный знак, $(+ - - -)$ . Авторы из нескольких областей физики, например Стивен Вайнберг и Ландау и Лифшиц ( $(- + + +)$ и $(+ - - -)$ соответственно) придерживайтесь одного варианта независимо от темы. Аргументы в пользу первого соглашения включают «непрерывность» из евклидова случая, соответствующего нерелятивистскому пределу. $c \to \infty$ . Аргументы в пользу последнего включают исчезновение знаков минус, которые в остальном широко распространены в физике элементарных частиц. Тем не менее, другие авторы, особенно вводные тексты, например Клеппнер и Коленков (1978), делать нет выберите подпись вообще, но вместо этого выберите координацию пространства-времени так, чтобы время координировать (но не само время!) мнимо. Это устраняет необходимость в явный введение метрический тензор (что может показаться лишним бременем во вводном курсе), и нужно нет быть озабоченным ковариантные векторы и контравариантные векторы (или повышающие и понижающие индексы), которые будут описаны ниже. Внутренний продукт вместо этого осуществляется прямым расширением скалярное произведение в $ℝ 3$ к $ℝ 3 \times ℂ$ . Это работает в плоском пространстве-времени специальной теории относительности, но не в искривленном пространстве-времени общей теории относительности, см. Миснер, Торн и Уиллер (1973, Вставка 2.1, Прощание ИКТ) (кто, кстати, пользуется $(- + + +)$ ). MTW также утверждает, что скрывает истинное неопределенный природа метрики и истинная природа повышения Лоренца, которые не являются вращениями. Это также без необходимости усложняет использование инструментов дифференциальная геометрия которые в противном случае немедленно доступны и полезны для геометрического описания и вычислений - даже в плоском пространстве-времени специальной теории относительности, например электромагнитного поля.

Терминология

Математически с билинейной формой связана тензор типа $(0,2)$ в каждой точке пространства-времени, называемой Метрика Минковского.^{[№ 5]} Метрика Минковского, билинейная форма и внутреннее произведение Минковского - это один и тот же объект; это билинейная функция, которая принимает два (контравариантных) вектора и возвращает действительное число. В координатах это $4\times4$ матрица, представляющая билинейную форму.

Для сравнения в общая теория относительности, а Лоренцево многообразие $L$ также оснащен метрический тензор $грамм$ , которая является невырожденной симметричной билинейной формой на касательном пространстве $Т п L$ в каждой точке $п$ из $L$ . В координатах это может быть $4\times4$ матрица в зависимости от положения в пространстве-времени. Таким образом, пространство Минковского является сравнительно простым частным случаем лоренцевого многообразия. Его метрический тензор находится в координатах одной и той же симметричной матрицы в каждой точке $M$ , и его аргументы, согласно вышеизложенному, могут быть взяты как векторы в самом пространстве-времени.

Вводя больше терминологии (но не больше структуры), пространство Минковского, таким образом, является псевдоевклидово пространство с общим размером $п = 4$ и подпись $(3, 1)$ или же $(1, 3)$ . Элементы пространства Минковского называются События. Пространство Минковского часто обозначают $ℝ 3,1$ или же $ℝ 1,3$ чтобы подчеркнуть выбранную подпись, или просто $M$ . Это, пожалуй, самый простой пример псевдориманово многообразие.

Интересным примером неинерциальных координат для (части) пространства-времени Минковского являются Родившиеся координаты. Еще один полезный набор координат - это координаты светового конуса.

Псевдоевклидовы метрики

За исключением времениподобных векторов, внутреннее произведение Минковского не является внутренний продукт, так как это не положительно определенный, т.е. квадратичная форма $η (v, v)$ не обязательно быть положительным для ненулевого $v$ . Условие положительной определенности заменено более слабым условием невырожденности. Билинейная форма называется неопределенный.Метрика Минковского $η$ - метрический тензор пространства Минковского. Это псевдоевклидова метрика или, в более общем смысле, метрика. постоянный псевдориманова метрика в декартовых координатах. Как таковая, это невырожденная симметричная билинейная форма, тип $(0, 2)$ тензор. Он принимает два аргумента $ты п, v п$ , векторы в $Т п M, п \in M$ , касательное пространство в точке $п$ в $M$ . В связи с вышеупомянутой канонической идентификацией $Т п M$ с $M$ сам принимает аргументы $ты, v$ с обоими $ты$ и $v$ в $M$ .

В качестве условного обозначения векторы $v$ в $M$ , называется 4-векторы, обозначаются курсивом, а не жирным шрифтом, как это принято в евклидовой среде. $v$ . Последний обычно зарезервирован для $3$ -векторная часть (будет введена ниже) $4$ -вектор.

Определение ^[14]

{ Displaystyle и cdot v = eta (и, , v)}

дает внутреннюю структуру продукта на $M$ , ранее и впредь называемые Внутренний продукт Минковского, аналогично евклидовой внутренний продукт, но описывает другую геометрию. Его еще называют релятивистский скалярный продукт. Если два аргумента одинаковы,

{ Displaystyle и cdot и = эта (и, и) эквив | и | ^ {2} эквив и ^ {2},}

получившееся количество назовем Норма Минковского в квадрате. Внутреннее произведение Минковского удовлетворяет следующим свойствам.

Линейность по первому аргументу: ${ Displaystyle eta (au + v, , w) = a eta (u, , w) + eta (v, , w), quad forall u, , v in M, ; forall a in mathbb {R}}$
Симметрия: ${ Displaystyle eta (и, , v) = eta (v, , u)}$
Невырожденность: ${ displaystyle eta (u, , v) = 0, ; forall v in M Rightarrow u = 0}$

Первые два условия подразумевают билинейность. Определяющий разница между псевдо-внутренним продуктом и внутренний продукт Правильно то, что первое нет должен быть положительно определенным, то есть $η (ты, ты) < 0$ позволено.

Наиболее важной особенностью внутреннего продукта и квадрата нормы является то, что это величины, на которые не влияют преобразования Лоренца.. Фактически, это можно рассматривать как определяющее свойство преобразования Лоренца, что оно сохраняет внутренний продукт (то есть значение соответствующей билинейной формы на двух векторах). Этот подход используется более широко для все классические группы, определяемые таким образом в классическая группа. Там матрица $Φ$ идентично в случае $О (3, 1)$ (группа Лоренца) матрице $η$ для отображения ниже.

Два вектора $v$ и $ш$ как говорят ортогональный если $η (v, ш) = 0$ . Для геометрической интерпретации ортогональности в частном случае, когда $η (v, v) \leq 0$ и $η (ш, ш) \geq 0$ (или наоборот) см. гиперболическая ортогональность.

Вектор $е$ называется единичный вектор если $η (е, е) = \pm1$ . А основа за $M$ состоящий из взаимно ортогональных единичных векторов, называется ортонормированный базис.^{[нужна цитата ]}

Для данного инерциальная система отсчета ортонормированный базис в пространстве в сочетании с единичным вектором времени образует ортонормированный базис в пространстве Минковского. Количество положительных и отрицательных единичных векторов в любом таком базисе - это фиксированная пара чисел, равная сигнатуре билинейной формы, связанной со внутренним продуктом. Это Закон инерции Сильвестра.

Больше терминологии (но не больше структуры): метрика Минковского - это псевдориманова метрика, более конкретно, Лоренцева метрика, а точнее, в Метрика Лоренца, зарезервированная для $4$ -мерное плоское пространство-время с оставшейся двусмысленностью только условием подписи.

Метрика Минковского

От второй постулат специальной теории относительности вместе с однородностью пространства-времени и изотропностью пространства следует, что пространственно-временной интервал между двумя произвольными событиями, называемыми $1$ и $2$ является:^[15]

{ displaystyle { sqrt {c ^ {2} left (t_ {1} -t_ {2} right) ^ {2} - left (x_ {1} -x_ {2} right) ^ {2 } - left (y_ {1} -y_ {2} right) ^ {2} - left (z_ {1} -z_ {2} right) ^ {2}}}.}

Эта величина не всегда упоминается в литературе. Интервал иногда называют квадратом интервала, как определено здесь.^[16] Невозможно дать исчерпывающий список несоответствий в обозначениях. Сначала нужно проверить определения, обращаясь к литературе по теории относительности.

Инвариантность интервала относительно преобразований координат между инерциальными системами отсчета следует из инвариантности

{ displaystyle pm left [c ^ {2} t ^ {2} -x ^ {2} -y ^ {2} -z ^ {2} right]}

(с любым знаком $\pm$ сохраняется) при условии линейности преобразований. Этот квадратичная форма может использоваться для определения билинейной формы

{ Displaystyle и cdot v = pm left [c ^ {2} t_ {1} t_ {2} -x_ {1} x_ {2} -y_ {1} y_ {2} -z_ {1} z_ {2} right].}

через поляризационная идентичность. Эта билинейная форма, в свою очередь, может быть записана как

{ Displaystyle и cdot v = и ^ { extf {T}} [ eta] v,}

куда $[η]$ это $4\times4$ матрица, связанная с $η$ . Возможно, что сбивает с толку, обозначьте $[η]$ с просто $η$ как это принято. Матрица читается из явной билинейной формы как

{ displaystyle eta = pm { begin {pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 end {pmatrix}},}

и билинейная форма

{ Displaystyle и cdot v = eta (и, v),}

с которой этот раздел начинался, предполагая его существование, теперь идентифицируется.

Для определенности и краткости изложения подпись $(- + + +)$ принимается ниже. Этот выбор (или другой возможный выбор) не имеет (известных) физических последствий. Группа симметрий, сохраняющая билинейную форму с одним выбором сигнатуры, изоморфна (при заданном отображении Вот ) с группой симметрии, сохраняющей другой выбор сигнатуры. Это означает, что оба варианта соответствуют двум постулатам относительности. Переключение между двумя соглашениями несложно. Если метрический тензор $η$ был использован в производном, вернитесь к самой ранней точке, где он использовался, замените $η$ за $- η$ , и вернитесь к желаемой формуле с желаемой подписью метрики.

Стандартная основа

Стандартный базис пространства Минковского - это набор из четырех взаимно ортогональных векторов ${е 0, е 1, е 2, е 3}$ такой, что

{ displaystyle - eta (e_ {0}, e_ {0}) = eta (e_ {1}, e_ {1}) = eta (e_ {2}, e_ {2}) = eta (e_ {3}, e_ {3}) = 1.}

Эти условия можно компактно записать в виде

{ displaystyle eta (е _ { mu}, e _ { nu}) = eta _ { mu nu}.}

Относительно стандартного базиса компоненты вектора $v$ написаны $(v 0, v 1, v 2, v 3)$ где Обозначения Эйнштейна используется для написания $v = v μ е μ$ . Компонент $v 0$ называется времениподобный компонент из $v$ а остальные три компонента называются пространственные компоненты. Пространственные компоненты $4$ -вектор $v$ можно отождествить с $3$ -вектор $v = (v 1, v 2, v 3)$ .

С точки зрения компонентов, внутреннее произведение Минковского между двумя векторами $v$ и $ш$ дан кем-то

{ displaystyle eta (v, w) = eta _ { mu nu} v ^ { mu} w ^ { nu} = v ^ {0} w_ {0} + v ^ {1} w_ { 1} + v ^ {2} w_ {2} + v ^ {3} w_ {3} = v ^ { mu} w _ { mu} = v _ { mu} w ^ { mu},}

и

{ displaystyle eta (v, v) = eta _ { mu nu} v ^ { mu} v ^ { nu} = v ^ {0} v_ {0} + v ^ {1} v_ { 1} + v ^ {2} v_ {2} + v ^ {3} v_ {3} = v ^ { mu} v _ { mu}.}

Здесь понижение индекса с метрикой.

Повышение и понижение показателей

Линейные функционалы (1-формы) α, β и их сумма σ и векторы ты, v, ш, в 3D Евклидово пространство. Количество (1-форма) гиперплоскости пересекается вектором равна внутренний продукт.^[17]

Технически невырожденная билинейная форма обеспечивает отображение между векторным пространством и двойственным ему, в этом контексте карта находится между касательными пространствами $M$ и котангенсные пространства из $M$ . В какой-то момент $M$ , касательное и котангенсное пространства равны двойные векторные пространства (поэтому размерность котангенсного пространства на событии также $4$ ). Так же, как подлинный внутренний продукт в векторном пространстве с одним фиксированным аргументом, Теорема Рисса о представлении, может быть выражено как действие линейный функционал на векторном пространстве то же самое верно и для скалярного произведения Минковского пространства Минковского.^[18]

Таким образом, если $v μ$ компоненты вектора в касательном пространстве, то $η μν v μ = v ν$ компоненты вектора в кокасательном пространстве (линейный функционал). Благодаря отождествлению векторов в касательных пространствах с векторами в $M$ сам по себе это в основном игнорируется, а векторы с более низкими индексами называются ковариантные векторы. В этой последней интерпретации ковариантные векторы (почти всегда неявно) отождествляются с векторами (линейными функционалами) в двойственном пространстве Минковского. Те, у которых верхние индексы - контравариантные векторы. Таким же образом, обратное отображение от касательных к кокасательным пространствам, явно заданное обратным к $η$ в матричном представлении может использоваться для определения повышение индекса. Компоненты этого обратного обозначаются $η μν$ . Бывает что $η μν = η μν$ . Эти отображения между векторным пространством и двойственным ему можно обозначить $η ♭$ (эта-бемоль) и $η ♯$ (эта-диез) по музыкальной аналогии.^[19]

Контравариантные и ковариантные векторы геометрически очень разные объекты. Первые можно и нужно рассматривать как стрелки. Линейный функционал можно охарактеризовать двумя объектами: ядро, что является гиперплоскость проходящий через начало координат и его норму. Таким образом, геометрически ковариантные векторы следует рассматривать как набор гиперплоскостей с интервалом, зависящим от нормы (больший = меньший интервал), при этом одна из них (ядро) проходит через начало координат. Математический термин для ковариантного вектора - 1-ковектор или 1-форма (хотя последнее обычно зарезервировано для ковектора поля).

Миснер, Торн и Уиллер (1973) использует яркую аналогию с волновыми фронтами волна де Бройля (в масштабе приведенной постоянной Планка) квантово-механически связанная с четырехвекторный импульс чтобы проиллюстрировать, как можно представить ковариантную версию контравариантного вектора. Внутренний продукт двух контравариантных векторов можно также рассматривать как действие ковариантной версии одного из них на контравариантную версию другого. Тогда внутренний продукт - это сколько раз стрела проникает в плоскости. Математическая справка, Ли (2003), предлагает тот же геометрический вид этих объектов (но не упоминает пирсинг).

В тензор электромагнитного поля это дифференциальная 2-форма, геометрическое описание которого также можно найти в MTW.

Можно, конечно, игнорировать все геометрические виды (как, например, стиль в Вайнберг (2002) и Ландау и Лифшиц, 2002 г. ) и действовать чисто формально алгебраически. Проверенная временем надежность самого формализма, иногда называемого указательная гимнастика, гарантирует, что перемещение векторов и изменение контравариантных векторов на ковариантные и наоборот (а также тензоры более высокого порядка) математически корректны. Неправильные выражения часто проявляются быстро.

Формализм метрики Минковского

Настоящая цель - полусложно показать, как формально можно применить метрику Минковского к двум векторам и получить действительное число, то есть показать роль дифференциалов и то, как они исчезают в вычислениях. Настройка соответствует теории гладких многообразий, и здесь вводятся такие понятия, как конвекторные поля и внешние производные.

Формальный подход к метрике Минковского

Полноценная версия метрики Минковского в координатах как тензорного поля в пространстве-времени имеет вид

{ displaystyle eta _ { mu nu} dx ^ { mu} otimes dx ^ { nu} = eta _ { mu nu} dx ^ { mu} odot dx ^ { nu} = eta _ { mu nu} dx ^ { mu} dx ^ { nu}.}

Пояснение: Координатные дифференциалы представляют собой поля с одной формой. Они определены как внешняя производная координатных функций $Икс μ$ . Эти количества оцениваются в точке $п$ обеспечивают основу для котангенса пространства при $п$ . В тензорное произведение (обозначается символом $\otimes$ ) дает тензорное поле типа $(0, 2)$ , то есть тип, который ожидает в качестве аргументов два контравариантных вектора. С правой стороны симметричное произведение (обозначается символом $⊙$ или путем сопоставления). Равенство выполняется, поскольку по определению метрика Минковского симметрична.^[20] Обозначения справа также иногда используются для связанных, но разных, линейный элемент. это нет тензор. Подробнее о различиях и сходствах см. Миснер, Торн и Уиллер (1973, Вставку 3.2 и раздел 13.2.)

Касательная векторы в этом формализме задаются в терминах базиса дифференциальных операторов первого порядка,

{ displaystyle left. { frac { partial} { partial x ^ { mu}}} right | _ {p},}

куда $п$ это событие. Этот оператор применен к функции $ж$ дает производная по направлению из $ж$ в $п$ в сторону увеличения $Икс μ$ с $Икс ν, ν \neq μ$ фиксированный. Они составляют основу касательного пространства на $п$ .

Внешняя производная $df$ функции $ж$ это ковекторное поле, т.е. присвоение каждой точке котангенса вектора $п$ , по определению такая, что

{ Displaystyle df (X) = Xf,}

для каждого векторное поле $Икс$ . Векторное поле - это присвоение касательного вектора каждой точке $п$ . В координатах $Икс$ может быть расширен в каждой точке $п$ на основе, данной $\partial/\partial Икс ν | п$ . Применяя это с $ж = Икс μ$ , сама координатная функция и $Икс = \partial/\partial Икс ν$ , называется координатное векторное поле, получается

{ displaystyle dx ^ { mu} left ({ frac { partial} { partial x ^ { nu}}} right) = { frac { partial x ^ { mu}} { partial x ^ { nu}}} = delta _ { nu} ^ { mu}.}

Поскольку это соотношение выполняется в каждой точке $п$ , то $dx μ | п$ обеспечивают основу для котангенса на каждом $п$ и базы $dx μ | п$ и $\partial/\partial Икс ν | п$ находятся двойной друг другу,

{ Displaystyle left.dx ^ { mu} right | _ {p} left ( left. { frac { partial} { partial x ^ { nu}}} right | _ {p} right) = delta _ { nu} ^ { mu}.}

на каждом $п$ . Кроме того, есть

{ Displaystyle альфа otimes beta (a, b) = alpha (a) beta (b)}

для общих одноформ на касательном пространстве $α, β$ и общие касательные векторы $а, б$ . (Это можно принять как определение, но также можно доказать в более общем контексте.)

Таким образом, когда в метрический тензор подается два векторных поля $а, б$ , оба развернуты в терминах векторных полей базисных координат, результат

{ displaystyle eta _ { mu nu} dx ^ { mu} otimes dx ^ { nu} (a, b) = eta _ { mu nu} a ^ { mu} b ^ { nu},}

куда $а μ$ , $б ν$ являются функции компонентов векторных полей. Приведенное выше уравнение выполняется в каждой точке $п$ , и это соотношение также можно интерпретировать как метрику Минковского при $п$ применяется к двум касательным векторам в $п$ .

Как уже упоминалось, в векторном пространстве, таком как моделирующее пространство-время в специальной теории относительности, касательные векторы можно канонически отождествлять с векторами в самом пространстве, и наоборот. Это означает, что касательные пространства в каждой точке канонически отождествляются друг с другом и с самим векторным пространством. Это объясняет, как правая часть приведенного выше уравнения может использоваться напрямую, без учета точки пространства-времени, метрика должна быть оценена и откуда (из какого касательного пространства) берутся векторы.

Эта ситуация меняется в общая теория относительности. Там есть

{ displaystyle g (p) _ { mu nu} left.dx ^ { mu} right | _ {p} left.dx ^ { nu} right | _ {p} (a, b ) = g (p) _ { mu nu} a ^ { mu} b ^ { nu},}

где сейчас $η \to грамм (п)$ , т.е. $грамм$ по-прежнему метрический тензор, но теперь он зависит от пространства-времени и является решением Полевые уравнения Эйнштейна. Более того, $а, б$ должен быть касательными векторами в точке пространства-времени $п$ и больше не может свободно перемещаться.

Хронологические и причинно-следственные связи

Позволять $Икс, у \in M$ . Мы говорим что

$Икс$ хронологически предшествует $у$ если $у - Икс$ направлено в будущее, подобно времени. Это отношение имеет переходное свойство и так можно написать $Икс < у$ .
$Икс$ причинно предшествует $у$ если $у - Икс$ является направленным в будущее нулевым или ориентированным в будущее времениподобным. Это дает частичный заказ пространства-времени и так можно записать $Икс \leq у$ .

Предполагать Икс ∈ M времяподобно. Тогда одновременная гиперплоскость для x есть ${ displaystyle {y: eta (x, y) = 0 }.}$ Поскольку это гиперплоскость изменяется как Икс меняется, есть относительность одновременности в пространстве Минковского.

Обобщения

Лоренцево многообразие является двояким обобщением пространства Минковского. Общее количество измерений пространства-времени не ограничено $4$ ( $2$ или более), а лоренцево многообразие не обязательно должно быть плоским, т. е. допускает кривизну.

Обобщенное пространство Минковского

Пространство Минковского относится к математической формулировке в четырех измерениях. Однако математику можно легко расширить или упростить, чтобы создать аналогичное обобщенное пространство Минковского в любом количестве измерений. Если $п \geq 2$ , $п$ -мерное пространство Минковского - векторное пространство действительной размерности $п$ на котором существует постоянная метрика Минковского сигнатуры $(п - 1, 1)$ или же $(1, п - 1)$ . Эти обобщения используются в теориях, где предполагается, что пространство-время имеет больше или меньше $4$ размеры. Теория струн и М-теория два примера, где $п > 4$ . В теории струн появляется конформные теории поля с $1 + 1$ измерения пространства-времени.

пространство де Ситтера может быть сформулировано как подмногообразие обобщенного пространства Минковского, как и модельные пространства гиперболическая геометрия (Смотри ниже).

Кривизна

Как плоское пространство-время, три пространственных компонента пространства-времени Минковского всегда подчиняются Теорема Пифагора. Пространство Минковского - подходящая основа для специальная теория относительности, хорошее описание физических систем на конечных расстояниях в системах без существенных гравитация. Однако, чтобы учесть гравитацию, физики используют теорию общая теория относительности, которая сформулирована в математике неевклидова геометрия. Когда эта геометрия используется в качестве модели физического пространства, она известна как искривленное пространство.

Даже в искривленном пространстве пространство Минковского по-прежнему является хорошим описанием в бесконечно малая область окружающие любую точку (за исключением гравитационных сингулярностей).^{[№ 6]} Говоря более абстрактно, мы говорим, что в присутствии гравитации пространство-время описывается искривленным 4-мерным многообразие для чего касательное пространство в любую точку есть 4-мерное пространство Минковского. Таким образом, структура пространства Минковского по-прежнему важна для описания общей теории относительности.

Геометрия

Значение термина геометрия пространство Минковского сильно зависит от контекста. Пространство Минковского не наделено ни евклидовой геометрией, ни какой-либо из обобщенных римановых геометрий с внутренней кривизной, обнаруженных модельные пространства в гиперболическая геометрия (отрицательная кривизна) и геометрия, смоделированная сфера (положительная кривизна). Причина - неопределенность метрики Минковского. В частности, пространство Минковского не является метрическое пространство а не риманово многообразие с римановой метрикой. Однако пространство Минковского содержит подмногообразия наделен римановой метрикой, дающей гиперболическую геометрию.

Модельные пространства гиперболической геометрии малой размерности, скажем $2$ или же $3$ , не можешь быть изометрически вложенным в евклидово пространство с еще одним измерением, т.е. $ℝ 3$ или же $ℝ 4$ соответственно с евклидовой метрикой $грамм$ , что не позволяет легко визуализировать.^{[№ 7]}^[21] Для сравнения, модельные пространства с положительной кривизной - это просто сферы в евклидовом пространстве одного высшего измерения.^[22] Однако оказывается, что эти гиперболические пространства может быть изометрически вложенным в пространства еще одного измерения, когда пространство вложения снабжено метрикой Минковского $η$ .

Определять $ЧАС 1(п) р \subset M п +1$ быть верхним листом ( $ct > 0$ ) из гиперболоид

{ Displaystyle mathbf {H} _ {R} ^ {1 (n)} = left { left (ct, x ^ {1}, ldots, x ^ {n} right) in mathbf {M} ^ {n}: c ^ {2} t ^ {2} - left (x ^ {1} right) ^ {2} cdots left (x ^ {n} right) ^ {2 } = R ^ {2}, ct> 0 right }}

в обобщенном пространстве Минковского $M п +1$ измерения пространства-времени $п + 1$ . Это один из поверхности транзитивности обобщенной группы Лоренца. В индуцированная метрика на этом подмногообразии,

{ displaystyle h_ {R} ^ {1 (n)} = iota ^ {*} eta,}

в откат метрики Минковского $η$ при включении является Риманова метрика. С этой метрикой $ЧАС 1(п) р$ это Риманово многообразие. Это одно из модельных пространств римановой геометрии, модель гиперболоида из гиперболическое пространство. Это пространство постоянной отрицательной кривизны. $-1/ р 2$ .^[23] В $1$ в верхнем индексе относится к перечислению различных модельных пространств гиперболической геометрии, а $п$ для своего размера. А $2(2)$ соответствует Модель диска Пуанкаре, пока $3(п)$ соответствует Модель полупространства Пуанкаре измерения $п$ .

Предварительные мероприятия

В приведенном выше определении $ι : ЧАС 1(п) р \to M п +1$ это карта включения а надстрочная звездочка обозначает откат. Настоящая цель - описать эту и аналогичные операции как подготовку к реальной демонстрации того, что $ЧАС 1(п) р$ на самом деле это гиперболическое пространство.

Поведение тензоров при включении, возврат ковариантных тензоров при общих отображениях и перенос векторов при общих отображениях
Поведение тензоров при включении: Для отображений включения из подмногообразия $S$ в $M$ и ковариантный тензор $α$ порядка $k$ на $M$ он считает, что ${ displaystyle iota ^ {} alpha left (X_ {1}, , X_ {2}, , ldots, , X_ {k} right) = alpha left ( iota _ { } X_ {1}, , iota _ {} X_ {2}, , ldots, , iota _ {} X_ {k} right) = alpha left (X_ {1} , , X_ {2}, , ldots, , X_ {k} right),}$ куда $Икс 1, Икс 1, \dots, Икс k$ векторные поля на $S$ . Звездочка в нижнем индексе обозначает продвижение вперед (будет введено позже), и в этом частном случае это просто карта идентичности (как и карта включения).Последнее равенство имеет место, поскольку касательное пространство к подмногообразию в точке каноническим образом является подпространством касательного пространства самого многообразия в рассматриваемой точке. Можно просто написать ${ Displaystyle йота ^ {} альфа = альфа \| _ {S},}$ значение (с небольшим злоупотребление обозначениями ) ограничение $α$ принять в качестве входных векторов касательные к некоторым $s \in S$ Только. Откат тензоров при общих картах:* Откат коварианта $k$ -тензор $α$ (принимающий в качестве аргументов только контравариантные векторы) при отображении $F : M \to N$ линейная карта ${ displaystyle F ^ {} двоеточие T_ {F (p)} ^ {k} N rightarrow T_ {p} ^ {k} M,}$ где для любого векторного пространства $V$ , ${ displaystyle T ^ {k} V = underbrace {V ^ {} otimes V ^ {} otimes cdots otimes V ^ {}} _ {k { text {times}}}.}$ Это определяется ${ Displaystyle F ^ {} ( alpha) left (X_ {1}, , X_ {2}, , ldots, , X_ {k} right) = alpha left (F _ { } X_ {1}, , F _ {} X_ {2}, , ldots, , F _ {} X_ {k} right),}$ где нижняя звездочка обозначает продвигать карты $F$ , и $Икс 1, Икс 2, \dots, ИКС k$ векторы в $Т п M$ . (Это соответствует тому, что было подробно описано об откате карты включения. В общем случае здесь нельзя действовать так просто, потому что $F * Икс 1 \neq Икс 1$ в целом.) Продвижение векторов при общих картах: Эвристически возвращая тензор к $п \in M$ из $F (п) \in N$ кормление его векторов, проживающих в $п \in M$ по определению то же самое, что продвижение векторов из $п \in M$ к $F (п) \in N$ скармливая их тензору, находящемуся в $F (п) \in N$ . Продолжая разворачивать определения, $F * : TM п \to TN F (п)$ векторного поля под картой $F : M \to N$ между многообразиями определяется как ${ Displaystyle F _ {} (Х) е = Х (е circ F),}$ куда $ж$ это функция на $N$ . Когда $M = ℝ м, N = ℝ п$ толчок $F$ сводится к $DF : ℝ м \to ℝ п$ , обычный дифференциал, который задается Матрица якобиана частных производных компонентных функций. Дифференциал - это наилучшее линейное приближение функции $F$ из $ℝ м$ к $ℝ п$ . Прогресс - это гладкая версия этого многообразия. Он действует между касательными пространствами и находится в координатах, представленных матрицей Якоби координатное представление* функции. Соответствующий откат - это двойная карта от двойственного к касательному пространству диапазона к двойному к касательному пространству области, т.е. это линейное отображение, ${ displaystyle F ^ {} двоеточие T_ {F (p)} ^ {} N rightarrow T_ {p} ^ {*} M.}$

Гиперболическая стереографическая проекция

Красная дуга окружности является геодезической в Модель диска Пуанкаре; он проецируется на коричневую геодезическую на зеленый гиперболоид.

Для того, чтобы выставить метрику, необходимо вытащить ее через подходящий параметризация. Параметризация подмногообразия $S$ из $M$ это карта $U \subset ℝ м \to M$ чей диапазон является открытым подмножеством $S$ . Если $S$ имеет тот же размер, что и $M$ , параметризация - это просто инверсия координатного отображения $φ : M \to U \subset ℝ м$ . Используемая параметризация - обратная гиперболическая стереографическая проекция. Это показано на рисунке слева для $п = 2$ . Поучительно сравнить с стереографическая проекция для шаров.

Стереографическая проекция $σ : ЧАС п р \to ℝ п$ и его обратное $σ -1 : ℝ п \to ЧАС п р$ даны

{ displaystyle { begin {align} sigma ( tau, mathbf {x}) = mathbf {u} & = { frac {R mathbf {x}} {R + tau}}, sigma ^ {- 1} ( mathbf {u}) = ( tau, mathbf {x}) & = left (R { frac {R ^ {2} + | u | ^ {2}} {R ^ {2} - | u | ^ {2}}}, { frac {2R ^ {2} mathbf {u}} {R ^ {2} - | u | ^ {2}}} right), конец {выровнено}}}

где для простоты $τ \equiv ct$ . В $(τ, Икс)$ координаты на $M п +1$ и $ты$ координаты на $ℝ п$ .

Детальный вывод
Позволять ${ displaystyle mathbf {H} _ {R} ^ {n} = left { left ( tau, x ^ {1}, ldots, x ^ {n} right) subset mathbf {M }: - tau ^ {2} + left (x ^ {1} right) ^ {2} + cdots + left (x ^ {n} right) ^ {2} = - R ^ {2 }, tau> 0 right }}$ и разреши ${ Displaystyle S = (- 1,0, ldots, 0)}$ Если ${ displaystyle P = left ( tau, x ^ {1}, ldots, x ^ {n} right) in mathbf {H} _ {R} ^ {n},}$ то геометрически ясно, что вектор ${ displaystyle { overrightarrow {PS}}}$ пересекает гиперплоскость ${ displaystyle left { left ( tau, x ^ {1}, ldots, x ^ {n} right) in M: tau = 0 right }}$ один раз в точке обозначается ${ Displaystyle U = left (0, u ^ {1} (P), ldots, u ^ {n} (P) right) эквив (0, mathbf {u}).}$ Надо ${ displaystyle { begin {align} S + { overrightarrow {SU}} & = U Rightarrow { overrightarrow {SU}} = US, S + { overrightarrow {SP}} & = P Rightarrow { overrightarrow {SP}} = ВВЕРХ конец {выровнено}}.}$ или же ${ displaystyle { begin {align} { overrightarrow {SU}} & = (0, mathbf {u}) - (- R, 0) = (R, mathbf {u}), { overrightarrow {SP}} & = ( tau, mathbf {x}) - (- R, 0) = ( tau + R, mathbf {x}). End {выравнивается}}}$ По построению стереографической проекции ${ displaystyle { overrightarrow {SU}} = lambda ( tau) { overrightarrow {SP}}.}$ Это приводит к системе уравнений ${ displaystyle { begin {align} R & = lambda ( tau + R), mathbf {u} & = lambda mathbf {x}. end {align}}}$ Первый из них решен для ${ displaystyle lambda}$ и для стереографической проекции получается ${ displaystyle sigma ( tau, mathbf {x}) = mathbf {u} = { frac {R mathbf {x}} {R + tau}}.}$ Далее обратное ${ Displaystyle sigma ^ {- 1} (и) = ( тау, mathbf {x})}$ должны быть рассчитаны. Используйте те же соображения, что и раньше, но теперь с ${ displaystyle { begin {align} U & = (0, mathbf {u}) P & = ( tau ( mathbf {u}), xi ( mathbf {u})). end {выровнено }}}$ Один получает ${ displaystyle { begin {align} tau & = { frac {R (1- lambda)} { lambda}}, mathbf {x} & = { frac { mathbf {u}} { lambda}}, end {выравнивается}}}$ но теперь с ${ displaystyle lambda}$ в зависимости от ${ displaystyle mathbf {u}.}$ Условие для $п$ лежащий в гиперболоиде ${ displaystyle - tau ^ {2} + mathbf {u} cdot mathbf {u} = - tau ^ {2} + \| u \| ^ {2} = - R ^ {2},}$ или же ${ displaystyle - { frac {R ^ {2} (1- lambda) ^ {2}} { lambda ^ {2}}} = { frac {\| u \| ^ {2}} { lambda ^ {2}}},}$ ведущий к ${ displaystyle lambda = { frac {R ^ {2} - \| u \| ^ {2}} {2R ^ {2}}}.}$ С этим ${ displaystyle lambda}$ , получается ${ Displaystyle sigma ^ {- 1} ( mathbf {u}) = ( tau, mathbf {x}) = left (R { frac {R ^ {2} + \| u \| ^ {2}) } {R ^ {2} - \| u \| ^ {2}}}, { frac {2R ^ {2} mathbf {u}} {R ^ {2} - \| u \| ^ {2}}}. верно)}$

Возвращение метрики

Надо

{ displaystyle h_ {R} ^ {1 (n)} = eta | _ { mathbf {H} _ {R} ^ {1 (n)}} = left (dx ^ {1} right) ^ {2} + ldots + left (dx ^ {n} right) ^ {2} -d tau ^ {2}}

и карта

{ displaystyle sigma ^ {- 1}: mathbb {R} ^ {n} rightarrow mathbf {H} _ {R} ^ {1 (n)}; quad sigma ^ {- 1} ( mathbf {u}) = ( tau ( mathbf {u}), , mathbf {x} ( mathbf {u})) = left (R { frac {R ^ {2} + | u | ^ {2}} {R ^ {2} - | u | ^ {2}}}, , { frac {2R ^ {2} mathbf {u}} {R ^ {2} - | u | ^ {2}}} right).}

Возвращенная метрика может быть получена простыми методами исчисления;

{ displaystyle left. left ( sigma ^ {- 1} right) ^ {*} eta right | _ { mathbf {H} _ {R} ^ {1 (n)}} = left (dx ^ {1} ( mathbf {u}) right) ^ {2} + ldots + left (dx ^ {n} ( mathbf {u}) right) ^ {2} - left ( d tau ( mathbf {u}) right) ^ {2}.}

Один вычисляет в соответствии со стандартными правилами вычисления дифференциалов (хотя на самом деле он вычисляет строго определенные внешние производные),

{ displaystyle { begin {align} dx ^ {1} ( mathbf {u}) & = d left ({ frac {2R ^ {2} u ^ {1}} {R ^ {2} - | u | ^ {2}}} right) = { frac { partial} { partial u ^ {1}}} { frac {2R ^ {2} u ^ {1}} {R ^ {2} - | u | ^ {2}}} du ^ {1} + ldots + { frac { partial} { partial u ^ {n}}} { frac {2R ^ {2} u ^ {1} } {R ^ {2} - | u | ^ {2}}} du ^ {n} + { frac { partial} { partial tau}} { frac {2R ^ {2} u ^ {1 }} {R ^ {2} - | u | ^ {2}}} d tau, & vdots dx ^ {n} ( mathbf {u}) & = d left ({ frac {2R ^ {2} u ^ {n}} {R ^ {2} - | u | ^ {2}}} right) = cdots, d tau ( mathbf {u}) & = d left (R { frac {R ^ {2} + | u | ^ {2}} {R ^ {2} - | u | ^ {2}}} right) = cdots, end { выровнено}}}

и подставляет результаты в правую часть. Это дает

${ displaystyle left ( sigma ^ {- 1} right) ^ {*} h_ {R} ^ {1 (n)} = { frac {4R ^ {2} left [ left (du ^ { 1} right) ^ {2} + ldots + left (du ^ {n} right) ^ {2} right]} { left (R ^ {2} - | u | ^ {2} справа) ^ {2}}} Equiv h_ {R} ^ {2 (n)}.}$

Подробный план расчета
Надо ${ displaystyle { begin {align} { frac { partial} { partial u ^ {1}}} { frac {2R ^ {2} u ^ {1}} {R ^ {2} - \| u \| ^ {2}}} du ^ {1} & = { frac {2 left (R ^ {2} - \| u \| ^ {2} right) + 4R ^ {2} left (u ^ { 1} right) ^ {2}} { left (R ^ {2} - \| u \| ^ {2} right) ^ {2}}} du ^ {1}, { frac { partial } { partial u ^ {2}}} { frac {2R ^ {2} u ^ {1}} {R ^ {2} - \| u \| ^ {2}}} du ^ {2} & = { frac {4R ^ {2} u ^ {1} u ^ {2} du ^ {2}} { left (R ^ {2} - \| u \| ^ {2} right) ^ {2}}} дю ^ {2}, конец {выровнено}}}$ и ${ displaystyle { frac { partial} { partial tau}} { frac {2R ^ {2} u ^ {1}} {R ^ {2} - \| u \| ^ {2}}} d тау ^ {2} = 0.}$ С этим можно написать ${ displaystyle dx ^ {1} ( mathbf {u}) = { frac {2R ^ {2} left (R ^ {2} - \| u \| ^ {2} right) du ^ {1} + 4R ^ {2} u ^ {1} ( mathbf {u} cdot d mathbf {u})} { left (R ^ {2} - \| u \| ^ {2} right) ^ {2} }},}$ откуда ${ displaystyle left (dx ^ {1} ( mathbf {u}) right) ^ {2} = { frac {4R ^ {2} left (r ^ {2} - \| u \| ^ {2 } right) ^ {2} left (du ^ {1} right) ^ {2} + 16R ^ {4} left (R ^ {2} - \| u \| ^ {2} right) left ( mathbf {u} cdot d mathbf {u} right) u ^ {1} du ^ {1} + 14R ^ {r} left (u ^ {1} right) ^ {2} left ( mathbf {u} cdot d mathbf {u} right) ^ {2}} { left (R ^ {2} - \| u \| ^ {2} right) ^ {4}}}.}$ Суммируя эту формулу, получаем ${ Displaystyle { begin {align} & left (dx ^ {1} ( mathbf {u}) right) ^ {2} + ldots + left (dx ^ {n} ( mathbf {u}) ) right) ^ {2} = {} & { frac {4R ^ {2} left (R ^ {2} - \| u \| ^ {2} right) ^ {2} left [ left (du ^ {1} right) ^ {2} + ldots + left (du ^ {n} right) ^ {2} right] + 16R ^ {4} left (R ^ {2} - \| u \| ^ {2} right) ( mathbf {u} cdot d mathbf {u}) ( mathbf {u} cdot d mathbf {u}) + 16R ^ {4} \| u \| ^ {2} ( mathbf {u} cdot d mathbf {u}) ^ {2}} { left (R ^ {2} - \| u \| ^ {2} right) ^ {4}}} = {} & { frac {4R ^ {2} left (R ^ {2} - \| u \| ^ {2} right) ^ {2} left [ left (du ^ {1} справа) ^ {2} + ldots + left (du ^ {n} right) ^ {2} right]} { left (R ^ {2} - \| u \| ^ {2} right) ^ {4}}} + R ^ {2} { frac {16R ^ {4} ( mathbf {u} cdot d mathbf {u})} { left (R ^ {2} - \| u \| ^ {2} right) ^ {4}}}. End {align}}}$ Аналогично для $τ$ один получает ${ displaystyle d tau = sum _ {i = 1} ^ {n} { frac { partial} { partial u ^ {i}}} R { frac {R ^ {2} + \| u \| ^ {2}} {R ^ {2} + \| u \| ^ {2}}} du ^ {i} + { frac { partial} { partial tau}} R { frac {R ^ {2 } + \| u \| ^ {2}} {R ^ {2} + \| u \| ^ {2}}} d tau = sum _ {i = 1} ^ {n} R ^ {4} { frac {4R ^ {2} u ^ {i} du ^ {i}} { left (R ^ {2} - \| u \| ^ {2} right)}},}$ уступающий ${ Displaystyle -dt ^ {2} = - left (R { frac {4R ^ {4} left ( mathbf {u} cdot d mathbf {u} right)} { left (R ^ {2} - \| u \| ^ {2} right) ^ {2}}} right) ^ {2} = - R ^ {2} { frac {14R ^ {4} ( mathbf {u} cdot d mathbf {u}) ^ {2}} { left (R ^ {2} - \| u \| ^ {2} right) ^ {4}}}.}$ Теперь добавьте этот вклад, чтобы наконец получить ${ displaystyle left ( sigma ^ {- 1} right) ^ {*} h_ {R} ^ {1 (n)} = { frac {4R ^ {2} left [ left (du ^ { 1} right) ^ {2} + ldots + left (du ^ {n} right) ^ {2} right]} { left (R ^ {2} - \| u \| ^ {2} справа) ^ {2}}} Equiv h_ {R} ^ {2 (n)}.}$

Это последнее уравнение показывает, что метрика на шаре идентична римановой метрике $час 2(п) р$ в Модель шара Пуанкаре, еще одна стандартная модель гиперболической геометрии.

Альтернативный расчет с использованием pushforward
Откат можно вычислить по-другому. По определению, ${ displaystyle left ( sigma ^ {- 1} right) ^ {} h_ {R} ^ {1 (n)} (V, , V) = h_ {R} ^ {1 (n)} left ( left ( sigma ^ {- 1} right) _ {} V, , left ( sigma ^ {- 1} right) _ {} V right) = eta \| _ { mathbf {H} _ {R} ^ {1 (n)}} left ( left ( sigma ^ {- 1} right) _ {} V, , left ( sigma ^ {- 1} right) _ {} V right).}$ В координатах, ${ Displaystyle left ( sigma ^ {- 1} right) _ {} V = left ( sigma ^ {- 1} right) _ {} V ^ {i} { frac { partial } { partial u ^ {i}}} = V ^ {i} { frac { partial x ^ {j}} { partial u ^ {i}}} { frac { partial} { partial x ^ {j}}} + V ^ {i} { frac { partial tau} { partial u ^ {i}}} { frac { partial} { partial tau}} = V ^ {i } { frac { partial} {x}} ^ {j} { partial u ^ {i}} { frac { partial} { partial x ^ {j}}} + V ^ {i} { frac { partial} { tau}} { partial u ^ {i}} { frac { partial} { partial tau}} = Vx ^ {j} { frac { partial} { partial x ^ {j}}} + V tau { frac { partial} { partial tau}}.}$ Из формулы для $σ -1$ ${ displaystyle { begin {align} Vx ^ {j} & = V ^ {i} { frac { partial} { partial u ^ {i}}} left ({ frac {2R ^ {2} u ^ {j}} {R ^ {2} - \| u \| ^ {2}}} right) = { frac {2R ^ {2} V ^ {j}} {R ^ {2} - \| u \| ^ {2}}} - { frac {4R ^ {2} u ^ {j} langle mathbf {V}, , mathbf {u} rangle} { left (R ^ {2} - \| u \| ^ {2} right) ^ {2}}}, quad left ({ text {здесь}} V \| u \| ^ {2} = 2 sum _ {k = 1} ^ {n } V ^ {k} u ^ {k} Equiv 2 langle mathbf {V}, , mathbf {u} rangle right) V tau & = V left (R { frac { R ^ {2} + \| u \| ^ {2}} {R ^ {2} - \| u \| ^ {2}}} right) = { frac {4R ^ {3} langle mathbf {V} , , mathbf {u} rangle} { left (R ^ {2} - \| u \| ^ {2} right) ^ {2}}}. end {выравнивается}}}$ Наконец, ${ displaystyle eta left ( sigma _ {} ^ {- 1} V, , sigma _ {*} ^ {- 1} V right) = sum _ {j = 1} ^ {n } left (Vx ^ {j} right) ^ {2} - (V tau) ^ {2} = { frac {4R ^ {4} \| V \| ^ {2}} { left (R ^ {2} - \| u \| ^ {2} right) ^ {2}}} = h_ {R} ^ {2 (n)} (V, z, V),}$ и делается тот же вывод.

Смотрите также

Замечания

^ Это делает расстояние в пространстве-времени инвариантный.
^ Последовательное использование терминов «внутреннее произведение Минковского», «норма Минковского» или «метрика Минковского» предназначено для билинейной формы здесь, поскольку она широко используется. Это ни в коем случае не является «стандартом» в литературе, но, похоже, стандартной терминологии не существует.
^ Переведите систему координат так, чтобы событие было новой точкой отсчета.
^ Это соответствует увеличению или уменьшению временной координаты, когда собственное время для любой частицы увеличивается. Применение $Т$ переворачивает это направление.
^ Для сравнения и обоснования терминологии возьмите Риманова метрика, который обеспечивает положительно определенную симметричную билинейную форму, т.е. е. ан внутренний продукт в каждой точке многообразия.
^ Это сходство между плоским и искривленным пространством на бесконечно малых расстояниях лежит в основе определения понятия многообразие в целом.
^ Там является изометрическое вложение в $ℝ п$ согласно Теорема вложения Нэша (Нэш (1956) ), но размерность вложения намного выше, $п = (м /2)(м + 1)(3 м + 11)$ для риманова многообразия размерности $м$ .

Примечания

^ "Минковский". Полный словарь Random House Webster.
^ Ландау и Лифшиц, 2002 г., п. 5
^ Ли 1997, п. 31 год
^ Шутц, Джон В. (1977). Независимые аксиомы для пространства-времени Минковского. (иллюстрированный ред.). CRC Press. С. 184–185. ISBN 978-0-582-31760-4. Отрывок страницы 184
^ Пуанкаре 1905–1906 гг., pp. 129–176 Перевод викиисточника: О динамике электрона
^ Минковский 1907–1908, pp. 53–111 * Перевод викиисточника: s: Перевод: Основные уравнения электромагнитных процессов в движущихся телах..
^ ^а ^б Минковский 1908–1909, pp. 75–88 Различные английские переводы в Wikisource: "Пространство и время."
^ Корнелиус Ланцош (1972) "Путь Эйнштейна от специальной к общей теории относительности", страницы 5–19 Общая теория относительности: статьи в честь Дж. Л. Синге, Редактор Л. О'Рейфарта, Clarendon Press, см. стр.11
^ См. Доказательство Шютца, стр. 148, также Набер, стр. 48
^ Шютц с.148, Набер с.49
^ Schutz стр.148
^ Ли 1997, п. 15
^ Ли 2003, См. Обсуждение Ли касательных геометрических векторов в начале главы 3.
^ Джулини 2008 стр. 5,6
^ Минковский, Ландау и Лифшиц, 2002 г., п. 4
^ Сард 1970, п. 71
^ Миснер, Торн и Уиллер, 1973
^ Ли 2003. Один пункт в доказательстве Ли существования этой карты требует модификации (Ли имеет дело с Римановы метрики.). Там, где Ли обращается к положительной определенности, чтобы показать инъективность карты, вместо этого нужно обратиться к невырожденности.
^ Ли 2003, Изоморфизм касательного котангенса с. 282.
^ Ли 2003
^ Ли 1997, п. 66
^ Ли 1997, п. 33
^ Ли 1997

внешняя ссылка

СМИ, связанные с Диаграммы Минковского в Wikimedia Commons

Анимационный клип на YouTube визуализация пространства Минковского в контексте специальной теории относительности.
Геометрия специальной теории относительности: световой конус пространства-времени Минковского
Пространство Минковского в PhilPapers

[3] Это делает расстояние в пространстве-времени инвариантный.

[5] Последовательное использование терминов «внутреннее произведение Минковского», «норма Минковского» или «метрика Минковского» предназначено для билинейной формы здесь, поскольку она широко используется. Это ни в коем случае не является «стандартом» в литературе, но, похоже, стандартной терминологии не существует.

[11] Переведите систему координат так, чтобы событие было новой точкой отсчета.

[12] Это соответствует увеличению или уменьшению временной координаты, когда собственное время для любой частицы увеличивается. Применение $Т$ переворачивает это направление.

[18] Для сравнения и обоснования терминологии возьмите Риманова метрика, который обеспечивает положительно определенную симметричную билинейную форму, т.е. е. ан внутренний продукт в каждой точке многообразия.

[26] Это сходство между плоским и искривленным пространством на бесконечно малых расстояниях лежит в основе определения понятия многообразие в целом.

[27] Там является изометрическое вложение в $ℝ п$ согласно Теорема вложения Нэша (Нэш (1956) ), но размерность вложения намного выше, $п = (м /2)(м + 1)(3 м + 11)$ для риманова многообразия размерности $м$ .

[1] "Минковский". Полный словарь Random House Webster.

[2] Ландау и Лифшиц, 2002 г., п. 5

[4] Ли 1997, п. 31 год

[6] Шутц, Джон В. (1977). Независимые аксиомы для пространства-времени Минковского. (иллюстрированный ред.). CRC Press. С. 184–185. ISBN 978-0-582-31760-4. Отрывок страницы 184

[7] Пуанкаре 1905–1906 гг., pp. 129–176 Перевод викиисточника: О динамике электрона

[8] Минковский 1907–1908, pp. 53–111 * Перевод викиисточника: s: Перевод: Основные уравнения электромагнитных процессов в движущихся телах..

[raumzeit-9] а ^б Минковский 1908–1909, pp. 75–88 Различные английские переводы в Wikisource: "Пространство и время."

[10] Корнелиус Ланцош (1972) "Путь Эйнштейна от специальной к общей теории относительности", страницы 5–19 Общая теория относительности: статьи в честь Дж. Л. Синге, Редактор Л. О'Рейфарта, Clarendon Press, см. стр.11

[13] См. Доказательство Шютца, стр. 148, также Набер, стр. 48

[14] Шютц с.148, Набер с.49

[15] Schutz стр.148

[16] Ли 1997, п. 15

[17] Ли 2003, См. Обсуждение Ли касательных геометрических векторов в начале главы 3.

[19] Джулини 2008 стр. 5,6

[20] Минковский, Ландау и Лифшиц, 2002 г., п. 4

[21] Сард 1970, п. 71

[22] Миснер, Торн и Уиллер, 1973

[23] Ли 2003. Один пункт в доказательстве Ли существования этой карты требует модификации (Ли имеет дело с Римановы метрики.). Там, где Ли обращается к положительной определенности, чтобы показать инъективность карты, вместо этого нужно обратиться к невырожденности.

[24] Ли 2003, Изоморфизм касательного котангенса с. 282.

[25] Ли 2003

[28] Ли 1997, п. 66

[29] Ли 1997, п. 33

[30] Ли 1997

[1]

[2]

[nb 1]

[3]

[nb 2]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[№ 3]

[№ 4]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[№ 5]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[№ 6]

[№ 7]

[21]

[22]

[23]