Уравнения поля Эйнштейна - Википедия - Einstein field equations

Часть цикла статей о
Общая теория относительности
${ displaystyle G _ { mu nu} + Lambda g _ { mu nu} = { frac {8 pi G} {c ^ {4}}} T _ { mu nu}}$
Вступление История Математическая формулировка Тесты
Основные концепции Принцип относительности Теория относительности Точка зрения Инерциальная система отсчета Рама отдыха Рамка центра импульса Световой конус Принцип эквивалентности Эквивалентность массы и энергии Специальная теория относительности Двойная специальная теория относительности инвариант де Ситтера специальная теория относительности Масштаб относительности Мировая линия Подходящее время Риманова геометрия Энергетическое состояние
Явления Гравитоэлектромагнетизм Проблема Кеплера Сила тяжести Гравитационное поле Гравитационный колодец Гравитационное линзирование Гравитационные волны Гравитационное красное смещение Красное смещение Синее смещение Замедление времени Гравитационное замедление времени Задержка Шапиро Гравитационный потенциал Гравитационное сжатие Гравитационный коллапс Перетаскивание кадра Геодезический эффект Видимый горизонт Горизонт событий Гравитационная сингулярность Обнаженная особенность Черная дыра Белая дыра Пространство-время Космос Время Диаграммы пространства-времени Пространство-время Минковского Замкнутая временная кривая (СТС) Червоточина Червоточина Эллиса
Уравнения Формализмы Уравнения Линеаризованная гравитация Уравнения поля Эйнштейна Фридман Геодезические Матиссон – Папапетру – Диксон Гамильтон – Якоби – Эйнштейн Инвариант кривизны (общая теория относительности) Лоренцево многообразие Формализмы ADM БССН Ньюман – Пенроуз Постньютоновский Продвинутая теория Теория Калуцы – Клейна Квантовая гравитация Супергравитация
Решения Шварцшильд (интерьер ) Рейсснер-Нордстрём Гёдель Керр Керр – Ньюман Kasner Лемэтр – Толман Тауб-ОРЕХ Milne Робертсон – Уокер pp-волна van Stockum пыль Вейль – Льюис – Папапетру Вакуумный раствор
Теоремы Теорема Биркгофа Теорема Героха о расщеплении Теорема Гольдберга – Сакса. Теорема Лавлока Теорема об отсутствии волос Теоремы Пенроуза – Хокинга об особенностях Теорема положительной энергии
Ученые Эйнштейн Лоренц Гильберта Пуанкаре Шварцшильд де Ситтер Рейсснер Nordström Weyl Эддингтон Фридман Milne Цвикки Лемэтр Гёдель Уиллер Робертсон Бардин Уокер Керр Чандрасекхар Элерс Пенроуз Хокинг Райчаудхури Тейлор Hulse van Stockum Тауб Новичок Яу Торн другие

в общая теория относительности то Уравнения поля Эйнштейна (EFE; также известен как Уравнения Эйнштейна) связывают геометрию пространство-время к распределению иметь значение внутри.^[1]

Уравнения были впервые опубликованы Эйнштейном в 1915 году в виде тензорное уравнение^[2] которые касались местных пространство-время кривизна (выраженный Тензор Эйнштейна ) с местной энергией, импульс и напряжение в этом пространстве-времени (выраженное тензор энергии-импульса ).^[3]

Аналогично тому, как электромагнитные поля связаны с распределением обвинения и токи через Уравнения Максвелла, EFE связывают геометрия пространства-времени распределению массы – энергии, импульса и напряжения, то есть они определяют метрический тензор пространства-времени для данного расположения напряжения-энергии-импульса в пространстве-времени. Связь между метрическим тензором и тензором Эйнштейна позволяет записать EFE в виде набора нелинейных уравнения в частных производных при использовании таким образом. Решения УЭФ являются компонентами метрического тензора. В инерционный траектории частиц и излучения (геодезические ) в результирующей геометрии затем вычисляются с использованием геодезическое уравнение.

Помимо локального сохранения энергии-импульса, EFE сводятся к Закон всемирного тяготения Ньютона в пределе слабого гравитационного поля и скоростей, много меньших, чем скорость света.^[4]

Точные решения для EFE можно найти только при упрощающих предположениях, таких как симметрия. Специальные классы точные решения наиболее часто изучаются, поскольку они моделируют многие гравитационные явления, такие как вращающиеся черные дыры и расширяющаяся вселенная. Дальнейшее упрощение достигается при аппроксимации пространства-времени как имеющего лишь небольшие отклонения от плоское пространство-время, ведущий к линеаризованный EFE. Эти уравнения используются для изучения таких явлений, как гравитационные волны.

Математическая форма

Часть серии по
Пространство-время
Специальная теория относительности Общая теория относительности
Концепции пространства-времени Пространственно-временное многообразие Принцип эквивалентности Преобразования Лоренца Пространство Минковского
Общая теория относительности Введение в общую теорию относительности Математика общей теории относительности Уравнения поля Эйнштейна
Классическая гравитация Введение в гравитацию Закон всемирного тяготения Ньютона
Соответствующая математика Четыре вектора Выводы теории относительности Диаграммы пространства-времени Дифференциальная геометрия Искривленное пространство-время Математика общей теории относительности Топология пространства-времени

Уравнения поля Эйнштейна (EFE) можно записать в виде:^[5][1]

EFE на стене в Лейден

куда грамм_μν это Тензор Эйнштейна, грамм_μν это метрический тензор, Т_μν это тензор энергии-импульса, Λ это космологическая постоянная и κ - гравитационная постоянная Эйнштейна.

В Тензор Эйнштейна определяется как

${ displaystyle G _ { mu nu} = R _ { mu nu} - { tfrac {1} {2}} Rg _ { mu nu},}$

куда р_μν это Тензор кривизны Риччи, и р это скалярная кривизна. Это симметричный тензор второй степени, который зависит только от метрического тензора и его первой и второй производных.

В Гравитационная постоянная Эйнштейна определяется как^[6][7]

${ displaystyle kappa = { frac {8 pi G} {c ^ {4}}} приблизительно 2,077 times 10 ^ {- 43} N ^ {- 1},}$

куда грамм это Ньютоновская постоянная гравитации и c это скорость света в вакууме.

Таким образом, EFE также можно записать как

${ displaystyle R _ { mu nu} - { tfrac {1} {2}} Rg _ { mu nu} + Lambda g _ { mu nu} = kappa T _ { mu nu}.}$

В стандартных единицах каждый член слева имеет единицы 1 / длина.².

Выражение слева представляет кривизну пространства-времени, определяемую метрикой; выражение справа представляет собой материально-энергетическое содержание пространства-времени. EFE можно интерпретировать как набор уравнений, определяющих, как материя-энергия определяет кривизну пространства-времени.

Эти уравнения вместе с геодезическое уравнение,^[8] который определяет, насколько свободно падающая материя движется в пространстве-времени, формируя ядро математическая формулировка из общая теория относительности.

EFE - это тензорное уравнение, связывающее набор симметричные тензоры 4 × 4. Каждый тензор имеет 10 независимых компонент. Четверка Бьянки идентичности уменьшить количество независимых уравнений с 10 до 6, оставив метрику с четырьмя калибровка степени свободы, которые соответствуют свободе выбора системы координат.

Хотя уравнения поля Эйнштейна изначально были сформулированы в контексте четырехмерной теории, некоторые теоретики исследовали их последствия в п размеры.^[9] Уравнения в контексте вне общей теории относительности по-прежнему называются уравнениями поля Эйнштейна. Уравнения вакуумного поля (полученные при Т_μν везде ноль) определим Многообразия Эйнштейна.

Уравнения сложнее, чем кажется. Учитывая заданное распределение вещества и энергии в форме тензора энергии-импульса, EFE понимаются как уравнения для метрического тензора грамм_μν, поскольку и тензор Риччи, и скалярная кривизна зависят от метрики сложным нелинейным образом. Полностью записанные EFE представляют собой систему из десяти связанных, нелинейных, гиперболо-эллиптических уравнения в частных производных.^[10]

Подписать соглашение

Приведенная выше форма EFE является стандартом, установленным Миснер, Торн и Уиллер.^[11] Авторы проанализировали существующие условности и классифицировали их по трем признакам (S1, S2, S3):

${ displaystyle { begin {align} g _ { mu nu} & = [S1] times operatorname {diag} (-1, + 1, + 1, + 1) [6pt] {R ^ { mu}} _ { alpha beta gamma} & = [S2] times left ( Gamma _ { alpha gamma, beta} ^ { mu} - Gamma _ { alpha beta, gamma} ^ { mu} + Gamma _ { sigma beta} ^ { mu} Gamma _ { gamma alpha} ^ { sigma} - Gamma _ { sigma gamma} ^ { mu} Gamma _ { beta alpha} ^ { sigma} right) [6pt] G _ { mu nu} & = [S3] times kappa T _ { mu nu} end { выровнено}}}$

Третий знак выше связан с выбором соглашения для тензора Риччи:

${ displaystyle R _ { mu nu} = [S2] times [S3] times {R ^ { alpha}} _ { mu alpha nu}}$

С этими определениями Миснер, Торн и Уиллер классифицируют себя как (+ + +), тогда как Вайнберг (1972)^[12] является (+ − −), Пиблз (1980)^[13] и Efstathiou et al. (1990)^[14] находятся (− + +), Риндлер (1977)^{[нужна цитата ]}, Этуотер (1974)^{[нужна цитата ]}, Коллинз Мартин и Сквайрс (1989)^[15] и павлин (1999)^[16] находятся (− + −).

Авторы, включая Эйнштейна, использовали другой знак в своем определении тензора Риччи, в результате чего знак константы в правой части стал отрицательным:

${ displaystyle R _ { mu nu} - { tfrac {1} {2}} Rg _ { mu nu} - Lambda g _ { mu nu} = - kappa T _ { mu nu}. }$

Знак космологического члена изменился бы в обеих этих версиях, если бы (+ − − −) метрика подписать соглашение используется, а не MTW (− + + +) здесь принята метрическая система знаков.

Эквивалентные составы

Принимая след по метрике обеих сторон EFE получается

${ Displaystyle R - { гидроразрыва {D} {2}} R + D Lambda = kappa T,}$

куда D - измерение пространства-времени. Решение для р и подставив это в исходный EFE, мы получим следующую эквивалентную "обратную трассировку" форму:

${ displaystyle R _ { mu nu} - { frac {2} {D-2}} Lambda g _ { mu nu} = kappa left (T _ { mu nu} - { frac { 1} {D-2}} Tg _ { mu nu} right).}$

В D = 4 размеры это уменьшает до

${ displaystyle R _ { mu nu} - Lambda g _ { mu nu} = kappa left (T _ { mu nu} - { tfrac {1} {2}} T , g _ { mu nu} right).}$

Повторное обращение трассировки восстановит исходный EFE. Форма с обращением следа может быть более удобной в некоторых случаях (например, когда кто-то интересуется пределом слабого поля и может заменить грамм_μν в выражении справа с Метрика Минковского без существенной потери точности).

Космологическая постоянная

В уравнениях поля Эйнштейна

${ Displaystyle G _ { mu nu} + Lambda g _ { mu nu} = kappa T _ { mu nu} ,,}$

термин, содержащий космологическая постоянная Λ отсутствовала в версии, в которой он их изначально опубликовал. Затем Эйнштейн включил член с космологической постоянной, чтобы учесть Вселенная, которая не расширяется и не сжимается. Эта попытка не увенчалась успехом, потому что:

• любое желаемое стационарное решение, описываемое этим уравнением, неустойчиво, и
• наблюдения Эдвин Хаббл показал, что наша Вселенная расширение.

Эйнштейн тогда отказался Λ, обращаясь к Георгий Гамов «что введение космологического термина было самой большой ошибкой в ​​его жизни».^[17]

Включение этого термина не создает противоречий. В течение многих лет космологическая постоянная почти повсеместно полагалась равной нулю. Более свежий астрономический наблюдения показали ускоряющееся расширение Вселенной, и чтобы объяснить это положительным значением Λ необходим.^[18][19] Космологическая постоянная пренебрежимо мала в масштабе галактики или меньше.

Эйнштейн считал космологическую постоянную независимым параметром, но его член в уравнении поля можно также алгебраически переместить в другую сторону и включить как часть тензора энергии-импульса:

${ displaystyle T _ { mu nu} ^ { mathrm {(vac)}} = - { frac { Lambda} { kappa}} g _ { mu nu} ,.}$

Этот тензор описывает состояние вакуума с плотность энергии ρ_{пылесос} и изотропное давление п_{пылесос} которые являются фиксированными константами и задаются

${ displaystyle rho _ { mathrm {vac}} = - p _ { mathrm {vac}} = { frac { Lambda} { kappa}},}$

где предполагается, что Λ имеет единицу СИ м⁻² и κ определяется, как указано выше.

Таким образом, существование космологической постоянной эквивалентно существованию энергии вакуума и давления противоположного знака. Это привело к тому, что термины «космологическая постоянная» и «энергия вакуума» стали взаимозаменяемыми в общей теории относительности.

Функции

Сохранение энергии и импульса

Общая теория относительности согласуется с локальным законом сохранения энергии и импульса, выраженным как

${ displaystyle nabla _ { beta} T ^ { alpha beta} = {T ^ { alpha beta}} _ {; beta} = 0}$.

Вывод локального закона сохранения энергии-импульса.

Заключение договора дифференциальная идентичность Бьянки ${ Displaystyle Р _ { альфа бета [ гамма дельта; varepsilon]} = 0}$ с граммαβ дает, используя тот факт, что метрический тензор ковариантно постоянен, т.е. граммαβ; γ = 0, ${ displaystyle {R ^ { gamma}} _ { beta gamma delta; varepsilon} + {R ^ { gamma}} _ { beta varepsilon gamma; delta} + {R ^ { gamma}} _ { beta delta varepsilon; gamma} = , 0}$ Антисимметрия тензора Римана позволяет переписать второй член в приведенном выше выражении: ${ displaystyle {R ^ { gamma}} _ { beta gamma delta; varepsilon} - {R ^ { gamma}} _ { beta gamma varepsilon; delta} + {R ^ { gamma}} _ { beta delta varepsilon; gamma} = 0}$ что эквивалентно ${ displaystyle R _ { beta delta; varepsilon} -R _ { beta varepsilon; delta} + {R ^ { gamma}} _ { beta delta varepsilon; gamma} = 0}$ используя определение Тензор Риччи. Затем снова сверните с метрикой ${ displaystyle g ^ { beta delta} left (R _ { beta delta; varepsilon} -R _ { beta varepsilon; delta} + {R ^ { gamma}} _ { beta delta varepsilon; gamma} right) = 0}$ получить ${ displaystyle {R ^ { delta}} _ { delta; varepsilon} - {R ^ { delta}} _ { varepsilon; delta} + {R ^ { gamma delta}} _ { дельта varepsilon; gamma} = 0}$ Затем определения тензора кривизны Риччи и скалярной кривизны показывают, что ${ Displaystyle R _ {; varepsilon} -2 {R ^ { gamma}} _ { varepsilon; gamma} = 0}$ который можно переписать как ${ displaystyle left ({R ^ { gamma}} _ { varepsilon} - { tfrac {1} {2}} {g ^ { gamma}} _ { varepsilon} R right) _ {; gamma} = 0}$ Последнее сокращение с граммεδ дает ${ displaystyle left (R ^ { gamma delta} - { tfrac {1} {2}} g ^ { gamma delta} R right) _ {; gamma} = 0}$ что в силу симметрии заключенного в скобки члена и определения Тензор Эйнштейна, после перемаркировки индексов дает ${ Displaystyle {G ^ { alpha beta}} _ {; beta} = 0}$ Используя EFE, это сразу дает: ${ displaystyle nabla _ { beta} T ^ { alpha beta} = {T ^ { alpha beta}} _ {; beta} = 0}$

что выражает локальное сохранение напряжения-энергии. Этот закон сохранения является физическим требованием. Своими уравнениями поля Эйнштейн убедился, что общая теория относительности согласуется с этим условием сохранения.

Нелинейность

Нелинейность EFE отличает общую теорию относительности от многих других фундаментальных физических теорий. Например, Уравнения Максвелла из электромагнетизм линейны по электрический и магнитные поля, а также распределения заряда и тока (т.е. сумма двух решений также является решением); другой пример Уравнение Шредингера из квантовая механика, линейная по волновая функция.

Принцип соответствия

EFE сводится к Закон всемирного тяготения Ньютона используя как приближение слабого поля и приближение замедленного движения. Фактически постоянная грамм появление в EFE определяется этими двумя приближениями.

Вывод закона всемирного тяготения Ньютона

Ньютонову гравитацию можно записать как теорию скалярного поля, Φ, который представляет собой гравитационный потенциал в джоулях на килограмм гравитационного поля грамм = −∇Φ, видеть Закон Гаусса для гравитации ${ displaystyle nabla ^ {2} Phi left ({ vec {x}}, t right) = 4 pi G rho left ({ vec {x}}, t right)}$ куда ρ - массовая плотность. Орбита свободное падение частица удовлетворяет ${ displaystyle { ddot { vec {x}}} (t) = { vec {g}} = - nabla Phi left ({ vec {x}} (t), t right) ,.}$ В тензорных обозначениях они становятся ${ displaystyle { begin {align} Phi _ {, ii} & = 4 pi G rho { frac {d ^ {2} x ^ {i}} {dt ^ {2}}} & = - Phi _ {, i} ,. End {align}}}$ В общей теории относительности эти уравнения заменены уравнениями поля Эйнштейна в обращенной следом форме ${ displaystyle R _ { mu nu} = K left (T _ { mu nu} - { tfrac {1} {2}} Tg _ { mu nu} right)}$ для некоторой константы, K, а геодезическое уравнение ${ displaystyle { frac {d ^ {2} x ^ { alpha}} {d tau ^ {2}}} = - Gamma _ { beta gamma} ^ { alpha} { frac {dx ^ { beta}} {d tau}} { frac {dx ^ { gamma}} {d tau}} ,.}$ Чтобы увидеть, как последнее сводится к первому, предположим, что скорость пробной частицы приблизительно равна нулю. ${ displaystyle { frac {dx ^ { beta}} {d tau}} приблизительно left ({ frac {dt} {d tau}}, 0,0,0 right)}$ и поэтому ${ displaystyle { frac {d} {dt}} left ({ frac {dt} {d tau}} right) приблизительно 0}$ и что метрика и ее производные приблизительно статичны и что квадраты отклонений от Метрика Минковского незначительны. Применение этих упрощающих предположений к пространственным компонентам уравнения геодезических дает ${ displaystyle { frac {d ^ {2} x ^ {i}} {dt ^ {2}}} приблизительно - Gamma _ {00} ^ {i}}$ где два фактора dt/dτ были разделены. Это сведется к его ньютоновскому аналогу, если ${ displaystyle Phi _ {, i} приблизительно Gamma _ {00} ^ {i} = { tfrac {1} {2}} g ^ {i alpha} left (g _ { alpha 0,0 } + g_ {0 alpha, 0} -g_ {00, alpha} right) ,.}$ Наши предположения заставляют α = я и производные по времени (0) равны нулю. Так что это упрощает ${ Displaystyle 2 Phi _ {, i} приблизительно g ^ {ij} left (-g_ {00, j} right) приблизительно -g_ {00, i} ,}$ который удовлетворяется, позволяя ${ displaystyle g_ {00} приблизительно -c ^ {2} -2 Phi ,.}$ Переходя к уравнениям Эйнштейна, нам понадобится только временная составляющая ${ displaystyle R_ {00} = K left (T_ {00} - { tfrac {1} {2}} Tg_ {00} right)}$ предположения о низкой скорости и статическом поле подразумевают, что ${ Displaystyle T _ { mu nu} приблизительно mathrm {diag} left (T_ {00}, 0,0,0 right) приблизительно mathrm {diag} left ( rho c ^ {4} , 0,0,0 вправо) ,.}$ Так ${ displaystyle T = g ^ { alpha beta} T _ { alpha beta} приблизительно g ^ {00} T_ {00} приблизительно - { frac {1} {c ^ {2}}} rho c ^ {4} = - rho c ^ {2} ,}$ и поэтому ${ displaystyle K left (T_ {00} - { tfrac {1} {2}} Tg_ {00} right) приблизительно K left ( rho c ^ {4} - { tfrac {1} { 2}} left (- rho c ^ {2} right) left (-c ^ {2} right) right) = { tfrac {1} {2}} K rho c ^ {4 } ,.}$ Из определения тензора Риччи ${ Displaystyle R_ {00} = Gamma _ {00, rho} ^ { rho} - Gamma _ { rho 0,0} ^ { rho} + Gamma _ { rho lambda} ^ { rho} Gamma _ {00} ^ { lambda} - Gamma _ {0 lambda} ^ { rho} Gamma _ { rho 0} ^ { lambda}.}$ Наши упрощающие предположения составляют квадраты Γ исчезают вместе с производными по времени ${ displaystyle R_ {00} приблизительно Gamma _ {00, i} ^ {i} ,.}$ Объединение приведенных выше уравнений вместе ${ displaystyle Phi _ {, ii} приблизительно Gamma _ {00, i} ^ {i} приблизительно R_ {00} = K left (T_ {00} - { tfrac {1} {2}} Tg_ {00} right) приблизительно { tfrac {1} {2}} K rho c ^ {4}}$ которое сводится к уравнению поля Ньютона при условии ${ displaystyle { tfrac {1} {2}} K rho c ^ {4} = 4 pi G rho ,}$ что произойдет, если ${ Displaystyle К = { гидроразрыва {8 pi G} {c ^ {4}}} ,.}$

Уравнения вакуумного поля

Швейцарская памятная монета 1979 года, на которой изображены уравнения вакуумного поля с нулевой космологической постоянной (вверху).

Если тензор энергии-импульса Т_μν равна нулю в рассматриваемой области, то уравнения поля также называют уравнения вакуумного поля. Установив Т_μν = 0 в уравнения поля с обращенными следами, уравнения вакуума можно записать в виде

${ Displaystyle R _ { mu nu} = 0 ,.}$

В случае ненулевой космологической постоянной уравнения имеют вид

${ displaystyle R _ { mu nu} = { frac { Lambda} {{ frac {D} {2}} - 1}} g _ { mu nu} ,.}$

Решения уравнений вакуумного поля называются вакуумные решения. Плоский Пространство Минковского является простейшим примером вакуумного решения. Нетривиальные примеры включают Решение Шварцшильда и Решение Керра.

Коллекторы с исчезающим Тензор Риччи, р_μν = 0, называются Риччи-плоские многообразия и многообразия с тензором Риччи, пропорциональным метрике, как Многообразия Эйнштейна.

Уравнения Эйнштейна – Максвелла

Если тензор энергии-импульса Т_μν это что из электромагнитное поле в свободное место, т.е. если электромагнитный тензор энергии-напряжения

${ displaystyle T ^ { alpha beta} = , - { frac {1} { mu _ {0}}} left ({F ^ { alpha}} ^ { psi} {F _ { psi}} ^ { beta} + { tfrac {1} {4}} g ^ { alpha beta} F _ { psi tau} F ^ { psi tau} right)}$

используется, то уравнения поля Эйнштейна называются Уравнения Эйнштейна – Максвелла (с космологическая постоянная Λ, принимаемое равным нулю в традиционной теории относительности):

${ displaystyle G ^ { alpha beta} + Lambda g ^ { alpha beta} = { frac { kappa} { mu _ {0}}} left ({F ^ { alpha}} ^ { psi} {F _ { psi}} ^ { beta} + { tfrac {1} {4}} g ^ { alpha beta} F _ { psi tau} F ^ { psi tau }верно).}$

Кроме того, ковариантные уравнения Максвелла также применимы в свободном пространстве:

${ displaystyle { begin {align} {F ^ { alpha beta}} _ {; beta} & = 0 F _ {[ alpha beta; gamma]} & = { tfrac {1} {3}} left (F _ { alpha beta; gamma} + F _ { beta gamma; alpha} + F _ { gamma alpha; beta} right) = { tfrac {1} { 3}} left (F _ { alpha beta, gamma} + F _ { beta gamma, alpha} + F _ { gamma alpha, beta} right) = 0. End {выровнено}} }$

где точка с запятой представляет собой ковариантная производная, а скобки обозначают антисимметризация. Первое уравнение утверждает, что 4-расхождение из 2-форма F равно нулю, а второе, что его внешняя производная равно нулю. Из последнего следует Лемма Пуанкаре что в координатной карте можно ввести потенциал электромагнитного поля А_α такой, что

${ Displaystyle F _ { alpha beta} = A _ { alpha; beta} -A _ { beta; alpha} = A _ { alpha, beta} -A _ { beta, alpha}}$

в котором запятая обозначает частную производную. Это часто рассматривается как эквивалент ковариантного уравнения Максвелла, из которого оно получено.^[20] Однако есть глобальные решения уравнения, которые могут не обладать глобально определенным потенциалом.^[21]

Решения

Решения уравнений поля Эйнштейна следующие: метрики из пространство-время. Эти метрики описывают структуру пространства-времени, включая инерционное движение объектов в пространстве-времени. Поскольку уравнения поля нелинейны, они не всегда могут быть решены полностью (т. Е. Без приближения). Например, нет известного полного решения для пространства-времени с двумя массивными телами в нем (которое, например, является теоретической моделью двойной звездной системы). Однако в этих случаях обычно делаются приближения. Их обычно называют постньютоновские приближения. Тем не менее, есть несколько случаев, когда уравнения поля были решены полностью, и они называются точные решения.^[9]

Изучение точных решений уравнений поля Эйнштейна - одно из направлений деятельности космология. Это приводит к предсказанию черные дыры и к разным моделям эволюции вселенная.

Можно также найти новые решения уравнений поля Эйнштейна с помощью метода ортонормированных систем отсчета, впервые предложенного Эллисом и МакКаллумом.^[22] При таком подходе уравнения поля Эйнштейна сводятся к системе связанных нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Как обсуждали Хсу и Уэйнрайт,^[23] автомодельные решения уравнений поля Эйнштейна являются неподвижными точками полученного динамическая система. LeBlanc обнаружил новые решения с использованием этих методов.^[24] и Коли и Хаслам.^[25]

Линеаризованный EFE

Нелинейность EFE затрудняет поиск точных решений. Один из способов решения уравнений поля состоит в приближении, а именно, что вдали от источника (источников) гравитирующего вещества гравитационное поле очень слабый и пространство-время приближается к Пространство Минковского. Затем метрика записывается как сумма метрики Минковского и члена, представляющего отклонение истинной метрики от Метрика Минковского, игнорируя высшие степени. Эта процедура линеаризации может использоваться для исследования явлений гравитационное излучение.

Полиномиальная форма

Несмотря на то, что EFE, как написано, содержит инверсию метрического тензора, они могут быть организованы в форме, которая содержит метрический тензор в полиномиальной форме и без его инверсии. Во-первых, определитель метрики в 4-х измерениях можно записать

${ displaystyle det (g) = { tfrac {1} {24}} varepsilon ^ { alpha beta gamma delta} varepsilon ^ { kappa lambda mu nu} g _ { alpha каппа} g _ { beta lambda} g _ { gamma mu} g _ { delta nu}}$

с использованием Символ Леви-Чивита; а значение, обратное метрике в четырех измерениях, можно записать как:

${ displaystyle g ^ { alpha kappa} = { frac {{ tfrac {1} {6}} varepsilon ^ { alpha beta gamma delta} varepsilon ^ { kappa lambda mu nu} g _ { beta lambda} g _ { gamma mu} g _ { delta nu}} { det (g)}} ,.}$

Подставляя это определение обратной метрики в уравнения, затем умножая обе части на подходящую степень det (грамм) чтобы исключить его из знаменателя, получим полиномиальные уравнения для метрического тензора и его первой и второй производных. Действие, из которого выводятся уравнения, также может быть записано в полиномиальной форме путем подходящего переопределения полей.^[26]

Смотрите также

Примечания

Рекомендации

Видеть Ресурсы по общей теории относительности.

• Миснер, Чарльз В.; Торн, Кип С.; Уилер, Джон Арчибальд (1973). Гравитация. Сан-Франциско: В. Х. Фриман. ISBN  978-0-7167-0344-0.
• Вайнберг, Стивен (1972). Гравитация и космология. Джон Вили и сыновья. ISBN  0-471-92567-5.
• Пикок, Джон А. (1999). Космологическая физика. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0521410724.

внешняя ссылка

• «Уравнения Эйнштейна», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Учебник Калифорнийского технологического института по теории относительности - Простое введение в уравнения поля Эйнштейна.
• Значение уравнения Эйнштейна - Объяснение уравнения поля Эйнштейна, его вывода и некоторых следствий
• Видео-лекция по уравнениям поля Эйнштейна к Массачусетский технологический институт Профессор физики Эдмунд Бертчингер.
• Арка и эшафот: как Эйнштейн нашел свои уравнения поля Physics Today ноябрь 2015, История развития уравнений поля
• Уравнение поля Эйнштейна на стене музея Бурхааве в центре Лейдена