Теорема Гольдберга – Сакса. - Goldberg–Sachs theorem

Часть цикла статей о
Общая теория относительности
${displaystyle G_ {mu u} + Lambda g_ {mu u} = {frac {8pi G} {c ^ {4}}} T_ {mu u}}$
Вступление История Математическая формулировка Тесты
Основные концепции Принцип относительности Теория относительности Точка зрения Инерциальная система отсчета Рама отдыха Рамка центра импульса Световой конус Принцип эквивалентности Эквивалентность массы и энергии Специальная теория относительности Двойная специальная теория относительности инвариант де Ситтера специальная теория относительности Масштаб относительности Мировая линия Подходящее время Риманова геометрия Энергетическое состояние
Явления Гравитоэлектромагнетизм Проблема Кеплера Сила тяжести Гравитационное поле Гравитационный колодец Гравитационное линзирование Гравитационные волны Гравитационное красное смещение Красное смещение Синее смещение Замедление времени Гравитационное замедление времени Задержка Шапиро Гравитационный потенциал Гравитационное сжатие Гравитационный коллапс Перетаскивание кадра Геодезический эффект Видимый горизонт Горизонт событий Гравитационная сингулярность Обнаженная особенность Черная дыра Белая дыра Пространство-время Космос Время Диаграммы пространства-времени Пространство-время Минковского Замкнутая времениподобная кривая (СТС) Червоточина Червоточина Эллиса
Уравнения Формализмы Уравнения Линеаризованная гравитация Уравнения поля Эйнштейна Фридман Геодезические Матиссон – Папапетру – Диксон Гамильтон – Якоби – Эйнштейн Инвариант кривизны (общая теория относительности) Лоренцево многообразие Формализмы ADM БССН Ньюман – Пенроуз Постньютоновский Продвинутая теория Теория Калуцы – Клейна Квантовая гравитация Супергравитация
Решения Шварцшильд (интерьер ) Рейсснер-Нордстрём Гёдель Керр Керр – Ньюман Kasner Лемэтр – Толман Тауб-ОРЕХ Milne Робертсон – Уокер pp-волна van Stockum пыль Вейль – Льюис – Папапетру Вакуумный раствор
Теоремы Теорема Биркгофа Теорема Героха о расщеплении Теорема Гольдберга – Сакса. Теорема Лавлока Теорема об отсутствии волос Теоремы Пенроуза – Хокинга об особенностях Теорема положительной энергии
Ученые Эйнштейн Лоренц Гильберта Пуанкаре Шварцшильд де Ситтер Рейсснер Nordström Weyl Эддингтон Фридман Milne Цвикки Лемэтр Гёдель Уиллер Робертсон Бардин Уокер Керр Чандрасекхар Элерс Пенроуз Хокинг Райчаудхури Тейлор Hulse van Stockum Тауб Новичок Яу Торн другие

В Теорема Гольдберга – Сакса. является результатом теории Эйнштейна общая теория относительности о вакуумных решениях Уравнения поля Эйнштейна относящиеся к существованию определенного типа соответствие с алгебраическими свойствами Тензор Вейля.

Точнее, теорема утверждает, что а вакуумный раствор полевых уравнений Эйнштейна допускают нулевую геодезическую конгруэнцию без сдвига тогда и только тогда, когда тензор Вейля равен алгебраически особенный.

Теорема часто используется при поиске алгебраически специальных вакуумных решений.

Лучи без сдвига

Луч - это семейство геодезических светоподобных кривых. Это касательное векторное поле ${displaystyle l ^ {a}}$ является нулевым и геодезическим: ${displaystyle l_ {a} l ^ {a} = 0}$ и ${displaystyle l ^ {b} abla _ {b} l ^ {a} = 0}$. В каждой точке есть (неуникальный) двумерный пространственный срез касательного пространства, ортогональный к ${displaystyle l ^ {a}}$. Он натянут на сложный нулевой вектор ${displaystyle m ^ {a}}$ и его комплексно сопряженный ${displaystyle {ar {m}} ^ {a}}$. Если метрика положительна по времени, то метрика, проецируемая на срез, будет ${displaystyle {ilde {g}} ^ {ab} = - m ^ {a} {ar {m}} ^ {b} - {ar {m}} ^ {a} m ^ {b}}$. Голдберг и Сакс рассмотрели проекцию градиента на этом срезе.

${displaystyle A ^ {ab} = {ilde {g}} ^ {ap} {ilde {g}} ^ {bq} abla _ {p} l_ {q} = z {ar {m}} ^ {a} m ^ {b} + {ar {z}} m ^ {a} {ar {m}} ^ {b} + {ar {sigma}} m ^ {a} m ^ {b} + sigma {ar {m}). } ^ {a} {ar {m}} ^ {b}.}$

Луч не имеет сдвига, если ${displaystyle sigma = 0}$. Интуитивно это означает, что небольшая тень, отбрасываемая лучом, сохранит свою форму. Тень может вращаться и увеличиваться / уменьшаться, но не искажаться.

Теорема

Метрика вакуума, ${displaystyle R_ {ab} = 0}$, является алгебраически особенным тогда и только тогда, когда оно содержит нулевую геодезическую конгруэнцию без сдвига; касательный вектор подчиняется ${displaystyle k _ {[a} C_ {b] ijc} k ^ {i} k ^ {j} = 0}$.^[1]

Это теорема, первоначально сформулированная Голдбергом и Саксом. Хотя они заявили это в терминах касательных векторов и Тензор Вейля, в терминах спиноров доказательство намного проще. В Уравнения поля Ньюмана-Пенроуза^[2] дают естественную основу для исследования классификаций Петрова, поскольку вместо доказательства ${displaystyle k _ {[a} C_ {b] ijc} k ^ {i} k ^ {j} = 0}$, можно просто доказать ${displaystyle Psi _ {0} = Psi _ {1} = 0}$. Для этих доказательств предположим, что у нас есть спиновая система отсчета с ${displaystyle o ^ {A}}$ выровненный флагшток с лучом без сдвига ${displaystyle l ^ {a}}$.

Доказательство того, что луч без сдвига влечет алгебраическую специальность: Если луч геодезический и не имеет сдвигов, то ${displaystyle varepsilon + {ar {varepsilon}} = каппа = сигма = 0}$. Сложное вращение ${displaystyle o ^ {A} ightarrow e ^ {i heta} o ^ {A}}$ не влияет ${displaystyle l ^ {a}}$ и может установить ${displaystyle varepsilon = 0}$ для упрощения расчетов. Первое полезное уравнение NP: ${displaystyle Dsigma -delta kappa = 0}$, что сразу дает ${displaystyle Psi _ {0} = 0}$.

Чтобы показать это ${displaystyle Psi _ {1} = 0}$, примените коммутатор ${displaystyle delta D-Ddelta}$ к нему. Тождество Бианки дает необходимые формулы: ${displaystyle DPsi _ {1} = 4ho Psi _ {1}}$ и ${displaystyle delta Psi _ {1} = (2 eta +4 au) Psi _ {1}}$.^[3] Работа с алгеброй этого коммутатора покажет ${displaystyle Psi _ {1} ^ {2} = 0}$, что завершает эту часть доказательства.

Доказательство того, что из алгебраической специальности следует луч без сдвига: Предполагать ${displaystyle o_ {A}}$ является вырожденным фактором ${displaystyle Psi _ {ABCD}}$. Хотя это вырождение может быть n-кратным (n = 2..4), и доказательство будет функционально таким же, возьмите его за 2-кратное вырождение. Тогда проекция ${displaystyle o ^ {B} o ^ {C} o ^ {D} Psi _ {ABCD} = 0}$. Тождество Бианки в вакуумном пространстве-времени есть ${displaystyle abla ^ {AA '} пси _ {ABCD} = 0}$, поэтому применение производной к проекции даст ${displaystyle o_ {A} o_ {B} abla ^ {AA '} o ^ {B} = 0}$, что эквивалентно ${displaystyle kappa = sigma = 0.}$ Следовательно, сравнение без сдвига и почти геодезическое: ${displaystyle Dl_ {a} = (varepsilon + {ar {varepsilon}}) l_ {a}}$. Подходящее изменение масштаба ${displaystyle o ^ {A}}$ существует, который сделает это сравнение геодезическим и, следовательно, луч без сдвига. Сдвиг векторного поля инвариантен при изменении масштаба, поэтому он останется без сдвига.

Важность и примеры

В пространствах-времени Петрова типа D есть два алгебраических вырождения. По теореме Гольдберга-Сакса тогда есть два свободных от сдвига луча, которые указывают вдоль этих вырожденных направлений. Поскольку уравнения Ньюмана-Пенроуза записываются в основе с двумя действительными нулевыми векторами, существует естественный базис, упрощающий уравнения поля. Примеры таких вакуумных пространств. Метрика Шварцшильда и Метрика Керра, который описывает невращающуюся и вращающуюся черную дыру соответственно. Именно это алгебраическое упрощение делает возможным решение метрики Керра вручную.

В случае Шварцшильда с симметричными во времени координатами два свободных от сдвига луча имеют вид
${displaystyle l ^ {mu} partial _ {mu} = pm left (1- {frac {2M} {r}} ight) ^ {- 1} partial _ {t} + partial _ {r}.}$

При преобразовании координат ${displaystyle (t, r, heta, varphi) ightarrow (tmp r ^ {*}, r, heta, varphi)}$ куда ${displaystyle r ^ {*}}$ это координата черепахи, это упрощает ${displaystyle l ^ {mu} partial _ {mu} = partial _ {r}}$.

Линеаризованная гравитация

Это было показано Дайном и Морески.^[4] что соответствующая теорема не будет выполняться в линеаризованная гравитация, то есть при решении линеаризованные уравнения поля Эйнштейна допуская нулевую конгруэнцию без сдвига, это решение не обязательно должно быть алгебраически специальным.

Смотрите также

• Геодезический
• Оптические скаляры

Рекомендации