Рамка центра импульса - Center-of-momentum frame

В физика, то система координат центра импульса (также система с нулевым импульсом или COM-кадр) системы является единственной (с точностью до скорости, но не происхождения) инерциальная система отсчета в котором полный импульс системы обращается в нуль. В центр импульса системы - это не местоположение (а совокупность относительных импульсов / скоростей: система отсчета). Таким образом, «центр импульса» означает «центр импульса». Рамка"и является краткой формой этой фразы.^[1]

Частным случаем системы отсчета центра импульса является рамка центра масс: инерциальная система отсчета, в которой центр массы (который является физической точкой) остается в начале координат. Во всех кадрах COM центр масс находится в покое, но он не обязательно находится в начале системы координат.

В специальная теория относительности, COM-кадр обязательно уникален только тогда, когда система изолирована.

Характеристики

Общее

Центр импульса определяется как инерциальная система отсчета, в которой сумма линейных импульсов всех частиц равна 0. Пусть S обозначают лабораторную эталонную систему и S′ Обозначают систему отсчета центра импульсов. Используя галилеев преобразование, скорость частицы в S' является

${displaystyle v '= v-V_ {c},}$

куда ${displaystyle V_ {c} = {frac {sum _ {i} m_ {i} v_ {i}} {sum _ {i} m_ {i}}}}$

- скорость центра масс. Тогда полный импульс в системе центра импульса обращается в нуль:

${displaystyle sum _ {i} p '_ {i} = sum _ {i} m_ {i} v' _ {i} = sum _ {i} m_ {i} (v_ {i} -V_ {c}) = сумма _ {i} m_ {i} v_ {i} -sum _ {i} m_ {i} {frac {sum _ {j} m_ {j} v_ {j}} {sum _ {j} m_ {j }}} = сумма _ {i} m_ {i} v_ {i} -sum _ {j} m_ {j} v_ {j} = 0.}$

Кроме того, общая энергия системы является минимальная энергия как видно из всех инерциальные системы отсчета.

Специальная теория относительности

В относительность, COM-кадр существует для изолированной массивной системы. Это следствие Теорема Нётер. В кадре COM полная энергия системы равна энергия отдыха, и эта величина (при делении на множитель c², куда c это скорость света ) дает масса покоя (инвариантная масса ) системы:

${displaystyle m_ {0} = {frac {E_ {0}} {c ^ {2}}}.}$

В инвариантная масса системы задается в любой инерциальной системе отсчета релятивистским инвариантным соотношением

${displaystyle m_ {0} {} ^ {2} = left ({frac {E} {c ^ {2}}} ight) ^ {2} -left ({frac {p} {c}} ight) ^ { 2},}$

но при нулевом импульсе импульсный член (п/c)² обращается в нуль и, таким образом, полная энергия совпадает с энергией покоя.

Системы с ненулевой энергией, но с нулевой масса покоя (такие как фотоны движение в одном направлении или, что то же самое, самолет электромагнитные волны ) не имеют фреймов COM, потому что нет фрейма, в котором они имели бы нулевой чистый импульс. Из-за неизменности скорость света, а безмассовый Система должна двигаться со скоростью света в любом кадре и всегда обладает чистым импульсом. Его энергия - для каждой системы отсчета - равна величине импульса, умноженной на скорость света:

${displaystyle E = pc.}$

Проблема двух тел

Пример использования этой рамы приведен ниже - при столкновении двух тел, не обязательно упругих (где кинетическая энергия сохраняется). СОМ-фрейм можно использовать для нахождения импульса частиц намного проще, чем в лабораторная рама: рамка, в которой выполняется измерение или расчет. Ситуация анализируется с помощью Галилеевы преобразования и сохранение импульса (для общности, а не только кинетические энергии), для двух частиц массы м₁ и м₂, движущиеся с начальными скоростями (до столкновения) ты₁ и ты₂ соответственно. Преобразования применяются для переноса скорости кадра из скорости каждой частицы из лабораторного кадра (без штриха) в кадр COM (со штрихом):^[1]

${displaystyle mathbf {u} _ {1} ^ {prime} = mathbf {u} _ {1} -mathbf {V}, quad mathbf {u} _ {2} ^ {prime} = mathbf {u} _ {2 } -mathbf {V}}$

куда V - скорость COM-кадра. С V скорость COM, т.е. производная по времени от местоположения COM р (положение центра масс системы):^[2]

${displaystyle {egin {align} {frac {{m {d}} mathbf {R}} {{m {d}} t}} & = {frac {m {d}} {{m {d}} t}) } влево ({frac {m_ {1} mathbf {r} _ {1} + m_ {2} mathbf {r} _ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}} ight) & = { гидроразрыв {m_ {1} mathbf {u} _ {1} + m_ {2} mathbf {u} _ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}} & = mathbf {V} end { выровнено}}}$

поэтому в начале кадра COM, Р' = 0, Из этого следует

${displaystyle m_ {1} mathbf {u} _ {1} ^ {prime} + m_ {2} mathbf {u} _ {2} ^ {prime} = {oldsymbol {0}}}$

Те же результаты можно получить, применяя сохранение импульса в лабораторной системе отсчета, где импульсы равны п₁ и п₂:

${displaystyle mathbf {V} = {frac {mathbf {p} _ {1} + mathbf {p} _ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}} = {frac {m_ {1} mathbf { u} _ {1} + m_ {2} mathbf {u} _ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}}}$

и в кадре COM, где окончательно утверждается, что полные импульсы частиц, п₁' и п₂', исчезает:

${displaystyle mathbf {p} _ {1} ^ {prime} + mathbf {p} _ {2} ^ {prime} = m_ {1} mathbf {u} _ {1} ^ {prime} + m_ {2} mathbf {u} _ {2} ^ {prime} = {старый символ {0}}}$

Используя уравнение кадра COM для решения V возвращает приведенное выше уравнение лабораторного кадра, демонстрируя, что любой кадр (включая кадр COM) может быть использован для вычисления импульсов частиц. Было установлено, что скорость COM-кадра может быть исключена из вычислений с использованием вышеуказанного кадра, поэтому импульсы частиц в COM-кадре могут быть выражены в терминах величин в лабораторном кадре (т. Е. Заданных начальных значениях ):

${displaystyle {egin {выравнивается} mathbf {p} _ {1} ^ {prime} & = m_ {1} mathbf {u} _ {1} ^ {prime} & = m_ {1} left (mathbf {u} _ {1} -mathbf {V} ight) = {frac {m_ {1} m_ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}} влево (mathbf {u} _ {1} -mathbf {u } _ {2} ight) & = - m_ {2} mathbf {u} _ {2} ^ {prime} = - mathbf {p} _ {2} ^ {prime} end {align}}}$

обратите внимание на относительная скорость в лабораторном кадре частицы с 1 по 2

${displaystyle Delta mathbf {u} = mathbf {u} _ {1} -mathbf {u} _ {2}}$

и 2-х корпусный уменьшенная масса является

${displaystyle mu = {frac {m_ {1} m_ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}}}$

так что импульсы частиц компактно сводятся к

${displaystyle mathbf {p} _ {1} ^ {prime} = - mathbf {p} _ {2} ^ {prime} = mu Delta mathbf {u}}$

Это существенно более простой расчет импульсов обеих частиц; приведенная масса и относительная скорость могут быть вычислены из начальных скоростей в лабораторной системе отсчета и масс, а импульс одной частицы просто отрицателен для другой. Расчет можно повторить для конечных скоростей. v₁ и v₂ вместо начальных скоростей ты₁ и ты₂, поскольку после столкновения скорости все еще удовлетворяют приведенным выше уравнениям:^[3]

${displaystyle {egin {align} {frac {{m {d}} mathbf {R}} {{m {d}} t}} & = {frac {m {d}} {{m {d}} t}) } влево ({frac {m_ {1} mathbf {r} _ {1} + m_ {2} mathbf {r} _ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}} ight) & = { гидроразрыв {m_ {1} mathbf {v} _ {1} + m_ {2} mathbf {v} _ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}} & = mathbf {V} end { выровнено}}}$

поэтому в начале кадра COM, р = 0, это означает, что после столкновения

${displaystyle m_ {1} mathbf {v} _ {1} ^ {prime} + m_ {2} mathbf {v} _ {2} ^ {prime} = {oldsymbol {0}}}$

В лабораторном кадре сохранение импульса полностью гласит:

${displaystyle m_ {1} mathbf {u} _ {1} + m_ {2} mathbf {u} _ {2} = m_ {1} mathbf {v} _ {1} + m_ {2} mathbf {v} _ {2} = (m_ {1} + m_ {2}) mathbf {V}}$

Это уравнение делает нет подразумевают, что

${displaystyle m_ {1} mathbf {u} _ {1} = m_ {1} mathbf {v} _ {1} = m_ {1} mathbf {V}, quad m_ {2} mathbf {u} _ {2} = m_ {2} mathbf {v} _ {2} = m_ {2} mathbf {V}}$

вместо этого он просто указывает общую массу M умноженная на скорость центра масс V это общий импульс п системы:

${displaystyle {egin {align} mathbf {P} & = mathbf {p} _ {1} + mathbf {p} _ {2} & = (m_ {1} + m_ {2}) mathbf {V} & = Mmathbf {V} конец {выровнено}}}$

Анализ, аналогичный приведенному выше, дает

${displaystyle mathbf {p} _ {1} ^ {prime} = - mathbf {p} _ {2} ^ {prime} = mu Delta mathbf {v} = mu Delta mathbf {u}}$

где последний относительная скорость в лабораторном кадре частицы с 1 по 2

${displaystyle Delta mathbf {v} = mathbf {v} _ {1} -mathbf {v} _ {2} = Delta mathbf {u}.}$

Смотрите также

• Система координат лаборатории
• Рама Breit

Рекомендации