Преобразование Галилея - Galilean transformation

В физика, а Преобразование Галилея используется для преобразования между координатами двух системы отсчета которые отличаются только постоянным относительным движением внутри конструкций Ньютоновская физика. Эти преобразования вместе с пространственными вращениями и перемещениями в пространстве и времени образуют неоднородная группа Галилея (предполагается ниже). Без переводов в пространстве и времени группа - это однородная группа Галилея. Галилеевская группа - это группа движений из Галилея относительность воздействуя на четыре измерения пространства и времени, образуя Галилея геометрия. Это пассивное преобразование точка зрения. В специальная теория относительности гомогенные и неоднородные преобразования Галилея заменяются соответственно на Преобразования Лоренца и Преобразования Пуанкаре; наоборот, групповое сокращение в классический предел c → ∞ преобразований Пуанкаре дает преобразования Галилея.

Приведенные ниже уравнения физически действительны только в ньютоновской системе координат и не применимы к системам координат, движущимся относительно друг друга со скоростью, приближающейся к скорость света.

Галилео сформулировал эти концепции в своем описании равномерное движение.^[1]Тема была мотивирована его описанием движения мяч скатывание пандус, по которой он измерил численное значение ускорение из сила тяжести возле поверхности земной шар.

Перевод

Стандартная конфигурация систем координат для преобразований Галилея.

Хотя преобразования названы в честь Галилея, это абсолютное время и пространство как задумано Исаак Ньютон что обеспечивает их область определения. По сути, преобразования Галилея воплощают интуитивное понятие сложения и вычитания скоростей как векторов.

Приведенные ниже обозначения описывают связь при преобразовании Галилея между координатами (Икс, у, z, т) и (Икс′, у′, z′, т′) одного произвольного события, измеренного в двух системах координат S и S ′, при равномерном относительном движении (скорость v) в их общих Икс и Икс′ направления, пространственное происхождение которых совпадает во времени т = т′ = 0:^[2][3][4][5]

${ displaystyle x '= x-vt}$

${ displaystyle y '= y}$

${ displaystyle z '= z}$

${ displaystyle t '= t.}$

Обратите внимание, что последнее уравнение справедливо для всех преобразований Галилея вплоть до добавления константы и выражает предположение о том, что универсальное время не зависит от относительного движения различных наблюдателей.

На языке линейная алгебра, это преобразование считается картирование сдвига, и описывается матрицей, действующей на вектор. При движении параллельно Икс-axis преобразование действует только на два компонента:

${ displaystyle { begin {pmatrix} x ' t' end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} 1 & -v 0 & 1 end {pmatrix}} { begin {pmatrix} x t end {pmatrix}}}$

Хотя матричные представления не являются строго обязательными для преобразования Галилея, они предоставляют средства для прямого сравнения с методами преобразования в специальной теории относительности.

Галилеевы преобразования

Галилеевы симметрии можно однозначно записать как сочинение из вращение, а перевод и равномерное движение пространства-времени.^[6] Позволять Икс представляют собой точку в трехмерном пространстве, и т точка в одномерном времени. Общая точка в пространстве-времени задается упорядоченной парой (Икс, т).

Равномерное движение со скоростью v, дан кем-то

${ displaystyle ( mathbf {x}, t) mapsto ( mathbf {x} + t mathbf {v}, t),}$

куда v ∈ р³. Перевод предоставлен

${ displaystyle ( mathbf {x}, t) mapsto ( mathbf {x} + mathbf {a}, t + s),}$

куда а ∈ р³ и s ∈ р. Вращение дается

${ displaystyle ( mathbf {x}, t) mapsto (G mathbf {x}, t),}$

куда грамм : р³ → р³ является ортогональное преобразование.^[6]

Как Группа Ли, группа преобразований Галилея имеет измерение 10.^[6]

Галилейская группа

Два преобразования Галилея грамм(р, v, а, s) и грамм(Р' , v ' , а ' , s ' ) сочинять чтобы сформировать третье преобразование Галилея,

грамм(Р' , v ' , а ' , s ' ) · грамм(р, v, а, s) = грамм(R 'R, Р' v+v ' , Р' а+а ' +v ' s, s ' +s).

Множество всех преобразований Галилея Галл (3) образует группа с композицией как групповая операция.

Группу иногда представляют как матричную группу с пространство-время События (Икс, т, 1) как векторы, где т реально и Икс ∈ р³ это позиция в пространстве. В действие дан кем-то^[7]

${ displaystyle { begin {pmatrix} R & v & a 0 & 1 & s 0 & 0 & 1 end {pmatrix}} { begin {pmatrix} x t 1 end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} Rx + vt + a t + s 1 end {pmatrix}},}$

куда s реально и v, Икс, а ∈ р³ и р это матрица вращения. Затем композиция преобразований осуществляется через матричное умножение. При обсуждении следует проявлять осторожность, ограничиваясь ли мы связной компонентной группой ортогональных преобразований.

Галл (3) назвал подгруппы. Компонент идентичности обозначается SGal (3).

Позволять м представляют матрицу преобразования с параметрами v, р, s, а:

• ${ Displaystyle {м: R = I_ {3} },}$ анизотропные превращения.
• ${ Displaystyle {м: s = 0 },}$ изохронные преобразования.
• ${ Displaystyle {м: s = 0, v = 0 },}$ пространственные евклидовы преобразования.
• ${ displaystyle G_ {1} = {m: s = 0, a = 0 },}$ равномерно специальные преобразования / однородные преобразования, изоморфные евклидовым преобразованиям.
• ${ Displaystyle G_ {2} = {м: v = 0, R = I_ {3} } cong ( mathbf {R} ^ {4}, +),}$ сдвиги происхождения / трансляции в ньютоновском пространстве-времени.
• ${ Displaystyle G_ {3} = {m: s = 0, a = 0, v = 0 } cong mathrm {SO} (3),}$ вращения (системы отсчета) (см. ТАК (3) ), компактная группа.
• ${ displaystyle G_ {4} = {m: s = 0, a = 0, R = I_ {3} } cong ( mathbf {R} ^ {3}, +),}$ равномерные движения / ускорения кадра.

Параметры s, v, р, а охватить десять измерений. Поскольку преобразования непрерывно зависят от s, v, р, а, Галл (3) это непрерывная группа, также называемая топологической группой.

Структура Галл (3) можно понять реконструкцией по подгруппам. В полупрямой продукт комбинация (${ displaystyle A rtimes B}$) групп требуется.

1. ${ Displaystyle G_ {2} треугольникleft mathrm {SGal} (3)}$ (грамм₂ это нормальная подгруппа )
2. ${ Displaystyle mathrm {SGal} (3) cong G_ {2} rtimes G_ {1}}$
3. ${ Displaystyle G_ {4} треугольник G_ {1}}$
4. ${ Displaystyle G_ {1} cong G_ {4} rtimes G_ {3}}$
5. ${ displaystyle mathrm {SGal} (3) cong mathbf {R} ^ {4} rtimes ( mathbf {R} ^ {3} rtimes mathrm {SO} (3)).}$

Происхождение в групповом сокращении

В Алгебра Ли из Галилейская группа является охватывал к ЧАС, п_я, C_я и L_ij (ан антисимметричный тензор ), при условии коммутационные отношения, куда

${ displaystyle [H, P_ {i}] = 0}$

${ displaystyle [P_ {i}, P_ {j}] = 0}$

${ displaystyle [L_ {ij}, H] = 0}$

${ displaystyle [C_ {i}, C_ {j}] = 0}$

${ displaystyle [L_ {ij}, L_ {kl}] = i [ delta _ {ik} L_ {jl} - delta _ {il} L_ {jk} - delta _ {jk} L_ {il} + delta _ {jl} L_ {ik}]}$

${ displaystyle [L_ {ij}, P_ {k}] = i [ delta _ {ik} P_ {j} - delta _ {jk} P_ {i}]}$

${ displaystyle [L_ {ij}, C_ {k}] = i [ delta _ {ik} C_ {j} - delta _ {jk} C_ {i}]}$

${ displaystyle [C_ {i}, H] = iP_ {i} , !}$

${ displaystyle [C_ {i}, P_ {j}] = 0 ~.}$

ЧАС генератор временных трансляций (Гамильтониан ), п_я генератор переводов (оператор импульса ), C_я является генератором безоборотных преобразований Галилея (галилеевых бустов),^[8] и L_ij обозначает генератор вращения (оператор углового момента ).

Эта алгебра Ли рассматривается как особый классический предел алгебры Группа Пуанкаре, в пределе c → ∞. Технически Галилеевская группа - знаменитая групповое сокращение группы Пуанкаре (которая, в свою очередь, является групповое сокращение группы де Ситтера ТАК (1,4)).^[9]Формально переименовав генераторы импульса и разгона последнего в

п₀ ↦ ЧАС / c

K_я ↦ c ⋅ C_я,

куда c - скорость света (или любая ее неограниченная функция), коммутационные соотношения (структурные константы) в пределе c → ∞ взять на себя отношения бывшего. Определены генераторы временных трансляций и вращений. Также обратите внимание на групповые инварианты L_млн L^млн и п_я п^я.

В матричной форме для d = 3можно рассматривать регулярное представительство (встроенный в GL (5; р), из которого он может быть получен одним групповым сжатием, минуя группу Пуанкаре),

${ displaystyle iH = left ({ begin {array} {ccccc} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 0 end {array}} right), qquad}$${ displaystyle i { vec {a}} cdot { vec {P}} = left ({ begin {array} {ccccc} 0 & 0 & 0 & 0 & a_ {1} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & a_ {2} 0 & 0 & 0 & 0 & a_ {3} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 конец {массив}} right), qquad}$${ displaystyle i { vec {v}} cdot { vec {C}} = left ({ begin {array} {ccccc} 0 & 0 & 0 & v_ {1} & 0 0 & 0 & 0 & v_ {2} & 0 0 & 0 & 0 & v_ {3 } & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 end {array}} right), qquad}$${ displaystyle i theta _ {i} epsilon ^ {ijk} L_ {jk} = left ({ begin {array} {ccccc} 0 & theta _ {3} & - theta _ {2} & 0 & 0 - theta _ {3} & 0 & theta _ {1} & 0 & 0 theta _ {2} & - theta _ {1} & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 end {array}} right) ~.}$

Тогда элемент бесконечно малой группы равен

${ displaystyle G (R, { vec {v}}, { vec {a}}, s) = 1 ! ! 1_ {5} + left ({ begin {array} {ccccc} 0 & theta _ {3} & - theta _ {2} & v_ {1} & a_ {1} - theta _ {3} & 0 & theta _ {1} & v_ {1} & a_ {2} theta _ {2} & - theta _ {1} & 0 & v_ {1} & a_ {3} 0 & 0 & 0 & 0 & s 0 & 0 & 0 & 0 & 0 end {array}} right) + ... ~.}$

Центральное расширение галилеевой группы

Можно считать^[10] а центральное расширение алгебры Ли галилеевой группы, натянутой на ЧАС′, п′_я, C′_я, L′_ij и оператор M: Так называемой Алгебра баргмана получается путем наложения ${ displaystyle [C '_ {i}, P' _ {j}] = iM delta _ {ij}}$, так что M лежит в центр, т.е. ездит на работу со всеми другими операторами.

В полном объеме эта алгебра имеет вид

${ displaystyle [H ', P' _ {i}] = 0 , !}$

${ displaystyle [P '_ {i}, P' _ {j}] = 0 , !}$

${ displaystyle [L '_ {ij}, H'] = 0 , !}$

${ displaystyle [C '_ {i}, C' _ {j}] = 0 , !}$

${ displaystyle [L '_ {ij}, L' _ {kl}] = я [ delta _ {ik} L '_ {jl} - delta _ {il} L' _ {jk} - delta _ {jk} L '_ {il} + delta _ {jl} L' _ {ik}] , !}$

${ displaystyle [L '_ {ij}, P' _ {k}] = я [ delta _ {ik} P '_ {j} - delta _ {jk} P' _ {i}] , !}$

${ displaystyle [L '_ {ij}, C' _ {k}] = я [ delta _ {ik} C '_ {j} - delta _ {jk} C' _ {i}] , !}$

${ displaystyle [C '_ {i}, H'] = iP '_ {i} , !}$

и наконец

${ displaystyle [C '_ {i}, P' _ {j}] = iM delta _ {ij} ~.}$

где новый параметр ${ displaystyle M}$ появляется. Это расширение и проективные представления то, что это позволяет, определяется его групповые когомологии.

Смотрите также

• Галилеевская инвариантность
• Теория представлений галилеевой группы
• Галилей-ковариантная тензорная формулировка
• Группа Пуанкаре
• Группа Лоренца
• Лагранжевы и эйлеровы координаты

Примечания

Рекомендации

• Арнольд, В.И. (1989). Математические методы классической механики (2-е изд.). Springer-Verlag. п.6. ISBN  0-387-96890-3.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Баргманн, В. (1954). «Об унитарных лучевых представлениях непрерывных групп». Анналы математики. 2. 59 (1): 1–46. Дои:10.2307/1969831.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Коперник, Николай; Кеплер, Иоганнес; Галилей, Галилей; Ньютон, Исаак; Эйнштейн, Альберт (2002). Хокинг, Стивен (ред.). На плечах гигантов: великие труды по физике и астрономии. Филадельфия, Лондон: Бегущий пресс. стр.515–520. ISBN  0-7624-1348-4.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Галилей, Галилей (1638I). Discorsi e Dimostrazioni Matematiche, intorno á due nuoue scienze (на итальянском). Лейден: Эльзевир. С. 191–196.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Галилей, Галилей (1638E). Рассуждения и математические демонстрации, относящиеся к двум новым наукам [Discorsi e Dimostrazioni Matematiche Intorno a Due Nuove Scienze]. Переведено на английский язык 1914 г. Генри Крю и Альфонсо де Сальвио.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Гилмор, Роберт (2006). Группы Ли, алгебры Ли и некоторые их приложения. Дуврские книги по математике. Dover Publications. ISBN  0486445291.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Хоффманн, Банеш (1983), Относительность и ее корни, Книги Scientific American, ISBN  0-486-40676-8, Глава 5, с. 83
• Лернер, Лоуренс С. (1996), Физика для ученых и инженеров, 2, Jones and Bertlett Publishers, Inc., ISBN  0-7637-0460-1, Глава 38 §38.2, с. 1046 1047
• Плесень, Ричард А. (2002), Основная теория относительности, Springer-Verlag, ISBN  0-387-95210-1, Глава 2 §2.6, с. 42
• Наджафиха, Мехди; Forough, Ахмад-Реза (2009). "Галилеевская геометрия движений" (PDF). Прикладные науки. С. 91–105.
• Serway, Raymond A .; Джуэтт, Джон В. (2006), Принципы физики: текст, основанный на исчислении (4-е изд.), Brooks / Cole - Thomson Learning, ISBN  0-534-49143-X, Глава 9 §9.1, с. 261