Гиперболическая ортогональность - Hyperbolic orthogonality

Евклидово ортогональность сохраняется поворотом на левой диаграмме; гиперболическая ортогональность относительно гиперболы (B) сохраняется гиперболическое вращение на правой диаграмме

В геометрия, отношение гиперболическая ортогональность между двумя линиями, разделенными асимптотами гипербола это концепция, используемая в специальная теория относительности для определения одновременных событий. Два события будут одновременными, если они находятся на линии, гиперболически ортогональной определенной временной шкале. Эта зависимость на определенной временной шкале определяется скоростью и является основой для относительность одновременности.

Геометрия

Две строки гиперболический ортогональный когда они размышления друг друга по асимптоте заданного гипербола На плоскости часто используются две особые гиперболы:

(А) ху = 1 с у = 0 как асимптота.

При отражении по оси x линия у = mx становится у = −mx.

В этом случае прямые гиперболические ортогональны, если их склоны находятся аддитивное обратное.

(В) Икс² − у² = 1 с у = Икс как асимптота.

Для линий у = mx с −1 < м <1, когда Икс = 1/м, тогда у = 1.

Точка (1 /м , 1) на линии отражается поперек у = Икс к (1, 1 /м).

Следовательно, наклон отраженной линии равен 1 / м, а наклон гиперболических ортогональных линий равен взаимные друг друга.

Отношение гиперболической ортогональности действительно применяется к классам параллельных прямых на плоскости, где любая конкретная линия может представлять класс. Таким образом, для данной гиперболы и асимптоты А, пара строк (а, б) гиперболически ортогональны, если существует пара (c, d) такие, что ${ displaystyle a rVert c, b rVert d}$ , и c это отражение d через А.

Подобно перпендикулярности окружности радиуса к касательная, радиус гиперболы гиперболически ортогонален касательной к гиперболе.^[1]^[2]

А билинейная форма используется для описания ортогональности в аналитической геометрии, когда два элемента ортогональны, когда их билинейная форма равна нулю. В плоскости сложные числа ${ displaystyle z_ {1} = u + iv, quad z_ {2} = x + iy}$ , билинейная форма ${ displaystyle xu + yv}$ , находясь в плоскости гиперболические числа ${ displaystyle w_ {1} = u + jv, quad w_ {2} = x + jy,}$ билинейная форма ${ displaystyle xu-yv.}$

Векторы z₁ и z₂ в плоскости комплексных чисел, и ш₁ и ш₂ в плоскости гиперболических чисел называются соответственно Евклидово ортогональное или же гиперболический ортогональный если их соответствующие внутренние произведения [билинейные формы] равны нулю.^[3]

Билинейная форма может быть вычислена как действительная часть комплексного произведения одного числа на сопряжение другого. потом

{ displaystyle z_ {1} z_ {2} ^ {*} + z_ {1} ^ {*} z_ {2} = 0}

влечет за собой перпендикулярность в комплексной плоскости, а

{ displaystyle w_ {1} w_ {2} ^ {*} + w_ {1} ^ {*} w_ {2} = 0}

подразумевает w 's гиперболически ортогональны.

Понятие гиперболической ортогональности возникло в аналитическая геометрия принимая во внимание сопряженные диаметры эллипсов и гипербол.^[4] если грамм и грамм′ Представляют собой наклоны сопряженных диаметров, тогда ${ displaystyle gg '= - { frac {b ^ {2}} {a ^ {2}}}}$ в случае эллипса и ${ displaystyle gg '= { гидроразрыва {b ^ {2}} {a ^ {2}}}}$ в случае гиперболы. Когда а = б эллипс представляет собой окружность, и сопряженные диаметры перпендикулярны, в то время как гипербола прямоугольная, а сопряженные диаметры гиперболо-ортогональны.

В терминологии проективная геометрия, операция взятия гиперболической ортогональной прямой является инволюция. Предположим, что наклон вертикальной прямой обозначен как ∞, так что все прямые имеют наклон в проективно расширенная действительная линия. Тогда какая бы гипербола (A) или (B) не использовалась, операция является примером гиперболическая инволюция где асимптота инвариантна. Гиперболически ортогональные прямые лежат в разных секторах плоскости, определяемых асимптотами гиперболы, таким образом, отношение гиперболической ортогональности есть гетерогенное отношение на множествах прямых на плоскости.

Одновременность

С Герман Минковски фундамент для пространство-время исследования в 1908 году, концепция точек в плоскости пространства-времени, гиперболо-ортогональных временной шкале (касательной к мировая линия ) был использован для определения одновременность событий относительно временной шкалы. В развитии Минковского используется гипербола типа (B), описанная выше.^[5] Два вектора (Икс₁, у₁, z₁, т₁) и (Икс₂, у₂, z₂, т₂) находятся нормальный (имеется в виду гиперболический ортогональный), когда

{ displaystyle c ^ {2} t_ {1} t_ {2} -x_ {1} x_ {2} -y_ {1} y_ {2} -z_ {1} z_ {2} = 0 .}

Когда c = 1 и упесок zs равны нулю, Икс₁ ≠ 0, т₂ ≠ 0, то ${ displaystyle { frac {c t_ {1}} {x_ {1}}} = { frac {x_ {2}} {c t_ {2}}}}$ .

Дана гипербола с асимптотой А, его отражение в А производит сопряженная гипербола. Любой диаметр исходной гиперболы отражается в сопряженный диаметр. Направления, обозначенные сопряженными диаметрами, взяты за оси пространства и времени в теории относительности. Э. Т. Уиттакер в 1910 г. писал: «[] гипербола остается неизменной, когда любая пара сопряженных диаметров берется за новые оси, а новая единица длины берется пропорциональной длине любого из этих диаметров».^[6] На этом принцип относительности, затем он написал преобразование Лоренца в современной форме, используя быстрота.

Эдвин Бидвелл Уилсон и Гилберт Н. Льюис разработал концепцию в синтетическая геометрия в 1912 году. Они отмечают, что «в нашей плоскости никакая пара перпендикулярных [гиперболо-ортогональных] линий не подходит лучше в качестве координатных осей, чем любая другая пара»^[1]

Гиперболическая ортогональность - Hyperbolic orthogonality

Геометрия

Одновременность

Рекомендации