Каснер метрика - Kasner metric

Часть цикла статей о
Общая теория относительности
${displaystyle G_ {mu u} + Lambda g_ {mu u} = {frac {8pi G} {c ^ {4}}} T_ {mu u}}$
Вступление История Математическая формулировка Тесты
Основные концепции Принцип относительности Теория относительности Точка зрения Инерциальная система отсчета Рама отдыха Рамка центра импульса Световой конус Принцип эквивалентности Эквивалентность массы и энергии Специальная теория относительности Двойная специальная теория относительности инвариант де Ситтера специальная теория относительности Масштаб относительности Мировая линия Подходящее время Риманова геометрия Энергетическое состояние
Явления Гравитоэлектромагнетизм Проблема Кеплера Сила тяжести Гравитационное поле Гравитационный колодец Гравитационное линзирование Гравитационные волны Гравитационное красное смещение Красное смещение Синее смещение Замедление времени Гравитационное замедление времени Задержка Шапиро Гравитационный потенциал Гравитационное сжатие Гравитационный коллапс Перетаскивание рамки Геодезический эффект Видимый горизонт Горизонт событий Гравитационная сингулярность Обнаженная особенность Черная дыра Белая дыра Пространство-время Космос Время Диаграммы пространства-времени Пространство-время Минковского Замкнутая временная кривая (СТС) Червоточина Червоточина Эллиса
Уравнения Формализмы Уравнения Линеаризованная гравитация Уравнения поля Эйнштейна Фридман Геодезические Матиссон – Папапетру – Диксон Гамильтон – Якоби – Эйнштейн Инвариант кривизны (общая теория относительности) Лоренцево многообразие Формализмы ADM БССН Ньюман – Пенроуз Постньютоновский Продвинутая теория Теория Калуцы – Клейна Квантовая гравитация Супергравитация
Решения Шварцшильд (интерьер ) Рейсснер-Нордстрём Гёдель Керр Керр – Ньюман Kasner Лемэтр – Толман Тауб-ОРЕХ Milne Робертсон – Уокер pp-волна van Stockum пыль Вейль – Льюис – Папапетру Вакуумный раствор
Теоремы Теорема Биркгофа Теорема Героха о расщеплении Теорема Гольдберга – Сакса. Теорема Лавлока Теорема об отсутствии волос Теоремы Пенроуза – Хокинга об особенностях Теорема положительной энергии
Ученые Эйнштейн Лоренц Гильберта Пуанкаре Шварцшильд де Ситтер Рейсснер Nordström Weyl Эддингтон Фридман Milne Цвикки Лемэтр Гёдель Уиллер Робертсон Бардин Уокер Керр Чандрасекхар Элерс Пенроуз Хокинг Райчаудхури Тейлор Hulse van Stockum Тауб Новичок Яу Торн другие

Рисунок 1. Динамика каснеровских метрик экв. 2 в сферические координаты к сингулярности. Параметр Лифшица-Халатникова равен ты=2 (1/ты= 0,5) и р координата 2п_α(1/ты) τ, где τ - логарифмическое время: τ = ln т.^[1] Усадка по осям линейная и равномерная (без хаотичности).

В Каснер метрика (разработан и назван в честь американского математика Эдвард Каснер в 1921 г.)^[2] является точное решение к Альберт Эйнштейн теория общая теория относительности. Он описывает анизотропный вселенная без иметь значение (т.е. это вакуумный раствор ). Это можно написать на любом пространство-время измерение ${displaystyle D> 3}$ и имеет прочные связи с изучением гравитационных хаос.

Метрика и условия

В метрика в ${displaystyle D> 3}$ размерность пространства-времени

${displaystyle {ext {d}} s ^ {2} = - {ext {d}} t ^ {2} + sum _ {j = 1} ^ {D-1} t ^ {2p_ {j}} [{ ext {d}} x ^ {j}] ^ {2}}$,

и содержит ${displaystyle D-1}$ константы ${displaystyle p_ {j}}$, называется Показатели Каснера. Метрика описывает пространство-время, равновременные срезы которого являются пространственно плоскими, однако пространство расширяется или сжимается с разной скоростью в разных направлениях, в зависимости от значений ${displaystyle p_ {j}}$. Пробные частицы в этой метрике, сопутствующая координата которых отличается на ${displaystyle Delta x ^ {j}}$ разделены физическим расстоянием ${displaystyle t ^ {p_ {j}} Дельта x ^ {j}}$.

Метрика Казнера является точным решением уравнений Эйнштейна в вакууме, когда показатели Казнера удовлетворяют следующим условиям: Условия Каснера,

${displaystyle sum _ {j = 1} ^ {D-1} p_ {j} = 1,}$

${displaystyle sum _ {j = 1} ^ {D-1} p_ {j} ^ {2} = 1.}$

Первое условие определяет самолет, то Самолет Каснера, а второй описывает сфера, то Сфера Каснера. Решения (выбор ${displaystyle p_ {j}}$), удовлетворяющие двум условиям, таким образом, лежат на сфере, где они пересекаются (иногда также называемая сферой Казнера). В ${displaystyle D}$ пространство-время, поэтому пространство решений лежит на ${displaystyle D-3}$ размерная сфера ${displaystyle S ^ {D-3}}$.

Функции

У решения Kasner есть несколько заметных и необычных особенностей:

• Объем пространственных срезов всегда ${displaystyle O (t)}$. Это потому, что их объем пропорционален ${displaystyle {sqrt {-g}}}$, и

${displaystyle {sqrt {-g}} = t ^ {p_ {1} + p_ {2} + cdots + p_ {D-1}} = t}$

где мы использовали первое условие Казнера. Следовательно ${displaystyle t o 0}$ можно описать либо Большой взрыв или Большой хруст, в зависимости от чувства ${displaystyle t}$

• Изотропный расширение или сжатие пространства не допускается. Если пространственные срезы расширялись изотропно, то все показатели Казнера должны быть равны, и, следовательно, ${displaystyle p_ {j} = 1 / (D-1)}$ чтобы удовлетворить первому условию Казнера. Но тогда второе условие Казнера не может быть выполнено, так как

${displaystyle sum _ {j = 1} ^ {D-1} p_ {j} ^ {2} = {frac {1} {D-1}} eq 1.}$

В Метрика Фридмана – Лемэтра – Робертсона – Уолкера. занят в космология, напротив, может расширяться или сжиматься изотропно из-за присутствия вещества.

• Приложив немного больше усилий, можно показать, что по крайней мере один показатель Казнера всегда отрицателен (если только мы не находимся на одном из решений с одним ${displaystyle p_ {j} = 1}$, а остальные исчезают). Допустим, мы берем координату времени ${displaystyle t}$ увеличивать с нуля. Тогда это означает, что пока объем пространства увеличивается как ${displaystyle t}$, хотя бы одно направление (соответствующее отрицательному показателю Казнера) на самом деле договор.
• Метрика Казнера является решением вакуумных уравнений Эйнштейна, поэтому Тензор Риччи всегда обращается в нуль при любом выборе показателей, удовлетворяющих условиям Казнера. Полный Тензор Римана исчезает только когда один ${displaystyle p_ {j} = 1}$ а остальные исчезают, и в этом случае пространство становится плоским. Метрику Минковского можно восстановить с помощью преобразования координат ${displaystyle t '= tcosh x_ {j}}$ и ${displaystyle x_ {j} '= tsinh x_ {j}}$.

Смотрите также

• Особенность BKL
• Вселенная Mixmaster

Примечания

Рекомендации

• Миснер, Чарльз У .; Кип С. Торн; Джон Арчибальд Уиллер (сентябрь 1973 г.). Гравитация. Сан-Франциско: В. Х. Фриман. ISBN  0-7167-0344-0.