Сферическая система координат - Spherical coordinate system

Сферические координаты (р, θ, φ) как обычно используется в физика (ISO 80000-2:2019 условное обозначение): радиальное расстояние р (расстояние до начала координат), полярный угол θ (тета ) (угол относительно полярной оси) и азимутальный угол φ (фи ) (угол поворота от плоскости начального меридиана). Символ ρ (ро ) часто используется вместо р.

Сферические координаты (р, θ, φ) как часто используется в математика: радиальное расстояние р, азимутальный угол θ, и полярный угол φ. Значения θ и φ были заменены по сравнению с соглашением по физике. Как и в физике, ρ (ро ) часто используется вместо р, чтобы избежать путаницы со значением р в цилиндрических и 2D полярных координатах.

Глобус, показывающий радиальное расстояние, полярный угол и азимутальный угол точки п по отношению к единичная сфера, в математическом соглашении. На этом изображении р равно 4/6, θ равно 90 °, а φ равно 30 °.

В математика, а сферическая система координат это система координат за трехмерное пространство где положение точки определяется тремя числами: радиальное расстояние этой точки из фиксированного начала, ее полярный угол измеряется от фиксированного зенит направление, и азимутальный угол своего ортогональная проекция на опорной плоскости, проходящей через начало координат и ортогональной к зениту, измеренная от фиксированного опорного направления на этой плоскости. Его можно рассматривать как трехмерную версию полярная система координат.

Радиальное расстояние также называют радиус или же радиальная координата. Полярный угол можно назвать холодность, зенитный угол, нормальный угол, или же угол наклона.

Использование символов и порядок координат различаются в зависимости от источников и дисциплин. В этой статье будет использоваться соглашение ISO^[1] в физике часто встречаются: ${displaystyle (r, heta, varphi)}$ дает радиальное расстояние, полярный угол и азимутальный угол. Во многих книгах по математике ${displaystyle (ho, heta, varphi)}$ или же ${displaystyle (r, heta, varphi)}$ дает радиальное расстояние, азимутальный угол и полярный угол, переключая значения θ и φ. Также используются другие условные обозначения, например р для радиуса от z-оси, поэтому нужно очень внимательно проверять значение символов.

Согласно соглашениям географические системы координат, позиции измеряются по широте, долготе и высоте (высоте). Есть ряд системы небесных координат на основе различных фундаментальные плоскости и с разными условиями для разных координат. В сферических системах координат, используемых в математике, обычно используются радианы скорее, чем градусы и измерьте азимутальный угол против часовой стрелки от Икс- ось к упо оси, а не по часовой стрелке с севера (0 °) на восток (+ 90 °), как горизонтальная система координат.^[2] Полярный угол часто заменяют на угол возвышения измеряется от базовой плоскости так, чтобы нулевой угол возвышения находился на горизонте.

Сферическая система координат обобщает двумерную полярную систему координат. Его также можно распространить на многомерные пространства, и тогда его называют гиперсферическая система координат.

Определение

Чтобы определить сферическую систему координат, нужно выбрать два ортогональных направления: зенит и опорный азимут, и источник точка в пространстве. Эти варианты определяют базовую плоскость, которая содержит начало координат и перпендикулярна зениту. Сферические координаты точки п затем определяются следующим образом:

• В радиус или же радиальное расстояние это Евклидово расстояние от происхождения О к п.
• В склонность (или же полярный угол) - угол между зенитным направлением и отрезком прямой OP.
• В азимут (или же азимутальный угол) Является подписанным углом, отсчитываемый от опорного азимута направления к ортогональной проекции отрезки OP на плоскости отсчета.

Знак азимута определяется выбором того, что является положительный чувство поворота в зените. Этот выбор является произвольным и является частью определения системы координат.

В высота угол 90 градусов (π/2 радианы) минус угол наклона.

Если наклон равен нулю или 180 градусов (π радианы) азимут произвольный. Если радиус равен нулю, азимут и наклон являются произвольными.

В линейная алгебра, то вектор от происхождения О к точке п часто называют вектор положения из п.

Конвенции

Существует несколько различных соглашений для представления трех координат и порядка, в котором они должны быть записаны. Использование ${displaystyle (r, heta, varphi)}$ для обозначения радиального расстояния, наклона (или возвышения) и азимута, соответственно, является обычной практикой в ​​физике и определяется ISO стандарт 80000-2:2019, и ранее в ISO 31-11 (1992).

Однако некоторые авторы (в том числе математики) используют ρ для радиального расстояния, φ для наклона (или возвышения) и θ для азимута, и р для радиуса от z-ось, которая «обеспечивает логическое расширение обычного обозначения полярных координат».^[3] Некоторые авторы могут также указать азимут перед наклоном (или возвышением). Некоторые комбинации этих вариантов приводят к левша система координат. Стандартное соглашение ${displaystyle (r, heta, varphi)}$ противоречит обычным обозначениям для двумерных полярные координаты и трехмерный цилиндрические координаты, куда θ часто используется для азимута.^[3]

Углы обычно измеряются в градусы (°) или радианы (рад), где 360 ° = 2π рад. Степени чаще всего используются в географии, астрономии и инженерии, тогда как радианы обычно используются в математике и теоретической физике. Единица измерения радиального расстояния обычно определяется контекстом.

Когда система используются для физического трехмерного пространства, принято использовать положительный знак для азимутальных углов, которые измеряются в том смысле, против часовой стрелки от опорного направления на опорной плоскости, как видно из зенитной стороны плоскости. Это соглашение используется, в частности, для географических координат, где направление «зенит» север и положительные углы азимута (долготы) измеряются к востоку от некоторых нулевой меридиан.

Основные соглашения

координаты	соответствующие местные географические направления (Z, Икс, Y)	правый / левый
(р, θinc, φаз, право)	(U, S, E)	верно
(р, φаз, право, θэль)	(U, E, N)	верно
(р, θэль, φаз, право)	(U, N, E)	оставили

Примечание: восток (E), северное (N), восходящий (U). Местный азимут угол будет измеряться, например, против часовой стрелки из S к E в случае (U, S, E).

Уникальные координаты

Любая сферическая координатная тройка ${displaystyle (r, heta, varphi)}$ указывает единственную точку трехмерного пространства. С другой стороны, каждая точка имеет бесконечно много эквивалентных сферических координат. Можно добавить или вычесть любое количество полных оборотов к любой угловой мере без изменения самих углов и, следовательно, без изменения точки. Во многих случаях также удобно разрешать отрицательные радиальные расстояния с условием, что ${displaystyle (-r, heta, varphi)}$ эквивалентно ${displaystyle (r, heta, varphi)}$ для любого р, θ, и φ. Более того, ${displaystyle (r, - heta, varphi)}$ эквивалентно ${displaystyle (r, heta, varphi {+} 180 ^ {circ})}$.

Если необходимо определить уникальный набор сферических координат для каждой точки, необходимо ограничить их диапазоны. Обычный выбор

р ≥ 0,

0° ≤ θ ≤ 180 ° (π рад),

0° ≤ φ <360 ° (2π рад).

Однако азимут φ часто ограничивается интервал (−180°, +180°], или же (−π, +π] в радианах вместо [0, 360°). Это стандартное обозначение географической долготы.

Диапазон [0°, 180°] для наклона эквивалентно [−90°, +90°] для высоты (широты).

Даже с этими ограничениями, если θ 0 ° или 180 ° (угол места 90 ° или -90 °), тогда азимутальный угол произвольный; и если р равен нулю, азимут и угол наклона / возвышения являются произвольными. Чтобы сделать координаты уникальными, можно использовать соглашение, согласно которому в этих случаях произвольные координаты равны нулю.

Сюжет

Чтобы построить точку по ее сферическим координатам (р, θ, φ), куда θ наклон, двигаться р единиц от начала координат в направлении зенита, повернуть на θ о происхождении в направлении азимутального опорного направления, и поворачивается на φ о зенит в правильном направлении.

Приложения

В географическая система координат использует азимут и высоту сферической системы координат для обозначения местоположений на Земле, называя их соответственно долгота и широта. Так же, как двумерный Декартова система координат полезна на плоскости, двумерная сферическая система координат полезна на поверхности сферы. В этой системе сфера считается единичной сферой, поэтому радиус равен единице и, как правило, им можно пренебречь. Это упрощение также может быть очень полезно при работе с такими объектами, как вращательные матрицы.

Сферические координаты полезны при анализе систем, обладающих некоторой степенью симметрии относительно точки, таких как объемные интегралы внутри сферы - поле потенциальной энергии, окружающее концентрированную массу или заряд, или глобальное моделирование погоды в атмосфере планеты. Сфера, имеющая декартово уравнение Икс² + у² + z² = c² имеет простое уравнение р = c в сферических координатах.

Два важных уравнения в частных производных которые возникают во многих физических проблемах, Уравнение Лапласа и Уравнение Гельмгольца, позвольте разделение переменных в сферических координатах. Угловые части решений таких уравнений имеют вид сферические гармоники.

Еще одно применение - эргономичный дизайн, где р это длина руки неподвижного человека, а углы описывают направление руки, когда она протягивается.

Выходной образец промышленного громкоговоритель показаны с использованием сферических полярных графиков, снятых на шести частотах

Трехмерное моделирование громкоговоритель шаблоны вывода можно использовать для прогнозирования их производительности. Требуется ряд полярных диаграмм, снятых с широким выбором частот, поскольку диаграмма сильно меняется с частотой. Полярные графики помогают показать, что многие громкоговорители имеют тенденцию к всенаправленности на более низких частотах.

Сферическая система координат также широко используется в 3D. разработка игр вращать камеру вокруг позиции игрока^{[нужна цитата ]}.

В географии

В первом приближении географическая система координат использует угол места (широту) в градусах к северу от экватор самолет, в диапазоне −90° ≤ φ ≤ 90°, а не склонность. Широта либо геоцентрическая широта, измеренный в центре Земли и обозначенный по-разному ψ, q, φ′, φ_c, φ_грамм или же геодезическая широта, измеряется местной вертикалью наблюдателя и обычно обозначается φ. Азимутальный угол (долгота), обычно обозначаемый λ, измеряется в градусах к востоку или западу от некоторой условной ссылки. меридиан (чаще всего Контрольный меридиан IERS ), поэтому его домен −180° ≤ λ ≤ 180°. Для позиций на земной шар или другое твердое вещество небесное тело плоскостью отсчета обычно считается плоскость, перпендикулярная плоскости ось вращения.

Полярный угол, который составляет 90 ° минус широта и колеблется от 0 до 180 °, называется холодность по географии.

Вместо радиального расстояния географы обычно используют высота над или под некоторой контрольной поверхностью, которая может быть уровень моря или «средний» уровень поверхности для планет без жидких океанов. Радиальное расстояние р может быть вычислено с высоты, добавив средний радиус опорной поверхности планеты, что составляет примерно 6360 ± 11 км (3952 ± 7 миль) для Земли.

Однако современные географические системы координат довольно сложны, и положения, подразумеваемые этими простыми формулами, могут быть ошибочными на несколько километров. Точные стандартные значения широты, долготы и высоты в настоящее время определяются Мировая геодезическая система (WGS), а также принять во внимание уплощение Земли на полюсах (около 21 км или 13 миль) и многие другие детали.

В астрономии

В астрономии существует ряд сферические системы координат которые измеряют угол места с разных фундаментальные плоскости. Эти эталонные плоскости являются горизонт, то небесный экватор (определяется вращением Земли), плоскость эклиптика (определяется орбитой Земли вокруг солнце ), плоскость терминатора заземления (нормальная к мгновенному направлению к солнце ), а галактический экватор (определяется вращением Млечный Путь ).

Преобразования системы координат

Поскольку сферическая система координат является лишь одной из многих трехмерных систем координат, существуют уравнения для преобразования координат между сферической системой координат и другими.

Декартовы координаты

Сферические координаты точки в соответствии с соглашением ISO (т.е. для физики: радиус р, склонность θ, азимут φ) можно получить из его Декартовы координаты (Икс, у, z) по формулам

${displaystyle {egin {выровнено} r & = {sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}}, varphi & = operatorname {atan2} (y, x), heta & = arccos {frac {z} {sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}}} = arccos {frac {z} {r}} = arctan {frac {sqrt {x ^ { 2} + y ^ {2}}} {z}}. Конец {выровнено}}}$

В обратная тангенс обозначен в φ = arctan у/Икс должны быть надлежащим образом определены с учетом правильного квадранта (Икс, у). См. Статью о atan2.

В качестве альтернативы преобразование можно рассматривать как два последовательных преобразование прямоугольной формы в полярную: первый в картезианском ху самолет из (Икс, у) к (р, φ), куда р это проекция р на ху-самолет, а второй в декартовом zR-самолет из (z, р) к (р, θ). Правильные квадранты для φ и θ подразумеваются правильностью преобразования плоского прямоугольного в полярное.

Эти формулы предполагают, что две системы имеют одно и то же происхождение, а сферическая плоскость отсчета является декартовой. ху самолет, что θ склонность от z направлении, и что азимутальные углы отсчитываются от декартовой Икс ось (так что у ось имеет φ = +90°). Если θ измеряет высоту от базовой плоскости вместо наклона от зенита, arccos выше становится arcsin, а потому что θ и грех θ ниже становятся переключенными.

И наоборот, декартовы координаты могут быть получены из сферических координат (радиус р, склонность θ, азимут φ), куда р ∈ [0, ∞), θ ∈ [0, π], φ ∈ [0, 2π), к

${displaystyle {egin {выравнивается} x & = rsin heta, cos varphi, y & = rsin heta, sin varphi, z & = rcos heta .end {выравнивается}}}$

Цилиндрические координаты

Цилиндрические координаты (осевой радиус ρ, азимут φ, высота z) можно преобразовать в сферические координаты (центральный радиус р, склонность θ, азимут φ) по формулам

${displaystyle {egin {выравнивается} r & = {sqrt {ho ^ {2} + z ^ {2}}}, heta & = arctan {frac {ho} {z}} = arccos {frac {z} {sqrt { ho ^ {2} + z ^ {2}}}}, varphi & = varphi .end {выровнено}}}$

И наоборот, сферические координаты могут быть преобразованы в цилиндрические координаты по формулам

${displaystyle {egin {выравнивается} ho & = rsin heta, varphi & = varphi, z & = rcos heta .end {выравнивается}}}$

Эти формулы предполагают, что две системы имеют одинаковую исходную точку и одну и ту же опорную плоскость, измерьте азимутальный угол. φ в том же смысле от той же оси, и что сферический угол θ наклон от цилиндрической z ось.

Модифицированные сферические координаты

Также возможно работать с эллипсоидами в декартовых координатах, используя модифицированную версию сферических координат.

Пусть P - эллипсоид, заданный набором уровней

${displaystyle ax ^ {2} + by ^ {2} + cz ^ {2} = d.}$

Модифицированные сферические координаты точки в P в соответствии с соглашением ISO (т.е. для физики: радиус р, склонность θ, азимут φ) можно получить из его Декартовы координаты (Икс, у, z) по формулам

${displaystyle {egin {выравнивание} x & = {frac {1} {sqrt {a}}} rsin heta, cos varphi, y & = {frac {1} {sqrt {b}}} rsin heta, sin varphi, z & = {frac {1} {sqrt {c}}} rcos heta, r ^ {2} & = ax ^ {2} + by ^ {2} + cz ^ {2} .end {выровнено}}}$

Бесконечно малый элемент объема задается формулой

${displaystyle mathrm {d} V = left | {frac {partial (x, y, z)} {partial (r, heta, varphi)}} ight |, dr, d heta, dvarphi = {frac {1} {sqrt {abc}}} r ^ {2} sin heta, mathrm {d} r, mathrm {d} heta, mathrm {d} varphi = {frac {1} {sqrt {abc}}} r ^ {2}, mathrm {d} r, mathrm {d} Омега.}$

Коэффициент квадратного корня получается из свойства детерминант что позволяет извлечь константу из столбца:

${displaystyle {egin {vmatrix} ka & b & c kd & e & f kg & h & iend {vmatrix}} = k {egin {vmatrix} a & b & c d & e & f g & h & iend {vmatrix}}.}$

Интегрирование и дифференцирование в сферических координатах

Единичные векторы в сферических координатах

Следующие уравнения (Iyanaga 1977) предполагают, что ширина θ это наклон от z (полярная) ось (неоднозначно, поскольку Икс, у, и z взаимно нормальны), как в обсуждаемом соглашении по физике.

В линейный элемент для бесконечно малого смещения от (р, θ, φ) к (р + dр, θ + dθ, φ + dφ) является

${displaystyle mathrm {d} mathbf {r} = mathrm {d} r, {hat {mathbf {r}}} + r, mathrm {d} heta, {hat {oldsymbol {heta}}} + rsin {heta}, mathrm {d} varphi, mathbf {hat {oldsymbol {varphi}}},}$

куда

${displaystyle {egin {align} {hat {mathbf {r}}} & = sin heta cos varphi, {hat {mathbf {x}}} + sin heta sin varphi, {hat {mathbf {y}}} + cos heta , {hat {mathbf {z}}}, {hat {oldsymbol {heta}}} & = cos heta cos varphi, {hat {mathbf {x}}} + cos heta sin varphi, {hat {mathbf {y} }} - sin heta, {hat {mathbf {z}}}, {hat {oldsymbol {varphi}}} & = - sin varphi, {hat {mathbf {x}}} + cos varphi, {hat {mathbf { y}}} конец {выровнено}}}$

являются локальными ортогональными единичные векторы в направлениях увеличения р, θ, и φсоответственно и Икс, ŷ, и ẑ - единичные векторы в декартовых координатах. Линейное преобразование в эту правую координатную тройку есть матрица вращения,

${displaystyle R = {egin {pmatrix} sin heta cos varphi & sin heta sin varphi & cos heta cos heta cos varphi & cos heta sin varphi & -sin heta -sin varphi & cos varphi & 0end {pmatrix}}}.$

Общий вид формулы для доказательства дифференциального линейного элемента:^[4]

${displaystyle mathrm {d} mathbf {r} = sum _ {i} {frac {partial mathbf {r}} {partial x_ {i}}}, mathrm {d} x_ {i} = sum _ {i} left | {frac {partial mathbf {r}} {partial x_ {i}}} ight | {frac {frac {partial mathbf {r}} {partial x_ {i}}} {left | {frac {partial mathbf {r}} {partial x_ {i}}} ight |}}, mathrm {d} x_ {i} = sum _ {i} left | {frac {partial mathbf {r}} {partial x_ {i}}} ight |, mathrm {d} x_ {i} {hat {oldsymbol {x}}} _ {i},}$

то есть изменение ${displaystyle mathbf {r}}$ раскладывается на отдельные изменения, соответствующие изменениям отдельных координат.

Чтобы применить это к настоящему делу, необходимо вычислить, как ${displaystyle mathbf {r}}$ меняется с каждой из координат. В используемых соглашениях

${displaystyle mathbf {r} = {egin {bmatrix} rsin heta, cos varphi rsin heta, sin varphi rcos heta end {bmatrix}}.}$

Таким образом,

${displaystyle {frac {partial mathbf {r}} {partial r}} = {egin {bmatrix} sin heta, cos varphi sin heta, sin varphi cos heta end {bmatrix}}, quad {frac {partial mathbf {r }} {partial heta}} = {egin {bmatrix} rcos heta, cos varphi rcos heta, sin varphi -rsin heta end {bmatrix}}, quad {frac {partial mathbf {r}} {partial varphi}} = {egin {bmatrix} -rsin heta, sin varphi rsin heta, cos varphi 0end {bmatrix}}.}$

Искомые коэффициенты - это величины этих векторов:^[4]

${displaystyle left | {frac {partial mathbf {r}} {partial r}} ight | = 1, quad left | {frac {partial mathbf {r}} {partial heta}} ight | = r, quad left | {frac {partial mathbf {r}} {partial varphi}} ight | = rsin heta.}$

В элемент поверхности начиная с θ к θ + dθ и φ к φ + dφ на сферической поверхности с (постоянным) радиусом р затем

${displaystyle mathrm {d} S_ {r} = left | {frac {partial r {hat {mathbf {r}}}} {partial heta}} imes {frac {partial r {hat {mathbf {r}}}} { частичная varphi}} ight | mathrm {d} heta, mathrm {d} varphi = r ^ {2} sin heta, mathrm {d} heta, mathrm {d} varphi ~.}$

Таким образом, дифференциал телесный угол является

${displaystyle mathrm {d} Omega = {frac {mathrm {d} S_ {r}} {r ^ {2}}} = sin heta, mathrm {d} heta, mathrm {d} varphi.}$

Элемент поверхности в поверхности полярного угла θ константа (конус с вершиной в начале координат) равна

${displaystyle mathrm {d} S_ {heta} = rsin heta, mathrm {d} varphi, mathrm {d} r.}$

Элемент поверхности на азимутальной поверхности φ постоянная (вертикальная полуплоскость) равна

${displaystyle mathrm {d} S_ {varphi} = r, mathrm {d} r, mathrm {d} heta.}$

В элемент объема начиная с р к р + dр, θ к θ + dθ, и φ к φ + dφ определяется детерминант из Матрица якобиана из частные производные,

${displaystyle J = {frac {partial (x, y, z)} {partial (r, heta, varphi)}} = {egin {pmatrix} sin heta cos varphi & rcos heta cos varphi & -rsin heta sin varphi sin heta sin varphi & rcos heta sin varphi & rsin heta cos varphi cos heta & -rsin heta & 0end {pmatrix}},}$

а именно

${displaystyle mathrm {d} V = left | {frac {partial (x, y, z)} {partial (r, heta, varphi)}} ight | = r ^ {2} sin heta, mathrm {d} r, mathrm {d} heta, mathrm {d} varphi = r ^ {2}, mathrm {d} r, mathrm {d} Omega ~.}$

Так, например, функция ж(р, θ, φ) можно интегрировать по каждой точке в ℝ³ посредством тройной интеграл

${displaystyle int limits _ {0} ^ {2pi} int limits _ {0} ^ {pi} int limits _ {0} ^ {infty} f (r, heta, varphi) r ^ {2} sin heta, mathrm { d} r, mathrm {d} heta, mathrm {d} varphi ~.}$

В дель оператор в этой системе приводит к следующим выражениям для градиент, расхождение, завиток и Лапласиан,

${displaystyle {egin {выровнено} abla f = {} & {частичное f вместо частичного r} {hat {mathbf {r}}} + {1 over r} {частичное f вместо частичного heta} {hat {oldsymbol {heta}} } + {1 вместо rsin heta} {частичное f вместо частичного varphi} {hat {oldsymbol {varphi}}}, [8pt] abla cdot mathbf {A} = {} & {frac {1} {r ^ {2} }} {частичное более частичное r} левое (r ^ {2} A_ {r} ight) + {frac {1} {rsin heta}} {частичное или частичное heta} левое (sin heta A_ {heta} ight) + { frac {1} {rsin heta}} {частичный A_ {varphi} над частичным varphi}, [8pt] abla imes mathbf {A} = {} & {frac {1} {rsin heta}} влево ({частичный over частичный heta} left (A_ {varphi} sin heta ight) - {частичное A_ {heta} над частичным varphi} ight) {hat {mathbf {r}}} [8pt] & {} + {frac {1} {r} } left ({1 над sin heta} {частичное A_ {r} над частичным varphi} - {частичное над частичным r} left (rA_ {varphi} ight) ight) {hat {oldsymbol {heta}}} [8pt] & {} + {frac {1} {r}} left ({partial over partial r} left (rA_ {heta} ight) - {partial A_ {r} over частичный heta} ight) {hat {oldsymbol {varphi}}} , [8pt] abla ^ {2} f = {} & {1 больше r ^ {2}} {частичное вместо частичного r} слева (r ^ {2} {частичное f над частичным r} ight) + {1 над частичным r ^ {2} sin heta} {частичное над частичным heta} слева (sin heta {частичное f вместо частичного heta} ight) + {1 вместо r ^ {2} sin ^ {2} heta} {частичное ^ {2} f над частичным varphi ^ {2}} [8pt] = {} & left ({ frac {partial ^ {2}} {partial r ^ {2}}} + {frac {2} {r}} {frac {partial} {partial r}} ight) f + {1 over r ^ {2} sin heta } {частичная или частичная гета} left (sin heta {frac {partial} {partial heta}} ight) f + {frac {1} {r ^ {2} sin ^ {2} heta}} {frac {partial ^ {2 }} {частичная переменная ^ {2}}} f ~ .end {выровнено}}}$

Далее, обратный якобиан в декартовых координатах имеет вид

${displaystyle J ^ {- 1} = {egin {pmatrix} {frac {x} {r}} & {frac {y} {r}} & {frac {z} {r}} {frac {xz} {r ^ {2} {sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}}} & {frac {yz} {r ^ {2} {sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}) }}}} & {frac {- (x ^ {2} + y ^ {2})} {r ^ {2} {sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}}} { frac {-y} {x ^ {2} + y ^ {2}}} & {frac {x} {x ^ {2} + y ^ {2}}} & 0end {pmatrix}}.}$

В метрический тензор в сферической системе координат ${displaystyle g = J ^ {T} J}$.

Расстояние в сферических координатах

В сферических координатах заданы две точки с φ азимутальная координата

${displaystyle {egin {выровнен} {mathbf {r}} & = (r, heta, varphi), {mathbf {r} '} & = (r', heta ', varphi') конец {выровнен}}}$

Расстояние между двумя точками можно выразить как

${displaystyle {egin {align} {mathbf {D}} & = {sqrt {r ^ {2} + r '^ {2} -2rr' (sin {heta} sin {heta '} cos {(varphi -varphi' )} + cos {heta} cos {heta '})}} конец {выровнено}}}$

Кинематика

В сферических координатах положение точки записывается как

${displaystyle mathbf {r} = rmathbf {hat {r}}.}$

Его скорость тогда

${displaystyle mathbf {v} = {dot {r}} mathbf {hat {r}} + r, {dot {heta}}, {hat {oldsymbol {heta}}} + r, {dot {varphi}} sin heta , mathbf {шляпа {oldsymbol {varphi}}},}$

и его ускорение

${displaystyle {egin {align} mathbf {a} = {} & left ({ddot {r}} - r, {dot {heta}} ^ {2} -r, {dot {varphi}} ^ {2} sin ^ {2} heta ight) mathbf {hat {r}} & {} + left (r, {ddot {heta}} + 2 {dot {r}}, {dot {heta}} - r, {dot {varphi) }} ^ {2} sin heta cos heta ight) {hat {oldsymbol {heta}}} & {} + left (r {ddot {varphi}}, sin heta +2 {точка {r}}, {точка { varphi}}, sin heta + 2r, {точка {heta}}, {точка {varphi}}, cos heta ight) {hat {oldsymbol {varphi}}}. конец {выровнено}}}$

В угловой момент является

${displaystyle mathbf {L} = mmathbf {r} imes mathbf {v} = mr ^ {2} ({точка {heta}}, {hat {oldsymbol {varphi}}} - {dot {varphi}} sin heta, mathbf {hat {oldsymbol {heta}}}).}$

В случае постоянного φ или иначе θ = π/2, это сводится к векторное исчисление в полярных координатах.

Соответствующие оператор углового момента является

${displaystyle mathbf {L} = -ihbar ~ mathbf {r} imes abla = ihbar left ({frac {hat {oldsymbol {heta}}} {sin (heta)}} {frac {partial} {partial phi}} - { hat {oldsymbol {phi}}} {frac {partial} {partial heta}} ight).}$

Смотрите также

Примечания

Библиография

• Иянага, Сёкичи; Кавада, Юкиёси (1977). Энциклопедический математический словарь. MIT Press. ISBN  978-0262090162.
• Морс ПМ, Фешбах H (1953). Методы теоретической физики, часть I. Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. п. 658. ISBN  0-07-043316-X. LCCN  52011515.
• Margenau H, Мерфи GM (1956). Математика физики и химии. Нью-Йорк: Д. ван Ностранд. стр.177–178. LCCN  55010911.
• Корн Г.А., Корн Т.М. (1961). Математический справочник для ученых и инженеров. Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. С. 174–175. LCCN  59014456. ASIN B0000CKZX7.
• Зауэр Р., Сабо I (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. Нью-Йорк: Springer Verlag. С. 95–96. LCCN  67025285.
• Мун П., Спенсер Д.Е. (1988). «Сферические координаты (r, θ, ψ)». Справочник по теории поля, включая системы координат, дифференциальные уравнения и их решения (исправленное 2-е изд., 3-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. 24–27 (Таблица 1.05). ISBN  978-0-387-18430-2.
• Даффет-Смит П., Цварт Дж. (2011). Практическая астрономия с вашим калькулятором или таблицей, 4-е издание. Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. п. 34. ISBN  978-0521146548.

внешняя ссылка

• «Сферические координаты», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• MathWorld описание сферических координат
• Конвертер координат - конвертирует полярные, декартовы и сферические координаты