Бисферические координаты - Википедия - Bispherical coordinates

Иллюстрация бисферических координат, которые получаются вращением двумерного биполярная система координат вокруг оси, соединяющей два его очага. Очаги расположены на расстоянии 1 от вертикали. z-ось. Красный самопересекающийся тор - это изоповерхность σ = 45 °, синяя сфера - это изоповерхность τ = 0,5, а желтая полуплоскость - изоповерхность φ = 60 °. Зеленая полуплоскость отмечает Икс-z плоскость, от которой отсчитывается φ. Черная точка расположена на пересечении красной, синей и желтой изоповерхностей с декартовыми координатами примерно (0,841, -1,456, 1,239).

Бисферические координаты являются трехмерными ортогональный система координат который возникает в результате вращения двумерного биполярная система координат вокруг оси, соединяющей два очага. Таким образом, два фокусы ${ displaystyle F_ {1}}$ и ${ displaystyle F_ {2}}$ в биполярные координаты остаются точки (на ${ displaystyle z}$-axis, ось вращения) в бисферической системе координат.

Определение

Наиболее распространенное определение бисферических координат ${ Displaystyle ( сигма, тау, фи)}$ является

${ Displaystyle х = а { гидроразрыва { грех сигма} { сш тау - соз сигма}} соз фи}$

${ Displaystyle у = а { гидроразрыва { грех сигма} { сш тау - соз сигма}} грех фи}$

${ Displaystyle г = а { гидроразрыва { зп тау} { ш тау - соз сигма}}}$

где ${ displaystyle sigma}$ координата точки ${ displaystyle P}$ равен углу ${ displaystyle F_ {1} PF_ {2}}$ и ${ Displaystyle тау}$ координата равна натуральный логарифм отношения расстояний ${ displaystyle d_ {1}}$ и ${ displaystyle d_ {2}}$ в фокусы

${ displaystyle tau = ln { frac {d_ {1}} {d_ {2}}}}$

Координатные поверхности

Поверхности постоянного ${ displaystyle sigma}$ соответствуют пересекающимся торам разных радиусов

${ displaystyle z ^ {2} + left ({ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} - a cot sigma right) ^ {2} = { frac {a ^ { 2}} { sin ^ {2} sigma}}}$

все они проходят через фокусы, но не концентрически. Поверхности постоянного ${ Displaystyle тау}$ являются непересекающимися сферами разного радиуса

${ displaystyle left (x ^ {2} + y ^ {2} right) + left (za coth tau right) ^ {2} = { frac {a ^ {2}} { sinh ^ {2} tau}}}$

которые окружают фокусы. Центры постоянных-${ Displaystyle тау}$ сферы лежат вдоль ${ displaystyle z}$-ось, тогда как постоянная-${ displaystyle sigma}$ торы центрированы в ${ displaystyle xy}$ самолет.

Обратные формулы

Формулы обратного преобразования:

${ displaystyle sigma = arccos left ({ dfrac {R ^ {2} -a ^ {2}} {Q}} right)}$

${ displaystyle tau = operatorname {arsinh} left ({ dfrac {2az} {Q}} right)}$

${ displaystyle phi = operatorname {atan} left ({ dfrac {y} {x}} right)}$

куда ${ displaystyle R = { sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}}}$ и ${ displaystyle Q = { sqrt {(R ^ {2} + a ^ {2}) ^ {2} - (2az) ^ {2}}}.}$

Коэффициенты масштабирования

Масштабные коэффициенты для бисферических координат ${ displaystyle sigma}$ и ${ Displaystyle тау}$ равны

${ displaystyle h _ { sigma} = h _ { tau} = { frac {a} { cosh tau - cos sigma}}}$

тогда как коэффициент азимутального масштаба равен

${ displaystyle h _ { phi} = { frac {a sin sigma} { cosh tau - cos sigma}}}$

Таким образом, бесконечно малый элемент объема равен

${ displaystyle dV = { frac {a ^ {3} sin sigma} { left ( cosh tau - cos sigma right) ^ {3}}} , d sigma , d тау , д фи}$

а лапласиан равен

${ Displaystyle { begin {align} nabla ^ {2} Phi = { frac { left ( cosh tau - cos sigma right) ^ {3}} {a ^ {2} sin sigma}} & left [{ frac { partial} { partial sigma}} left ({ frac { sin sigma} { cosh tau - cos sigma}} { frac { partial Phi} { partial sigma}} right) right. [8pt] & {} quad + left. sin sigma { frac { partial} { partial tau}} left ({ frac {1} { cosh tau - cos sigma}} { frac { partial Phi} { partial tau}} right) + { frac {1} { sin sigma left ( cosh tau - cos sigma right)}} { frac { partial ^ {2} Phi} { partial phi ^ {2}}} right] end {выровнено }}}$

Другие дифференциальные операторы, такие как ${ Displaystyle набла cdot mathbf {F}}$ и ${ Displaystyle набла раз mathbf {F}}$ можно выразить в координатах ${ Displaystyle ( сигма, тау)}$ подставив масштабные коэффициенты в общие формулы, найденные в ортогональные координаты.

Приложения

Классические приложения бисферических координат заключаются в решении уравнения в частных производных, например, Уравнение Лапласа, для которых бисферические координаты позволяют разделение переменных. Тем не менее Уравнение Гельмгольца не разделима в бисферических координатах. Типичным примером может служить электрическое поле окружающие две проводящие сферы разного радиуса.

Рекомендации

Этот раздел пуст. Вы можете помочь добавляя к этому. (Июль 2010 г.)

Библиография

• Морзе PM, Фешбах H (1953). Методы теоретической физики, часть I. Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. С. 665–666.
• Корн Г.А., Корн Т.М. (1961). Математический справочник для ученых и инженеров. Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. п. 182. LCCN  59014456.
• Цвиллинджер Д. (1992). Справочник по интеграции. Бостон, Массачусетс: Джонс и Бартлетт. п. 113. ISBN  0-86720-293-9.
• Moon PH, Спенсер DE (1988). «Бисферические координаты (η, θ, ψ)». Справочник по теории поля, включая системы координат, дифференциальные уравнения и их решения (исправленное 2-е изд., 3-е изд.). Нью-Йорк: Springer Verlag. С. 110–112 (Раздел IV, E4Rx). ISBN  0-387-02732-7.

внешняя ссылка

• MathWorld описание бисферических координат