Полярная система координат - Polar coordinate system

Точки в полярной системе координат с полюсом О и полярная ось L. Зеленым цветом обозначена точка с радиальной координатой 3 и угловой координатой 60 градусов или (3, 60 °). Синим цветом обозначена точка (4, 210°).

В математика, то полярная система координат это двумерный система координат в котором каждый точка на самолет определяется расстояние от ориентира и угол от опорного направления. Контрольная точка (аналогична началу координат Декартова система координат ) называется столб, а луч от полюса в опорном направлении является полярная ось. Расстояние от полюса называется радиальная координата, радиальное расстояние или просто радиус, а угол называется угловая координата, полярный угол, или же азимут.^[1] Радиальную координату часто обозначают как р или же ρ, а угловую координату - на φ, θ, или же т. Углы в полярных обозначениях обычно выражаются либо градусы или же радианы (2 $π$ рад, равный 360 °).

Грегуар де Сент-Винсент и Бонавентура Кавальери независимо представил эти концепции в середине 17 века, хотя сам термин полярные координаты был приписан Грегорио Фонтана в 18 веке. Первоначальной мотивацией к введению полярной системы было изучение круговой и орбитальное движение.

Полярные координаты наиболее подходят в любом контексте, где рассматриваемое явление по своей природе привязано к направлению и длине от центральной точки на плоскости, например спирали. Плоские физические системы с телами, движущимися вокруг центральной точки, или явлениями, происходящими из центральной точки, часто проще и интуитивно моделировать с использованием полярных координат.

Полярная система координат расширяется до трех измерений двумя способами: цилиндрический и сферический системы координат.

История

Гиппарх

Понятия угла и радиуса использовались еще древними народами первого тысячелетия. до н.э. В Греческий астроном и астролог Гиппарх (190–120 гг. До н.э.) создал таблицу аккорд функции, задающие длину хорды для каждого угла, и есть ссылки на его использование полярных координат при установлении положения звезд.^[2] В На спиралях, Архимед описывает Архимедова спираль, функция, радиус которой зависит от угла. Однако греческая работа не охватывала полную систему координат.

Начиная с 8 века нашей эры астрономы разработали методы аппроксимации и расчета направления на Мекка (кибла ) - и расстояние до него - от любого места на Земле.^[3] Начиная с IX века они использовали сферическая тригонометрия и картографическая проекция методы для точного определения этих количеств. Расчет по сути является преобразованием экваториальные полярные координаты Мекки (т.е. ее долгота и широта ) к его полярным координатам (т.е. его кибле и расстоянию) относительно системы, опорным меридианом которой является большой круг через данное местоположение и полюса Земли, и чья полярная ось является линией, проходящей через местоположение и его противоположная точка.^[4]

Существуют различные версии введения полярных координат как части формальной системы координат. Полная история предмета описана в Гарвард профессор Джулиан Лоуэлл Кулидж с Происхождение полярных координат.^[5] Грегуар де Сент-Винсент и Бонавентура Кавальери независимо ввел эти понятия в середине семнадцатого века. Сент-Винсент писал о них в частном порядке в 1625 году и опубликовал свою работу в 1647 году, а Кавальери опубликовал свою работу в 1635 году с исправленной версией, появившейся в 1653 году. Кавальери сначала использовал полярные координаты для решения проблемы, относящейся к области в пределах Архимедова спираль. Блез Паскаль впоследствии использовали полярные координаты для расчета длины параболические дуги.

В Метод флюсий (написано в 1671 году, опубликовано в 1736 году), сэр Исаак Ньютон исследовал преобразования между полярными координатами, которые он назвал «Седьмой манер; для спиралей», и девятью другими системами координат.^[6] В журнале Acta Eruditorum (1691), Джейкоб Бернулли использовали систему с точкой на линии, называемую столб и полярная ось соответственно. Координаты задавались расстоянием от полюса и углом от полюса. полярная ось. Работа Бернулли распространилась на поиск радиус кривизны кривых, выраженных в этих координатах.

Фактический срок полярные координаты был приписан Грегорио Фонтана и использовался итальянскими писателями 18 века. Термин появился в английский в Джордж Пикок перевод 1816 года Лакруа с Дифференциальное и интегральное исчисление.^[7]^[8] Алексис Клеро был первым, кто придумал полярные координаты в трех измерениях, и Леонард Эйлер был первым, кто их действительно разработал.^[5]

Конвенции

Полярная сетка с несколькими углами, увеличивающимися против часовой стрелки и обозначенными в градусах

Радиальную координату часто обозначают как р или же ρ, а угловую координату - на φ, θ, или же т. Угловая координата задается как φ к ISO стандарт 31-11. Однако в математической литературе угол часто обозначают θ вместо φ.

Углы в полярных обозначениях обычно выражаются либо градусы или же радианы (2 $π$ рад, равный 360 °). Градусы традиционно используются в навигация, геодезия, и многие прикладные дисциплины, а радианы чаще встречаются в математике и математике. физика.^[9]

Угол φ определяется, чтобы начать с 0 ° от справочное направление, и увеличиваться для вращений в любом против часовой стрелки (против часовой стрелки) или же по часовой стрелке (cw) ориентация. Так, например, в математике, контрольное направление обычно рисуется как луч от полюса по горизонтали вправо, а полярный угол увеличивается до положительных углов при вращении против часовой стрелки, тогда как в навигации (несущий, Заголовок ) направление 0 ° направлено вертикально вверх, и угол увеличивается при вращении по часовой стрелке. Полярные углы уменьшаются в сторону отрицательных значений для вращений в противоположных направлениях.

Уникальность полярных координат

Добавление любого количества полных повороты (360 °) к угловой координате не меняет соответствующего направления. Точно так же любая полярная координата идентична координате с отрицательной радиальной составляющей и противоположным направлением (добавление 180 ° к полярному углу). Следовательно, та же точка (р, φ) можно выразить бесконечным числом различных полярных координат (р, φ + п × 360°) и (−р, φ + 180° + п × 360°) = (−р, φ + (2п + 1) × 180°), куда п произвольный целое число.^[10] Более того, сам полюс можно выразить как (0,φ) под любым углом φ.^[11]

Если для любой точки, кроме полюса, требуется уникальное представление, обычно ограничивают р к положительным числам (р > 0) и φ либо к интервал $[0, 360°)$ или интервал $(-180°, 180°]$ , что в радианах $(0, 2π]$ или же $[-π, π)$ .^[12] Другое соглашение, относящееся к обычному домену функция arctan, заключается в том, чтобы учесть произвольные ненулевые действительные значения радиальной компоненты и ограничить полярный угол до $(-90°, 90°]$ . Во всех случаях уникальный азимут полюса (р = 0) необходимо выбрать, например, φ = 0.

Преобразование между полярными и декартовыми координатами

Диаграмма, иллюстрирующая взаимосвязь между полярными и декартовыми координатами.

Кривая на декартовой плоскости может быть отображена в полярных координатах. В этой анимации

{displaystyle y = sin (6x) +2}

отображается на

{displaystyle r = sin (6 heta) +2}

. Щелкните изображение, чтобы узнать подробности.

Полярные координаты р и φ можно преобразовать в Декартовы координаты Икс и у используя тригонометрические функции синус и косинус:

{displaystyle {egin {выравнивается} x & = rcos phi, y & = rsin phi .end {выравнивается}}}

Декартовы координаты Икс и у можно преобразовать в полярные координаты р и φ с р ≥ 0 и φ в интервале (- $π$ , $π$ ] к:^[13]

{displaystyle r = {sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} quad}

(как в теорема Пифагора или Евклидова норма ), и

{displaystyle phi = имя оператора {atan2} (y, x),}

куда atan2 это обычная вариация на арктангенс функция определяется как

{displaystyle operatorname {atan2} (y, x) = {egin {case} arctan left ({frac {y} {x}} ight) & {mbox {if}} x> 0 arctan left ({frac {y}) {x}} ight) + pi & {mbox {if}} x <0 {mbox {and}} ygeq 0 arctan left ({frac {y} {x}} ight) -pi & {mbox {if}} x <0 {mbox {and}} y <0 {frac {pi} {2}} & {mbox {if}} x = 0 {mbox {and}} y> 0 - {frac {pi} {2 }} & {mbox {if}} x = 0 {mbox {and}} y <0 {ext {undefined}} & {mbox {if}} x = 0 {mbox {and}} y = 0.end { случаи}}}

Если р сначала рассчитывается, как указано выше, затем эта формула для φ можно сказать немного проще, используя стандарт арккозин функция:

{displaystyle phi = {egin {cases} arccos left ({frac {x} {r}} ight) & {mbox {if}} ygeq 0 {mbox {and}} req 0 -arccos left ({frac {x} {r}} ight) & {mbox {if}} y <0 {ext {undefined}} & {mbox {if}} r = 0.end {case}}}

Значение φ выше это основная стоимость функции комплексного числа аргумент применительно к Икс + иу. Угол в диапазоне [0, 2 $π$ ) можно получить добавлением 2 $π$ к значению, если оно отрицательное (другими словами, когда у отрицательный).

Полярное уравнение кривой

Уравнение, определяющее алгебраическая кривая выраженный в полярных координатах, известен как полярное уравнение. Во многих случаях такое уравнение можно просто задать, задав р как функция из φ. Полученная кривая будет состоять из точек вида (р(φ), φ) и может рассматриваться как график полярной функции р. Обратите внимание, что, в отличие от декартовых координат, независимая переменная φ это второй вход в заказанную пару.

Различные формы симметрия можно вывести из уравнения полярной функции р. Если р(−φ) = р(φ) кривая будет симметричной относительно горизонтального луча (0 ° / 180 °), если р( $π$ − φ) = р(φ) он будет симметричен относительно вертикального луча (90 ° / 270 °), и если р(φ - α) = р(φ) это будет осесимметричный по α по часовой стрелке и против часовой стрелки про полюс.

Из-за круговой природы полярной системы координат многие кривые могут быть описаны довольно простым полярным уравнением, тогда как их декартова форма намного сложнее. К наиболее известным из этих кривых относятся полярная роза, Архимедова спираль, лемниската, Limaçon, и кардиоидный.

Для круга, линии и полярной розы ниже подразумевается, что нет ограничений на область и диапазон кривой.

Круг

Круг с уравнением р(φ) = 1

Общее уравнение для окружности с центром в точке (р₀, ${displaystyle gamma}$ ) и радиус а является

{displaystyle r ^ {2} -2rr_ {0} cos (varphi -gamma) + r_ {0} ^ {2} = a ^ {2}.}

Это можно упростить различными способами для соответствия более конкретным случаям, таким как уравнение

{displaystyle r (varphi) = a}

для круга с центром на полюсе и радиусом а.^[14]

Когда $р$ ₀ = $а$ , или когда начало координат лежит на окружности, уравнение принимает вид

{displaystyle r = 2acos (varphi -gamma).}

В общем случае уравнение можно решить относительно $р$ , давая

{displaystyle r = r_ {0} cos (varphi -gamma) + {sqrt {a ^ {2} -r_ {0} ^ {2} sin ^ {2} (varphi -gamma)}},}

решение со знаком минус перед квадратным корнем дает ту же кривую.

Линия

Радиальный линии (проходящие через полюс) представлены уравнением

{displaystyle varphi = gamma,}

где γ - угол подъема линии; то есть, γ = arctan м, куда м это склон линии в декартовой системе координат. Нерадиальная линия, пересекающая радиальную линию φ = γ перпендикулярно в точке (р₀, γ) имеет уравнение

{displaystyle r (varphi) = r_ {0} sec (varphi -gamma).}

Иное (р₀, γ) - точка пересечения касательной с воображаемой окружностью радиуса р₀.

Полярная роза

Полярная роза с уравнением р(φ) = 2 грех 4φ

А полярная роза представляет собой математическую кривую, которая выглядит как цветок с лепестками и может быть выражена простым полярным уравнением,

{displaystyle r (varphi) = acos left (kvarphi + gamma _ {0} ight)}

для любой постоянной γ₀ (в том числе 0). Если k является целым числом, эти уравнения дадут kлепестковая роза, если k является странный, или 2kлепестковая роза, если k даже. Если k является рациональным, но не целым числом, может образоваться роза, но с перекрывающимися лепестками. Обратите внимание, что эти уравнения никогда не определяют розу с 2, 6, 10, 14 и т. Д. Лепестками. В Переменная а непосредственно представляет длину или амплитуду лепестков розы, а k относится к их пространственной частоте. Постоянная γ₀ можно рассматривать как фазовый угол.

Архимедова спираль

Одно плечо архимедовой спирали с уравнением р(φ) = φ / 2

π

за 0 < φ < 6

π

В Архимедова спираль это спираль, которая была открыта Архимед, которое также можно выразить в виде простого полярного уравнения. Он представлен уравнением

{displaystyle r (varphi) = a + bvarphi.}

Изменение параметра а повернет спираль, а б контролирует расстояние между рукавами, которое для данной спирали всегда постоянно. Спираль Архимеда имеет два рукава, одно для φ > 0 и один для φ < 0. Две руки плавно соединены на полюсе. Если сделать зеркальное отображение одной руки по линии 90 ° / 270 °, получится другая рука. Эта кривая примечательна как одна из первых кривых после конические секции, который будет описан в математическом трактате и как яркий пример кривой, которая лучше всего определяется полярным уравнением.

Конические секции

Эллипс, показывающий полуширокую прямую кишку

А коническая секция с одним фокусом на полюсе, а другой где-то на луче 0 ° (так что большая ось лежит вдоль полярной оси) определяется выражением:

{displaystyle r = {ell over {1-ecos varphi}}}

куда е это эксцентриситет и ${displaystyle ell}$ это полу-латусная прямая кишка (перпендикулярное расстояние в фокусе от большой оси до кривой). Если е > 1, это уравнение определяет гипербола; если е = 1, он определяет парабола; и если е < 1, он определяет эллипс. Особый случай е = 0 последнего приводит к окружности радиуса ${displaystyle ell}$ .

Пересечение двух полярных кривых

Графики двух полярных функций ${displaystyle r = f (heta)}$ и ${displaystyle r = g (heta)}$ имеют возможные пересечения трех типов:

В начале координат, если уравнения ${displaystyle f (heta) = 0}$ и ${displaystyle g (heta) = 0}$ иметь хотя бы одно решение для каждого.
Все точки ${displaystyle [g (heta _ {i}), heta _ {i}]}$ куда ${displaystyle heta _ {i}}$ являются решениями уравнения ${displaystyle f (heta + 2kpi) = g (heta)}$ куда ${displaystyle k}$ целое число.
Все точки ${displaystyle [g (heta _ {i}), heta _ {i}]}$ куда ${displaystyle heta _ {i}}$ являются решениями уравнения ${displaystyle f (heta + (2k + 1) pi) = - g (heta)}$ куда ${displaystyle k}$ целое число.

Сложные числа

Иллюстрация комплексного числа z нанесенный на комплексную плоскость

Иллюстрация комплексного числа, нанесенного на комплексную плоскость с использованием Формула Эйлера

Каждый комплексное число можно представить в виде точки на комплексная плоскость, и поэтому может быть выражено указанием либо декартовых координат точки (называемых прямоугольной или декартовой формой), либо полярных координат точки (называемых полярной формой). Комплексное число z можно представить в прямоугольной форме как

{displaystyle z = x + iy}

куда я это мнимая единица, или, альтернативно, может быть записан в полярной форме (через приведенные формулы преобразования над ) в качестве

{displaystyle z = r (cos varphi + isin varphi)}

и оттуда как

{displaystyle z = re ^ {ivarphi}}

куда е является Число Эйлера, которые эквивалентны, как показано Формула Эйлера.^[15] (Обратите внимание, что эта формула, как и все те, которые включают экспоненты углов, предполагает, что угол φ выражается в радианы.) Для преобразования между прямоугольной и полярной формами комплексного числа приведенные формулы преобразования над может быть использован.

Для операций умножение, разделение, и возведение в степень Для комплексных чисел, как правило, гораздо проще работать с комплексными числами, выраженными в полярной форме, а не в прямоугольной. Из законов возведения в степень:

Умножение: ${displaystyle r_ {0} e ^ {ivarphi _ {0}}, r_ {1} e ^ {ivarphi _ {1}} = r_ {0} r_ {1} e ^ {ileft (varphi _ {0} + varphi _ {1} ight)}}$
Разделение: ${displaystyle {frac {r_ {0} e ^ {ivarphi _ {0}}} {r_ {1} e ^ {ivarphi _ {1}}}} = {frac {r_ {0}} {r_ {1}}) } e ^ {i (varphi _ {0} -varphi _ {1})}}$
Возведение в степень (Формула де Муавра ): ${displaystyle left (re ^ {ivarphi} ight) ^ {n} = r ^ {n} e ^ {invarphi}}$

Исчисление

Исчисление может применяться к уравнениям, выраженным в полярных координатах.^[16]^[17]

Угловая координата φ В этом разделе выражается в радианах, что обычно используется при расчетах.

Дифференциальное исчисление

С помощью Икс = р потому что φ и у = р грех φ, можно вывести связь между производными в декартовых и полярных координатах. Для данной функции ты(Икс,у), следует, что (вычислив ее общие производные )

{displaystyle {egin {выровнено} r {frac {partial u} {partial r}} & = r {frac {partial u} {partial x}} {frac {partial x} {partial r}} + r {frac {partial u} {partial y}} {frac {partial y} {partial r}}, [2pt] {frac {partial u} {partial varphi}} & = {frac {partial u} {partial x}} {frac { partial x} {partial varphi}} + {frac {partial u} {partial y}} {frac {partial y} {partial varphi}}, конец {выровнено}}}

или же

{displaystyle {egin {выровнено} r {frac {partial u} {partial r}} & = r {frac {partial u} {partial x}} cos varphi + r {frac {partial u} {partial y}} sin varphi = x {frac {partial u} {partial x}} + y {frac {partial u} {partial y}}, [2pt] {frac {partial u} {partial varphi}} & = - {frac {partial u} } {partial x}} rsin varphi + {frac {partial u} {partial y}} rcos varphi = -y {frac {partial u} {partial x}} + x {frac {partial u} {partial y}} ". конец {выровнен}}}

Следовательно, имеем следующие формулы:

{displaystyle {egin {выровнено} r {frac {partial} {partial r}} & = x {frac {partial} {partial x}} + y {frac {partial} {partial y}} [2pt] {frac { partial} {partial varphi}} & = - y {frac {partial} {partial x}} + x {frac {partial} {partial y}}. конец {выровнено}}}

Используя обратное преобразование координат, можно вывести аналогичное взаимное соотношение между производными. Учитывая функцию ты(р,φ), следует, что

{displaystyle {egin {выровнен} {frac {partial u} {partial x}} & = {frac {partial u} {partial r}} {frac {partial r} {partial x}} + {frac {partial u} { partial varphi}} {frac {partial varphi} {partial x}}, [2pt] {frac {partial u} {partial y}} & = {frac {partial u} {partial r}} {frac {partial r} {partial y}} + {frac {partial u} {partial varphi}} {frac {partial varphi} {partial y}}, конец {выровнено}}}

или же

{displaystyle {egin {выравнивание} {frac {partial u} {partial x}} & = {frac {partial u} {partial r}} {frac {x} {sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} }}} - {frac {partial u} {partial varphi}} {frac {y} {x ^ {2} + y ^ {2}}} [2pt] & = cos varphi {frac {partial u} {partial r}} - {frac {1} {r}} sin varphi {frac {partial u} {partial varphi}}, [2pt] {frac {partial u} {partial y}} & = {frac {partial u} {partial r}} {frac {y} {sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}} + {frac {partial u} {partial varphi}} {frac {x} {x ^ {2} + y ^ {2}}} [2pt] & = sin varphi {frac {partial u} {partial r}} + {frac {1} {r}} cos varphi {frac {partial u} {partial varphi}} .end {выровнено}}}

Следовательно, мы имеем следующие формулы:

{displaystyle {egin {выровнено} {frac {partial} {partial x}} & = cos varphi {frac {partial} {partial r}} - {frac {1} {r}} sin varphi {frac {partial} {partial varphi}} [2pt] {frac {partial} {partial y}} & = sin varphi {frac {partial} {partial r}} + {frac {1} {r}} cos varphi {frac {partial} {partial varphi}}. конец {выровнено}}}

Чтобы найти декартовский наклон касательной к полярной кривой р(φ) в любой заданной точке, кривая сначала выражается как система параметрические уравнения.

{displaystyle {начало {выровнено} x & = r (varphi) cos varphi y & = r (varphi) sin varphi end {выровнено}}}

Дифференцировать оба уравнения относительно φ дает

{displaystyle {egin {align} {frac {dx} {dvarphi}} & = r '(varphi) cos varphi -r (varphi) sin varphi [2pt] {frac {dy} {dvarphi}} & = r' ( varphi) sin varphi + r (varphi) cos varphi .end {выровнено}}}

Разделив второе уравнение на первое, мы получим декартов наклон касательной к кривой в точке (р(φ), φ):

{displaystyle {frac {dy} {dx}} = {frac {r '(varphi) sin varphi + r (varphi) cos varphi} {r' (varphi) cos varphi -r (varphi) sin varphi}}.}

Для других полезных формул, включая расходимость, градиент и лапласиан в полярных координатах, см. криволинейные координаты.

Интегральное исчисление (длина дуги)

Длина дуги (длина отрезка линии), определяемая полярной функцией, находится путем интегрирования по кривой р(φ). Позволять L обозначим эту длину вдоль кривой, начиная с точек А до точки B, где эти точки соответствуют φ = а и φ = б такой, что 0 < б − а < 2 $π$ . Длина L дается следующим интегралом

{displaystyle L = int _ {a} ^ {b} {sqrt {left [r (varphi) ight] ^ {2} + left [{frac {dr (varphi)} {dvarphi}} ight] ^ {2}} } дварфи}

Интегральное исчисление (площадь)

Интеграционный регион р ограничена кривой р(φ) и лучи φ = а и φ = б.

Позволять р обозначим область, ограниченную кривой р(φ) и лучи φ = а и φ = б, куда 0 < б − а ≤ 2 $π$ . Тогда площадь р является

{displaystyle {frac {1} {2}} int _ {a} ^ {b} left [r (varphi) ight] ^ {2}, dvarphi.}

Область р приблизительно п секторов (здесь п = 5).

А планиметр, который механически вычисляет полярные интегралы

Этот результат можно найти следующим образом. Во-первых, интервал [а, б] поделен на п подынтервалы, где п - произвольное натуральное число. Таким образом, Δφ, угловая мера каждого подынтервала равна б − а (общая угловая мера интервала), деленная на п, количество подынтервалов. Для каждого подынтервала я = 1, 2, ..., п, позволять φ_я быть серединой подынтервала, и построить сектор с центром на полюсе, радиус р(φ_я), центральный угол Δφ и длина дуги р(φ_я) Δφ. Следовательно, площадь каждого построенного сектора равна

{displaystyle left [r (varphi _ {i}) ight] ^ {2} pi cdot {frac {Delta varphi} {2pi}} = {frac {1} {2}} left [r (varphi _ {i}) ight] ^ {2} Delta varphi.}

Следовательно, общая площадь всех секторов равна

{displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} {frac {1} {2}} r (varphi _ {i}) ^ {2}, Delta varphi.}

Как количество подынтервалов п увеличивается, приближение области продолжает улучшаться. В пределе как п → ∞, сумма становится Сумма Римана для указанного выше интеграла.

Механическое устройство, вычисляющее интегралы площадей, - это планиметр, который измеряет площадь плоских фигур, отслеживая их: это воспроизводит интегрирование в полярных координатах путем добавления стыка, так что двухэлементный связь последствия Теорема Грина, конвертируя квадратичный полярный интеграл в линейный интеграл.

Обобщение

С помощью Декартовы координаты, бесконечно малый элемент площади можно вычислить как dA = dx dy. В правило замены для кратных интегралов заявляет, что при использовании других координат Якобиан Необходимо учитывать определитель формулы преобразования координат:

{displaystyle J = det {frac {partial (x, y)} {partial (r, varphi)}} = {egin {vmatrix} {frac {partial x} {partial r}} & {frac {partial x} {partial varphi}} [2pt] {frac {partial y} {partial r}} & {frac {partial y} {partial varphi}} end {vmatrix}} = {egin {vmatrix} cos varphi & -rsin varphi sin varphi & rcos varphi end {vmatrix}} = rcos ^ {2} varphi + rsin ^ {2} varphi = r.}

Следовательно, элемент площади в полярных координатах можно записать как

{displaystyle dA = dx, dy = J, dr, dvarphi = r, dr, dvarphi.}

Теперь функцию, заданную в полярных координатах, можно проинтегрировать следующим образом:

{displaystyle iint _ {R} f (x, y), dA = int _ {a} ^ {b} int _ {0} ^ {r (varphi)} f (r, varphi), r, dr, dvarphi. }

Здесь, р это та же область, что и выше, а именно область, ограниченная кривой р(ϕ) и лучи φ = а и φ = б. Формула для площади р упомянутое выше можно получить, взяв ж тождественно равно 1.

Гауссовский интеграл

Более удивительное применение этого результата дает Гауссов интеграл, здесь обозначено K:

{displaystyle K = int _ {- infty} ^ {infty} e ^ {- x ^ {2}}, dx = {sqrt {pi}}.}

Векторное исчисление

Векторное исчисление также может применяться к полярным координатам. Для плоского движения пусть ${displaystyle mathbf {r}}$ быть вектором положения (р cos (φ), р грех (φ)), с р и φ в зависимости от времени т.

Определим единичные векторы

{displaystyle {hat {mathbf {r}}} = (cos (varphi), sin (varphi))}

в направлении ${displaystyle mathbf {r}}$ и

{displaystyle {hat {oldsymbol {varphi}}} = (- sin (varphi), cos (varphi)) = {hat {mathbf {k}}} imes {hat {mathbf {r}}},}

в плоскости движения, перпендикулярной радиальному направлению, где ${Displaystyle {шляпа {mathbf {k}}}}$ - единичный вектор, нормальный к плоскости движения.

потом

{displaystyle {egin {align} mathbf {r} & = (x, y) = r (cos varphi, sin varphi) = r {hat {mathbf {r}}}, {dot {mathbf {r}}} & = left ({точка {x}}, {точка {y}} ight) = {точка {r}} (cos varphi, sin varphi) + r {точка {varphi}} (- sin varphi, cos varphi) = { точка {r}} {hat {mathbf {r}}} + r {dot {varphi}} {hat {oldsymbol {varphi}}}, {ddot {mathbf {r}}} & = left ({ddot {x }}, {ddot {y}} ight) & = {ddot {r}} (cos varphi, sin varphi) +2 {dot {r}} {dot {varphi}} (- sin varphi, cos varphi) + r {ddot {varphi}} (- sin varphi, cos varphi) -r {dot {varphi}} ^ {2} (cos varphi, sin varphi) & = left ({ddot {r}} - r {dot { varphi}} ^ {2} ight) {hat {mathbf {r}}} + left (r {ddot {varphi}} + 2 {dot {r}} {dot {varphi}} ight) {hat {oldsymbol {varphi }}} & = left ({ddot {r}} - r {dot {varphi}} ^ {2} ight) {hat {mathbf {r}}} + {frac {1} {r}}; {frac {d} {dt}} left (r ^ {2} {dot {varphi}} ight) {hat {oldsymbol {varphi}}}. end {align}}}

Центробежные и кориолисовы термины

Вектор положения р, всегда указывает радиально от начала координат.

Вектор скорости v, всегда по касательной к траектории движения.

Вектор ускорения а, не параллельному радиальному движению, но смещенному угловым и кориолисовым ускорениями, не касательному пути, а смещенному центростремительным и радиальным ускорениями.

Кинематические векторы в плоских полярных координатах. Обратите внимание, что установка ограничена не 2-м пространством, а плоскостью в любом более высоком измерении.

Период, термин ${displaystyle r {точка {varphi}} ^ {2}}$ иногда называют центростремительное ускорение, а срок ${displaystyle 2 {точка {r}} {точка {varphi}}}$ как Кориолисовое ускорение. Например, см. Шанкар.^[18]

Примечание: эти члены, которые появляются, когда ускорение выражается в полярных координатах, являются математическим следствием дифференцирования; они появляются всякий раз, когда используются полярные координаты. В динамике планарных частиц эти ускорения появляются при настройке Ньютона. второй закон движения во вращающейся системе отсчета. Здесь эти дополнительные термины часто называют фиктивные силы; фиктивны, потому что они просто результат изменения системы координат. Это не значит, что их не существует, скорее они существуют только во вращающейся рамке.

Инерциальная система отсчета S и мгновенная неинерциальная вращающаяся в одном направлении система отсчета S ′. Совместно вращающаяся рамка вращается с угловой скоростью Ω, равной скорости вращения частицы вокруг начала координат. S ′ в данный момент т. Частица находится в векторном положении р(т) и единичные векторы показаны в радиальном направлении к частице от начала координат, а также в направлении увеличения угла ϕ перпендикулярно радиальному направлению. Эти единичные векторы не обязательно должны быть связаны с касательной и нормалью к пути. Также радиальное расстояние р не обязательно связывать с радиусом кривизны пути.

Совместно вращающаяся рама

Для частицы, движущейся в плоскости, один из подходов к приданию физического значения этим терминам основан на концепции мгновенного совместно вращающаяся система отсчета.^[19] Чтобы определить совместно вращающуюся раму, сначала выбирается исходная точка, от которой расстояние р(т) к частице. Устанавливается ось вращения, перпендикулярная плоскости движения частицы и проходящая через это начало. Затем в выбранный момент т, скорость вращения совместно вращающейся системы Ω согласована со скоростью вращения частицы вокруг этой оси, dφ/dt. Далее, члены ускорения в инерциальной системе отсчета связаны с членами в системе одновременного вращения. Пусть положение частицы в инерциальной системе отсчета (р(т), φ(т)), а в совместно вращающейся системе отсчета быть (г (т), φ′ (T)). Поскольку вращающаяся в одном направлении рамка вращается с той же скоростью, что и частица, dφ′/dt = 0. Фиктивная центробежная сила в совместно вращающейся раме равна мрОм², радиально наружу. Скорость частицы в совместно вращающейся системе отсчета также направлена радиально наружу, потому что dφ′/dt = 0. Значение фиктивная сила Кориолиса поэтому имеет значение −2м(доктор/dt) Ω, направленный в сторону увеличения φ Только. Таким образом, используя эти силы во втором законе Ньютона, мы находим:

{displaystyle {oldsymbol {F}} + {oldsymbol {F}} _ {ext {cf}} + {oldsymbol {F}} _ {ext {Cor}} = m {ddot {oldsymbol {r}}},}

где над точками обозначены временные дифференциации, а F это чистая реальная сила (в отличие от фиктивных сил). С точки зрения компонентов это векторное уравнение принимает следующий вид:

{displaystyle {egin {align} F_ {r} + mrOmega ^ {2} & = m {ddot {r}} F_ {varphi} -2m {dot {r}} Omega & = mr {ddot {varphi}}, конец {выровнен}}}

которые можно сравнить с уравнениями для инерциальной системы отсчета:

{displaystyle {egin {align} F_ {r} & = m {ddot {r}} - mr {dot {varphi}} ^ {2} F_ {varphi} & = mr {ddot {varphi}} + 2m {dot {r}} {точка {varphi}} .end {выравнивается}}}

Это сравнение, плюс признание того, что по определению совместно вращающегося кадра во времени т он имеет скорость вращения Ω = dφ/dt, показывает, что мы можем интерпретировать члены ускорения (умноженные на массу частицы), найденные в инерциальной системе отсчета, как отрицательные значения центробежных и кориолисовых сил, которые можно было бы увидеть в мгновенной, неинерциальной, вращающейся в одном направлении системе координат. .

Для общего движения частицы (в отличие от простого кругового движения) центробежные силы и силы Кориолиса в системе отсчета частицы обычно называют мгновенными. соприкасающийся круг его движения, а не к фиксированному центру полярных координат. Подробнее см. центростремительная сила.

Дифференциальная геометрия

В современной терминологии дифференциальная геометрия, полярные координаты обеспечивают карты координат для дифференцируемое многообразие ℝ² {(0,0)}, плоскость минус начало координат. В этих координатах евклидова метрический тензор дан кем-то

{displaystyle ds ^ {2} = dr ^ {2} + r ^ {2} d heta ^ {2}.}

Это можно увидеть, выполнив формулу замены переменных для метрического тензора или вычислив дифференциальные формы dx, dy через внешняя производная 0-форм x = r cos (θ), y = r sin (θ) и подставив их в евклидов метрический тензор ds² = dx² + dy². An ортонормированный Рамка относительно этой метрики дается формулой

{displaystyle e_ {r} = {frac {partial} {partial r}}, quad e_ {heta} = {frac {1} {r}} {frac {partial} {partial heta}},}

с двойная рама

{displaystyle e ^ {r} = dr, quad e ^ {heta} = rd heta.}

В форма подключения относительно этого кадра и Леви-Чивита связь задается кососимметричной матрицей 1-форм

{displaystyle omega _ {j} ^ {i} = {egin {pmatrix} 0 & -d heta d heta & 0end {pmatrix}}}

и, следовательно, форма кривизны Ω = dω + ω∧ω тождественно обращается в нуль. Следовательно, как и ожидалось, проколотая плоскость представляет собой плоский коллектор.

Расширения в 3D

Полярная система координат расширена до трех измерений с двумя разными системами координат: цилиндрический и сферическая система координат.

Приложения

Полярные координаты двумерны, поэтому их можно использовать только там, где точки лежат на одной двумерной плоскости. Они наиболее подходят в любом контексте, где рассматриваемое явление по своей природе привязано к направлению и длине от центральной точки. Например, приведенные выше примеры показывают, насколько элементарных полярных уравнений достаточно для определения кривых, таких как спираль Архимеда, уравнение которой в декартовой системе координат было бы гораздо более сложным. Более того, многие физические системы - например, те, которые связаны с телами, движущимися вокруг центральной точки, или с явлениями, происходящими из центральной точки - проще и интуитивно понятнее моделировать с использованием полярных координат. Первоначальной мотивацией к введению полярной системы было изучение круговой и орбитальное движение.

Положение и навигация

Полярные координаты часто используются в навигация в качестве пункта назначения или направления движения можно указать угол и расстояние до рассматриваемого объекта. Например, самолет используйте для навигации слегка измененную версию полярных координат. В этой системе, обычно используемой для любого вида навигации, луч 0 ° обычно называется курсом 360, а углы продолжаются в по часовой стрелке направление, а не против часовой стрелки, как в математической системе. Заголовок 360 соответствует магнитный север, а заголовки 90, 180 и 270 соответствуют магнитному востоку, югу и западу соответственно.^[20] Таким образом, самолет, летящий в 5 морских милях на восток, будет лететь на 5 единиц по курсу 90 (читать ноль-девять-ноль к управления воздушным движением ).^[21]

Моделирование

Отображение систем радиальная симметрия обеспечивают естественные настройки для полярной системы координат, при этом центральная точка действует как полюс. Ярким примером такого использования является уравнение потока грунтовых вод применительно к радиально-симметричным скважинам. Системы с радиальная сила также хорошие кандидаты для использования полярной системы координат. Эти системы включают гравитационные поля, которые подчиняются закон обратных квадратов, а также системы с точечные источники, Такие как радиоантенны.

Радиально-асимметричные системы также можно моделировать с помощью полярных координат. Например, микрофон с образец пикапа иллюстрирует его пропорциональную реакцию на входящий звук с заданного направления, и эти шаблоны могут быть представлены в виде полярных кривых. Кривая для стандартного кардиоидного микрофона, наиболее распространенного однонаправленного микрофона, может быть представлена как р = 0,5 + 0,5 дюйма (ϕ) на целевой проектной частоте.^[22] На более низких частотах картина смещается в сторону всенаправленности.

Смотрите также

внешняя ссылка

[brown-1] Браун, Ричард Г. (1997). Эндрю М. Глисон (ред.). Высшая математика: предварительное вычисление с дискретной математикой и анализом данных. Эванстон, Иллинойс: Макдугал Литтел. ISBN 0-395-77114-5.

[2] Дружелюбный, Майкл (24 августа 2009 г.). «Вехи в истории тематической картографии, статистической графики и визуализации данных» (PDF).

[3] Кинг, Дэвид А. (2005). «Сакральная география ислама». In Koetsier, Teun; Люк, Бергманс (ред.). Математика и божественное: историческое исследование. Амстердам: Эльзевир. С. 162–78. ISBN 0-444-50328-5.CS1 maint: ref = harv (связь)

[4] Король (2005, п. 169 ). Расчеты были настолько точными, насколько это было возможно при ограничениях, наложенных их предположением, что Земля является идеальной сферой.

[coolidge-5] а ^б Кулидж, Джулиан (1952). «Происхождение полярных координат». Американский математический ежемесячный журнал. Математическая ассоциация Америки. 59 (2): 78–85. Дои:10.2307/2307104. JSTOR 2307104.

[6] Бойер, К. Б. (1949). «Ньютон как создатель полярных координат». Американский математический ежемесячный журнал. Математическая ассоциация Америки. 56 (2): 73–78. Дои:10.2307/2306162. JSTOR 2306162.

[7] Миллер, Джефф. «Самые ранние известные применения некоторых слов математики». Получено 2006-09-10.

[8] Смит, Дэвид Юджин (1925). История математики, Том II. Бостон: Ginn and Co., стр. 324.

[9] Serway, Raymond A .; Джуэтт-младший, Джон В. (2005). Принципы физики. Брукс / Коул - обучение Томсона. ISBN 0-534-49143-X.CS1 maint: несколько имен: список авторов (связь)

[10] «Полярные координаты и графики» (PDF). 2006-04-13. Получено 2006-09-22.^{[постоянная мертвая ссылка ]}

[11] Ли, Теодор; Дэвид Коэн; Дэвид Скляр (2005). Precalculus: с тригонометрией единичного круга (Четвертое изд.). Томсон Брукс / Коул. ISBN 0-534-40230-5.

[12] Стюарт, Ян; Дэвид Толл (1983). Комплексный анализ (Путеводитель по самолету). Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-28763-4.

[13] Торренс, Брюс Фоллетт; Ева Торренс (1999). Введение в математику для студентов. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-59461-8.

[ping-14] Клэйс, Йохан. "Полярные координаты". Архивировано из оригинал на 2006-04-27. Получено 2006-05-25.

[15] Смит, Джулиус О. (2003). «Тождество Эйлера». Математика дискретного преобразования Фурье (ДПФ). Издательство W3K. ISBN 0-9745607-0-7. Архивировано из оригинал на 2006-09-15. Получено 2006-09-22.

[16] Хуш, Лоуренс С. «Области, ограниченные полярными кривыми». Получено 2006-11-25.

[17] Лоуренс С. Хуш. «Касательные линии к полярным графам». Получено 2006-11-25.

[Shankar-18] Рамамурти Шанкар (1994). Принципы квантовой механики (2-е изд.). Springer. п. 81. ISBN 0-306-44790-8.

[Taylor-19] Для следующего обсуждения см. Джон Р. Тейлор (2005). Классическая механика. Книги университетских наук. п. §9.10, стр. 358–359. ISBN 1-891389-22-X.

[20] Шанти, Сумрит. «Авиационная навигационная система». Получено 2006-11-26.

[21] «Экстренные процедуры» (PDF). Архивировано из оригинал (PDF) на 2013-06-03. Получено 2007-01-15.

[22] Эргл, Джон (2005). Справочник по звукозаписи (Четвертое изд.). Springer. ISBN 0-387-28470-2.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]