Эллиптические цилиндрические координаты - Википедия - Elliptic cylindrical coordinates

Координатные поверхности эллиптических цилиндрических координат. Желтый лист - это призма полугиперболы, соответствующей ν = -45 °, а красная трубка - это эллиптическая призма, соответствующая μ = 1. Синий лист соответствует z= 1. Три поверхности пересекаются в точке п (показан черной сферой) с Декартовы координаты примерно (2,182, -1,661, 1,0). Фокусы эллипса и гиперболы лежат на Икс = ±2.0.

Эллиптические цилиндрические координаты являются трехмерными ортогональный система координат который возникает в результате проецирования двухмерного эллиптическая система координат в перпендикулярном ${ displaystyle z}$-направление. Следовательно координатные поверхности находятся призмы конфокального эллипсы и гиперболы. Два фокусы ${ displaystyle F_ {1}}$ и ${ displaystyle F_ {2}}$ обычно считаются фиксированными на ${ displaystyle -a}$ и${ displaystyle + a}$соответственно на ${ displaystyle x}$ось Декартова система координат.

Основное определение

Наиболее распространенное определение эллиптических цилиндрических координат ${ Displaystyle ( му, ню, г)}$ является

${ Displaystyle х = а сш му соз ню}$

${ Displaystyle у = а зп му грех ню}$

${ displaystyle z = z}$

куда ${ displaystyle mu}$ неотрицательное действительное число и ${ displaystyle nu in [0,2 pi]}$.

Эти определения соответствуют эллипсам и гиперболам. Тригонометрическая идентичность

${ displaystyle { frac {x ^ {2}} {a ^ {2} cosh ^ {2} mu}} + { frac {y ^ {2}} {a ^ {2} sinh ^ { 2} mu}} = cos ^ {2} nu + sin ^ {2} nu = 1}$

показывает, что кривые постоянного ${ displaystyle mu}$ форма эллипсы, тогда как гиперболическое тригонометрическое тождество

${ displaystyle { frac {x ^ {2}} {a ^ {2} cos ^ {2} nu}} - { frac {y ^ {2}} {a ^ {2} sin ^ { 2} nu}} = ch ^ {2} mu - sinh ^ {2} mu = 1}$

показывает, что кривые постоянного ${ displaystyle nu}$ форма гиперболы.

Коэффициенты масштабирования

Масштабные коэффициенты для эллиптических цилиндрических координат ${ displaystyle mu}$ и ${ displaystyle nu}$ равны

${ displaystyle h _ { mu} = h _ { nu} = a { sqrt { sinh ^ {2} mu + sin ^ {2} nu}}}$

тогда как оставшийся коэффициент масштабирования ${ displaystyle h_ {z} = 1}$. Следовательно, бесконечно малый элемент объема равен

${ displaystyle dV = a ^ {2} left ( sinh ^ {2} mu + sin ^ {2} nu right) d mu d nu dz}$

а лапласиан равен

${ displaystyle nabla ^ {2} Phi = { frac {1} {a ^ {2} left ( sinh ^ {2} mu + sin ^ {2} nu right)}} слева ({ frac { partial ^ {2} Phi} { partial mu ^ {2}}} + { frac { partial ^ {2} Phi} { partial nu ^ {2}} } right) + { frac { partial ^ {2} Phi} { partial z ^ {2}}}}$

Другие дифференциальные операторы, такие как ${ Displaystyle набла cdot mathbf {F}}$ и ${ Displaystyle набла раз mathbf {F}}$ можно выразить в координатах ${ Displaystyle ( му, ню, г)}$ подставив масштабные коэффициенты в общие формулы, найденные в ортогональные координаты.

Альтернативное определение

Альтернативный и геометрически интуитивно понятный набор эллиптических координат ${ Displaystyle ( сигма, тау, г)}$ иногда используются, где ${ displaystyle sigma = cosh mu}$ и ${ Displaystyle тау = соз ню}$. Следовательно, кривые постоянного ${ displaystyle sigma}$ эллипсы, а кривые постоянной ${ Displaystyle тау}$ являются гиперболами. Координата ${ Displaystyle тау}$ должен принадлежать интервалу [-1, 1], тогда как ${ displaystyle sigma}$ координата должна быть больше или равна единице.

Координаты ${ Displaystyle ( сигма, тау, г)}$ имеют простое отношение к расстояниям до фокусов ${ displaystyle F_ {1}}$ и ${ displaystyle F_ {2}}$. Для любой точки на плоскости (x, y) сумма ${ displaystyle d_ {1} + d_ {2}}$ расстояний до очагов равно ${ displaystyle 2a sigma}$, а их разница ${ displaystyle d_ {1} -d_ {2}}$ равно ${ displaystyle 2a tau}$Таким образом, расстояние до ${ displaystyle F_ {1}}$ является ${ Displaystyle а ( сигма + тау)}$, а расстояние до ${ displaystyle F_ {2}}$ является ${ Displaystyle а ( сигма - тау)}$. (Напомним, что ${ displaystyle F_ {1}}$ и ${ displaystyle F_ {2}}$ расположены в ${ displaystyle x = -a}$ и ${ Displaystyle х = + а}$, соответственно.)

Недостатком этих координат является то, что они не имеют преобразования 1 к 1 для Декартовы координаты

${ Displaystyle х = а сигма тау}$

${ displaystyle y ^ {2} = a ^ {2} left ( sigma ^ {2} -1 right) left (1- tau ^ {2} right)}$

Альтернативные масштабные коэффициенты

Масштабные коэффициенты для альтернативных эллиптических координат ${ Displaystyle ( сигма, тау, г)}$ находятся

${ displaystyle h _ { sigma} = a { sqrt { frac { sigma ^ {2} - tau ^ {2}} { sigma ^ {2} -1}}}}$

${ displaystyle h _ { tau} = a { sqrt { frac { sigma ^ {2} - tau ^ {2}} {1- tau ^ {2}}}}}$

и, конечно же, ${ displaystyle h_ {z} = 1}$. Следовательно, бесконечно малый элемент объема становится

${ displaystyle dV = a ^ {2} { frac { sigma ^ {2} - tau ^ {2}} { sqrt { left ( sigma ^ {2} -1 right) left (1 - tau ^ {2} right)}}} d sigma d tau dz}$

а лапласиан равен

${ displaystyle nabla ^ {2} Phi = { frac {1} {a ^ {2} left ( sigma ^ {2} - tau ^ {2} right)}} left [{ sqrt { sigma ^ {2} -1}} { frac { partial} { partial sigma}} left ({ sqrt { sigma ^ {2} -1}} { frac { partial Phi} { partial sigma}} right) + { sqrt {1- tau ^ {2}}} { frac { partial} { partial tau}} left ({ sqrt {1- tau ^ {2}}} { frac { partial Phi} { partial tau}} right) right] + { frac { partial ^ {2} Phi} { partial z ^ { 2}}}}$

Другие дифференциальные операторы, такие как ${ Displaystyle набла cdot mathbf {F}}$ и ${ Displaystyle набла раз mathbf {F}}$ можно выразить в координатах ${ Displaystyle ( сигма, тау)}$ подставив масштабные коэффициенты в общие формулы, найденные в ортогональные координаты.

Приложения

Классические приложения эллиптических цилиндрических координат заключаются в решении уравнения в частных производных, например, Уравнение Лапласа или Уравнение Гельмгольца, для которых эллиптические цилиндрические координаты допускают разделение переменных. Типичным примером может служить электрическое поле окружает плоскую проводящую пластину шириной ${ displaystyle 2a}$.

Трехмерный волновое уравнение, выраженная в эллиптических цилиндрических координатах, может быть решена путем разделения переменных, что приводит к Дифференциальные уравнения Матьё.

Также могут быть полезны геометрические свойства эллиптических координат. Типичный пример может включать интегрирование по всем парам векторов ${ displaystyle mathbf {p}}$ и ${ displaystyle mathbf {q}}$ эта сумма к фиксированному вектору ${ Displaystyle mathbf {r} = mathbf {p} + mathbf {q}}$, где подынтегральное выражение зависело от длин векторов ${ displaystyle left | mathbf {p} right |}$ и ${ displaystyle left | mathbf {q} right |}$. (В таком случае можно было бы разместить ${ displaystyle mathbf {r}}$ между двумя фокусами и выровнен с ${ displaystyle x}$-ось, т.е. ${ displaystyle mathbf {r} = 2a mathbf { hat {x}}}$.) Для конкретности, ${ displaystyle mathbf {r}}$, ${ displaystyle mathbf {p}}$ и ${ displaystyle mathbf {q}}$ может представлять импульсы частицы и продуктов ее разложения, соответственно, и подынтегральное выражение может включать кинетические энергии продуктов (которые пропорциональны квадратам длин импульсов).

Библиография

• Морс ПМ, Фешбах H (1953). Методы теоретической физики, часть I. Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. п. 657. ISBN  0-07-043316-X. LCCN  52011515.
• Margenau H, Мерфи GM (1956). Математика физики и химии. Нью-Йорк: Д. ван Ностранд. стр.182 –183. LCCN  55010911.
• Корн Г.А., Корн Т.М. (1961). Математический справочник для ученых и инженеров. Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. п. 179. LCCN  59014456. ASIN B0000CKZX7.
• Зауэр Р., Сабо I (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. Нью-Йорк: Springer Verlag. п. 97. LCCN  67025285.
• Цвиллинджер Д. (1992). Справочник по интеграции. Бостон, Массачусетс: Джонс и Бартлетт. п. 114. ISBN  0-86720-293-9. То же, что и Morse & Feshbach (1953), заменяя ты_k для ξ_k.
• Мун П., Спенсер Д.Е. (1988). «Координаты эллиптического цилиндра (η, ψ, z)». Справочник по теории поля, включая системы координат, дифференциальные уравнения и их решения (исправленное 2-е изд., 3-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. 17–20 (таблица 1.03). ISBN  978-0-387-18430-2.

внешняя ссылка

• MathWorld описание эллиптических цилиндрических координат