Эллиптическая система координат - Elliptic coordinate system

Эллиптическая система координат

В геометрия, то эллиптическая система координат является двумерным ортогональный система координат в которой координатные линии находятся конфокальные эллипсы и гиперболы. Два фокусы ${displaystyle F_ {1}}$ и ${displaystyle F_ {2}}$ обычно считаются фиксированными на ${displaystyle -a}$ и ${displaystyle + a}$ соответственно на ${displaystyle x}$ ось Декартова система координат.

Основное определение

Наиболее распространенное определение эллиптических координат ${displaystyle (mu, u)}$ является

{displaystyle x = a cosh mu cos u}

{displaystyle y = a sh mu sin u}

куда ${displaystyle mu}$ неотрицательное действительное число и ${displaystyle u в [0,2pi].}$

На комплексная плоскость, эквивалентное отношение

{displaystyle x + iy = a cosh (mu + iu)}

Эти определения соответствуют эллипсам и гиперболам. Тригонометрическая идентичность

{displaystyle {frac {x ^ {2}} {a ^ {2} cosh ^ {2} mu}} + {frac {y ^ {2}} {a ^ {2} sinh ^ {2} mu}} = cos ^ {2} u + sin ^ {2} u = 1}

показывает, что кривые постоянного ${displaystyle mu}$ форма эллипсы, тогда как гиперболическое тригонометрическое тождество

{displaystyle {frac {x ^ {2}} {a ^ {2} cos ^ {2} u}} - {frac {y ^ {2}} {a ^ {2} sin ^ {2} u}} = cosh ^ {2} mu -sinh ^ {2} mu = 1}

показывает, что кривые постоянного ${displaystyle u}$ форма гиперболы.

Коэффициенты масштабирования

В ортогональная система координат длины базисных векторов известны как масштабные коэффициенты. Масштабные коэффициенты для эллиптических координат ${displaystyle (mu, u)}$ равны

{displaystyle h_ {mu} = h_ {u} = a {sqrt {sinh ^ {2} mu + sin ^ {2} u}} = a {sqrt {cosh ^ {2} mu -cos ^ {2} u} }.}

С использованием тождества с двойным аргументом за гиперболические функции и тригонометрические функции, масштабные коэффициенты могут быть эквивалентно выражены как

{displaystyle h_ {mu} = h_ {u} = a {sqrt {{frac {1} {2}} (cosh 2mu -cos 2u)}}.}

Следовательно, бесконечно малый элемент площади равен

{displaystyle dA = h_ {mu} h_ {u} dmu du = a ^ {2} left (sinh ^ {2} mu + sin ^ {2} u ight) dmu du = a ^ {2} left (cosh ^ { 2} mu -cos ^ {2} u ight) dmu du = {frac {a ^ {2}} {2}} left (cosh 2mu -cos 2u ight) dmu du}

а лапласиан читает

{displaystyle abla ^ {2} Phi = {frac {1} {a ^ {2} left (sinh ^ {2} mu + sin ^ {2} u ight)}} left ({frac {partial ^ {2} Phi } {partial mu ^ {2}}} + {frac {partial ^ {2} Phi} {partial u ^ {2}}} ight) = {frac {1} {a ^ {2} left (cosh ^ {2 } mu -cos ^ {2} u ight)}} left ({frac {partial ^ {2} Phi} {partial mu ^ {2}}} + {frac {partial ^ {2} Phi} {partial u ^ { 2}}} ight) = {frac {2} {a ^ {2} left (cosh 2mu -cos 2u ight)}} left ({frac {partial ^ {2} Phi} {partial mu ^ {2}}} + {frac {partial ^ {2} Phi} {partial u ^ {2}}} ight).}

Другие дифференциальные операторы, такие как ${displaystyle abla cdot mathbf {F}}$ и ${displaystyle abla imes mathbf {F}}$ можно выразить в координатах ${displaystyle (mu, u)}$ подставив масштабные коэффициенты в общие формулы, найденные в ортогональные координаты.

Альтернативное определение

Альтернативный и геометрически интуитивно понятный набор эллиптических координат ${displaystyle (sigma, au)}$ иногда используются, где ${displaystyle sigma = cosh mu}$ и ${displaystyle au = cos u}$ . Следовательно, кривые постоянного ${displaystyle sigma}$ эллипсы, а кривые постоянной ${displaystyle au}$ являются гиперболами. Координата ${displaystyle au}$ должен принадлежать интервалу [-1, 1], тогда как ${displaystyle sigma}$ координата должна быть больше или равна единице.

Координаты ${displaystyle (sigma, au)}$ имеют простое отношение к расстояниям до фокусов ${displaystyle F_ {1}}$ и ${displaystyle F_ {2}}$ . Для любой точки на плоскости сумма ${displaystyle d_ {1} + d_ {2}}$ расстояний до очагов равно ${displaystyle 2asigma}$ , а их разница ${displaystyle d_ {1} -d_ {2}}$ равно ${displaystyle 2a au}$ Таким образом, расстояние до ${displaystyle F_ {1}}$ является ${displaystyle a (sigma + au)}$ , а расстояние до ${displaystyle F_ {2}}$ является ${displaystyle a (sigma - au)}$ . (Напомним, что ${displaystyle F_ {1}}$ и ${displaystyle F_ {2}}$ расположены в ${displaystyle x = -a}$ и ${displaystyle x = + a}$ , соответственно.)

Недостатком этих координат является то, что точки с Декартовы координаты (x, y) и (x, -y) имеют одинаковые координаты ${displaystyle (sigma, au)}$ , поэтому преобразование в декартовы координаты - это не функция, а многофункциональный.

{displaystyle x = aleft.sigma ight. au}

{displaystyle y ^ {2} = a ^ {2} left (sigma ^ {2} -1ight) left (1- au ^ {2} ight).}

Альтернативные масштабные коэффициенты

Масштабные коэффициенты для альтернативных эллиптических координат ${displaystyle (sigma, au)}$ находятся

{displaystyle h_ {sigma} = a {sqrt {frac {sigma ^ {2} - au ^ {2}} {sigma ^ {2} -1}}}}

{displaystyle h_ {au} = a {sqrt {frac {sigma ^ {2} - au ^ {2}} {1- au ^ {2}}}}.}.

Следовательно, элемент бесконечно малой площади становится

{displaystyle dA = a ^ {2} {frac {sigma ^ {2} - au ^ {2}} {sqrt {left (sigma ^ {2} -1ight) left (1- au ^ {2} ight)}} } dsigma d au}

а лапласиан равен

{displaystyle abla ^ {2} Phi = {frac {1} {a ^ {2} left (sigma ^ {2} - au ^ {2} ight)}} left [{sqrt {sigma ^ {2} -1} } {frac {partial} {partial sigma}} left ({sqrt {sigma ^ {2} -1}} {frac {partial Phi} {partial sigma}} ight) + {sqrt {1- au ^ {2}} } {frac {partial} {partial au}} left ({sqrt {1- au ^ {2}}} {frac {partial Phi} {partial au}} ight) ight].}

Другие дифференциальные операторы, такие как ${displaystyle abla cdot mathbf {F}}$ и ${displaystyle abla imes mathbf {F}}$ можно выразить в координатах ${displaystyle (sigma, au)}$ подставив масштабные коэффициенты в общие формулы, найденные в ортогональные координаты.

Экстраполяция в более высокие измерения

Эллиптические координаты составляют основу нескольких наборов трехмерных ортогональные координаты. В эллиптические цилиндрические координаты производятся путем проецирования в ${displaystyle z}$ -направление. вытянутые сфероидальные координаты производятся вращением эллиптических координат вокруг ${displaystyle x}$ ось, т. е. ось, соединяющая фокусы, а ось сжатые сфероидальные координаты производятся вращением эллиптических координат вокруг ${displaystyle y}$ - ось, т. е. ось, разделяющая фокусы.

Приложения

Классические приложения эллиптических координат заключаются в решении уравнения в частных производных, например, Уравнение Лапласа или Уравнение Гельмгольца, для которых эллиптические координаты являются естественным описанием системы, что позволяет разделение переменных в уравнения в частных производных. Некоторые традиционные примеры - решение таких систем, как электроны, вращающиеся вокруг молекулы, или планетные орбиты, которые имеют эллиптическую форму.

Также могут быть полезны геометрические свойства эллиптических координат. Типичный пример может включать интегрирование по всем парам векторов ${displaystyle mathbf {p}}$ и ${displaystyle mathbf {q}}$ эта сумма к фиксированному вектору ${displaystyle mathbf {r} = mathbf {p} + mathbf {q}}$ , где подынтегральное выражение зависело от длин векторов ${displaystyle left | mathbf {p} ight |}$ и ${displaystyle left | mathbf {q} ight |}$ . (В таком случае можно было бы разместить ${displaystyle mathbf {r}}$ между двумя фокусами и выровнен с ${displaystyle x}$ -ось, т.е. ${displaystyle mathbf {r} = 2amathbf {шляпа {x}}}$ .) Для конкретности, ${displaystyle mathbf {r}}$ , ${displaystyle mathbf {p}}$ и ${displaystyle mathbf {q}}$ может представлять импульсы частицы и продуктов ее разложения, соответственно, и подынтегральное выражение может включать кинетические энергии продуктов (которые пропорциональны квадратам длин импульсов).