Биполярные цилиндрические координаты - Википедия - Bipolar cylindrical coordinates

Координатные поверхности биполярных цилиндрических координат. Желтый полумесяц соответствует σ, тогда как красная трубка соответствует τ, а синяя плоскость соответствует z= 1. Три поверхности пересекаются в точке п (показан черной сферой).

Биполярные цилиндрические координаты являются трехмерными ортогональный система координат который возникает в результате проецирования двухмерного биполярная система координат в перпендикулярном ${ displaystyle z}$-направление. Две строки фокусы ${ displaystyle F_ {1}}$ и ${ displaystyle F_ {2}}$ проектируемых Аполлонические круги обычно считаются определяемыми ${ displaystyle x = -a}$ и ${ Displaystyle х = + а}$соответственно (и ${ displaystyle y = 0}$) в Декартова система координат.

Термин «биполярный» часто используется для описания других кривых, имеющих две особые точки (фокусы), таких как эллипсы, гиперболы, и Кассини овалы. Однако срок биполярные координаты никогда не используется для описания координат, связанных с этими кривыми, например, эллиптические координаты.

Основное определение

Наиболее распространенное определение биполярных цилиндрических координат ${ Displaystyle ( сигма, тау, г)}$ является

${ Displaystyle х = а { гидроразрыва { зп тау} { ш тау - соз сигма}}}$

${ displaystyle y = a { frac { sin sigma} { cosh tau - cos sigma}}}$

${ Displaystyle Z = Z}$

где ${ displaystyle sigma}$ координата точки ${ displaystyle P}$равен углу ${ displaystyle F_ {1} PF_ {2}}$ и ${ Displaystyle тау}$ координата равна натуральный логарифм отношения расстояний ${ displaystyle d_ {1}}$ и ${ displaystyle d_ {2}}$ к фокусным линиям

${ displaystyle tau = ln { frac {d_ {1}} {d_ {2}}}}$

(Напомним, что фокусные линии ${ displaystyle F_ {1}}$ и ${ displaystyle F_ {2}}$ расположены в ${ displaystyle x = -a}$ и ${ Displaystyle х = + а}$, соответственно.)

Поверхности постоянного ${ displaystyle sigma}$ соответствуют цилиндрам разного радиуса

${ displaystyle x ^ {2} + left (y-a cot sigma right) ^ {2} = { frac {a ^ {2}} { sin ^ {2} sigma}}}$

все они проходят через фокальные линии и не являются концентрическими. Поверхности постоянного ${ Displaystyle тау}$ представляют собой непересекающиеся цилиндры разного радиуса

${ displaystyle y ^ {2} + left (x-a coth tau right) ^ {2} = { frac {a ^ {2}} { sinh ^ {2} tau}}}$

которые окружают фокальные линии, но опять же не концентрические. Фокальные линии и все эти цилиндры параллельны ${ displaystyle z}$-ось (направление проецирования). в ${ displaystyle z = 0}$ плоскости, центры постоянных-${ displaystyle sigma}$ и постоянно-${ Displaystyle тау}$ баллоны лежат на ${ displaystyle y}$ и ${ displaystyle x}$ оси соответственно.

Коэффициенты масштабирования

Масштабные коэффициенты для биполярных координат ${ displaystyle sigma}$ и ${ Displaystyle тау}$ равны

${ displaystyle h _ { sigma} = h _ { tau} = { frac {a} { cosh tau - cos sigma}}}$

тогда как оставшийся коэффициент масштабирования ${ displaystyle h_ {z} = 1}$. Таким образом, бесконечно малый элемент объема равен

${ Displaystyle dV = { гидроразрыва {a ^ {2}} { left ( cosh tau - cos sigma right) ^ {2}}} d sigma d tau dz}$

а лапласиан равен

${ displaystyle nabla ^ {2} Phi = { frac {1} {a ^ {2}}} left ( cosh tau - cos sigma right) ^ {2} left ({ frac { partial ^ {2} Phi} { partial sigma ^ {2}}} + { frac { partial ^ {2} Phi} { partial tau ^ {2}}} right) + { frac { partial ^ {2} Phi} { partial z ^ {2}}}}$

Другие дифференциальные операторы, такие как ${ Displaystyle набла cdot mathbf {F}}$ и ${ Displaystyle набла раз mathbf {F}}$ можно выразить в координатах ${ Displaystyle ( сигма, тау)}$ подставив масштабные коэффициенты в общие формулы, найденные в ортогональные координаты.

Приложения

Классические приложения биполярных координат заключаются в решении уравнения в частных производных, например, Уравнение Лапласа или Уравнение Гельмгольца, для которых биполярные координаты позволяют разделение переменных (в 2D). Типичным примером может служить электрическое поле окружающие два параллельных цилиндрических проводника.

Библиография

• Margenau H, Мерфи GM (1956). Математика физики и химии. Нью-Йорк: Д. ван Ностранд. стр.187 –190. LCCN  55010911.
• Корн Г.А., Корн Т.М. (1961). Математический справочник для ученых и инженеров. Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. п. 182. LCCN  59014456. ASIN B0000CKZX7.
• Мун П., Спенсер Д.Е. (1988). «Конические координаты (r, θ, λ)». Справочник по теории поля, включая системы координат, дифференциальные уравнения и их решения (исправленное 2-е изд., 3-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. неизвестный. ISBN  978-0-387-18430-2.

внешняя ссылка

• MathWorld описание биполярных цилиндрических координат